空间两条直线的位置关系课件.ppt

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1、2.1.2 空间中两直线的空间中两直线的位置关系位置关系 同一平面内的两条直线有几种位置关系？同一平面内的两条直线有几种位置关系？相交直线相交直线平行直线平行直线相交直线相交直线（有一个公共点）（有一个公共点）平行直线平行直线（无公共点）（无公共点）aboab两条笔直的路相交两条笔直的路相交ABCD两路相交两路相交立交桥立交桥立交桥中立交桥中,两条路线两条路线AB,CD既不平行，又不相交既不平行，又不相交要用数学的眼光看世界在如图所示的正方体的棱所在的直线中，你能找出一对既不相交也不平行的吗？很显然，由初中学习的平面几何拓展到高中学习的立体几何，两条直线出现了第3种位置关系-既不平行也不相交，

2、你能画出它们的图像吗？直观图的画法直观图的画法ab直观图的画法直观图的画法观图的画法观图的画法分别在两个相交平面内画分别在两个相交平面内画异面直线异面直线的定义：的定义：不同在不同在任何任何一个平面内的两条直线叫做异一个平面内的两条直线叫做异面直线面直线abaabb画法：画法：(利用平面作为衬托利用平面作为衬托)异面直线异面直线 两直线异面的判别二两直线异面的判别二:两条直线两条直线不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内.1.异面直线的定义异面直线的定义:不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫一个平面内的两条直线叫做做异面直线异面直线（skew lines）。）。两直线异面的判别一两

3、直线异面的判别一:两条直线两条直线 既不相交、又不平行既不相交、又不平行.注注11、相交、相交2、平行、平行ml只有一个公共点只有一个公共点没有公共点没有公共点在同一平面在同一平面空间中两直线的三种位置关系空间中两直线的三种位置关系3、异面、异面mPl没有公共点没有公共点不同在任一平面不同在任一平面mlP 按平面基本性质分按平面基本性质分共面共面相交直线平行直线 不共面不共面异面直线 有一个公共点有一个公共点:按公共点个数分按公共点个数分相交直线无无 公公 共共 点点平行直线异面直线空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 发挥你的想象力发挥你的想象力:练习练习1：下列说法

4、是否正确：下列说法是否正确（1）,则则与与是异面直线是异面直线（2）不同在平面不同在平面内，则内，则与与是异面直线是异面直线其中其中表示直线，表示直线，表示平面。表示平面。a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可：它们可能异面，可能相交，也可能平行。能平行。abab 不同在平面 内答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。：它们可能异面，可能相交，也可能平行。判断下列各命题的正误：判断下列各命题的正误：1没有公共点的两条直线是异面直线没有公共点的两条直线是异面直线判断下列各命题的

5、正误：判断下列各命题的正误：2平面内一点与平面外一点的连线，和平面内平面内一点与平面外一点的连线，和平面内的直线一定是异面直线的直线一定是异面直线 判断下列各命题的正误：判断下列各命题的正误：3分别在两个平面内的两条直线是异面直线分别在两个平面内的两条直线是异面直线判断下列各命题的正误：判断下列各命题的正误：4在空间既不平行也不相交的直线是异面直线在空间既不平行也不相交的直线是异面直线 判断下列各命题的正误：判断下列各命题的正误：5和同一直线都是异面直线的两条直线是异面和同一直线都是异面直线的两条直线是异面直线直线判断下列各命题的正误：判断下列各命题的正误：6不在平面不在平面内的两条直线是异面

6、直线内的两条直线是异面直线判断下列各命题的正误：判断下列各命题的正误：7不可能在同一平面内的两条直线是异面直线不可能在同一平面内的两条直线是异面直线 练习提升练习提升“a，b是异面直线是异面直线”是指是指ab=,且且a不平行于不平行于b；a 平面平面，b 平面平面且且ab=a平面平面，b 平面平面不存在平面不存在平面，能使，能使a 且且b 成立成立1、上述结论中，正确的是上述结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有直线有（）（A）2对对（B）3对对（C）6对对（D）12对对CC3、两条直线、

7、两条直线a,b分别和异面直线分别和异面直线c,d都相交，则都相交，则直线直线a，b的位置关系是（的位置关系是（）（A）一定是异面直线（）一定是异面直线（B）一定是相交直线）一定是相交直线（C）可能是平行直线）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线）可能是异面直线，也可能是相交直线4、一条直线和两条异面直线中的一条平行、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则则它和另一条的位置关系是它和另一条的位置关系是()（A）平行（）平行（B）相交（）相交（C）异面（）异面（D）相交或异面）相交或异面DD下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那

8、么方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线这四条线段所在的直线是异面直线的有是异面直线的有对对DBACEFHG3直线直线EF和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线HG直线直线AB和直线和直线CD3.异面直线所成的角异面直线所成的角在平面内在平面内,两条直线相交成四两条直线相交成四个角个角,其中不大于其中不大于90度的角称为它度的角称为它们的夹角们的夹角,用以刻画两直线的错开用以刻画两直线的错开程度程度,如图如图.在空间在空间,如图所示如图所示,正方体正方体ABCDEFGH中中,异面直线异面直线AB与与HF的错开程度可以怎样来刻的错开程度可以怎样来刻画呢画呢?ABGFHEDCO(2

9、)问题提出问题提出(1)复习回顾复习回顾(3)解决问题解决问题异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义:如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过空间任一点经过空间任一点O作作直线直线a a,b b 则把则把a 与与b 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线叫做异面直线所成的角所成的角(或夹角或夹角).abb aO思想方法思想方法:平移转化成相交直线所成的角平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题即化空间图形问题为平面图形问题思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位点位置不同时置不同时,这一角的大小是否改变这一角的

10、大小是否改变?异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围(0,90oo如果两条异面直线如果两条异面直线a,b 所成的角为直所成的角为直角，我们就称这两角，我们就称这两条直线互相垂直条直线互相垂直,记为记为a ba(4)理论支持理论支持abced：我们知道我们知道,在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢在空间这一规律是否还成立呢?观察观察:将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边则各折痕及边a,b,c,d,e,之间有何关系？之间有何关系？abcde公理：公理：

11、在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行平行线的传递性平行线的传递性推广推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行：在平面内在平面内,我们可以证明我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空间中这一结空间中这一结论是否仍然成立呢？论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补

12、观察观察:如图所示如图所示,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中中,ADC与与A1D1C1,ADC与与A1B1C1两边分别对应平行两边分别对应平行,这两组角的大小这两组角的大小关系如何关系如何?答答:从图中可看出从图中可看出,ADC=A1D1C1,ADC+A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位置不同时点位置不同时,这一角的大小这一角的大小是否改变是否改变?a a,a aa a(公理公理4),解答：解答：如图如图设设a 与与b 相交相交所成的角为所成的角为 1,a 与与b所成的角为所成的角为2,同理同理b

13、b,1=2(等角定理等角定理)b aO1aab2答答:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置点的位置无关无关.在求作异面直线所成的角时在求作异面直线所成的角时,O点点常选在其中的一条直线上常选在其中的一条直线上(如线段的如线段的端点端点,线段的线段的中点中点等等)a三、异面直线所成角的定义：三、异面直线所成角的定义：1.直线直线a、b是异面直线。经过空间任意一点是异面直线。经过空间任意一点O，分分 别引直线别引直线a1a，b1b。我们把直线我们把直线a1和和b1所成的所成的 锐角（或直角）叫做锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a和和b所成的角。所成的角。ba1b1Ob aO为了简便，点O常取在

14、两条异面直线中的一条上。2.异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围：如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两就说这两条异面直线互相垂直条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 异面垂直（无垂足）异面垂直（无垂足）OO因此，异面直线所成角的范围是（因此，异面直线所成角的范围是（0，3、特例：、特例：下图长方体中下图长方体中平行平行相交相交异面异面点击点击旋转长方体旋转长方体BD和和FH是是直线直线EC和和BH是是直线直线BH和和DC是是直线直线BACDEFHG(2).与棱与棱AB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有条条?

15、4分别是分别是：CG、HD、GF、HE(1)说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?例例1例例2.如图，在正方体中，（如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（成异面直线？（2）求直线）求直线BA1和和CC1所成的角的大小。所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1解：（解：（1）与直线与直线BA1成异成异面直线有面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D（2）B1BC1CA1B1B是是异面直线异面直线BA1和和CC1所成的角所成的角易求得所成的角为易求得所成的角为例例2如图如图，空间四边形，空间四边形ABCD中，中，E，

16、F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形的中点求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形BCADEFHG所以所以，且，且证明：连接证明：连接BD，因为因为EH是是的中位线，的中位线，同理同理，且，且因为因为，且，且所以所以四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形ABGFHEDC例例3.如图，正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求(1)BE与与CG所成的角？所成的角？(2)FO与与BD所成的角？所成的角？解解:(1)如图如图:BF CG，EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线BE与与CG所成的角，所成的角，又又 B

17、EF中中EBF=45 ，所以所以BE与与CG所成的角是所成的角是45ooO连接连接HA、AF，依题意知依题意知O为为AH中点中点,HFO=30o(2)连接连接FH，所以所以FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30o四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HFBDHFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线FO与与BD所成的角所成的角HDEA，EAFBHDFB=则则AH=HF=FA AFH为等边为等边求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。面直线所成

18、的角。三求：在一恰当的三角形中求出三求：在一恰当的三角形中求出角角 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2(1)求求BC和和EG所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE和和BG所成的角是多少度所成的角是多少度?解答：解答：(1)GFBCEGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.RtEFG中，求得中，求得EGF=45o(2)BFAEFBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,RtBFG中，求得中，求得FBG=60o课堂练习课堂练习1ABGFHEDC2如图，正方体中，求如图，正方体中，求1.A1B1与与C1C所成的角所成的角2.AD与与B1B所成的

19、角所成的角3.A1D与与BC1所成的角所成的角4.D1C与与A1A所成的角所成的角5.A1D与与AC所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1课堂练习课堂练习21.空间两直线的位置关系：空间两直线的位置关系：（1）从公共点的数目来看可分为：）从公共点的数目来看可分为：有且只有一个公共点则两直线相交有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线两平行直线 没有公共点则没有公共点则 两直线为异面直线两直线为异面直线（2）从平面的性质）从平面的性质 来讲，可分为：来讲，可分为：两直线相交两直线相交 在同一平面内在同一平面内 两直线平行两直线平行 不在同一平面内则两直线为异面直线。不在同一平面内则两直线为异面直线。定义：定义：不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线的两条直线为异面直线小结：小结：