2019年度房山区高三一模数学理科试题.及其答案.doc

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1、房山区房山区 20192019 年高考第一次模拟试卷年高考第一次模拟试卷数 学 （理科）2018.04本试卷共 4 页，150 分。考试时间长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则 U R2 |1, |4Mx xNx x()MC N =RA. ( 2, 1B. 2, 1C. (, 1 D. (, 2) 2.已知为等差数列，为其前项和.若，则 nanSn19418,7aaa+=10S=A. 55B. 81C. 90

2、D. 1003.执行如图所示的程序框图若输出， 则框图中15S 处可以填入 A. 4n B. 8n C. 16n D. 16n 4.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 2sincos2 sin10 A. 5 5B. 2 5 5C. 3 5 5D. 4 5 55.下面四个条件中， “函数存在零点”的必要而不充分的条件是 2( )2f xxxmA. 1m B. 1m C. 2m D. 1m 6. 在ABC 中，点满足条件，则等于 ,1ABAC ACD3BDBC AC AD A. 3B. 1C. 3 2D. 1 27.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥 的四个面的面积中，最大的是否1,0nS开始结

3、束输出S是nSSnn2A. 4 3B. 8C. 4 7D. 8 38.设集合是的子集，如果点满足：，称为MR0x R00,0axMxxa 0x集合的聚点.则下列集合中以 为聚点的有：M1； ； ； |1nnnN*2 |nnNZ |2 xy y A.B. C. D. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9. 已知复数满足，其中 为虚数单位，则 .z(1)2ziiiz 10.已知双曲线的焦距为，且过点，则它的渐近线方程为 . 2222:1(0,0)xyCabab4(2,3)11.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序 A 只能在第一或最后6一步实施，程序

4、 B 和 C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 种.(用数字作答)12.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，OPOPAPBC已知，, 则 ,30BPA11BC 1PB PA圆的半径等于 .O13.某商品在最近天内的单价与时间 的函数关系是100( )f tt22(040,)4( ) 52(40100,)2ttt f tttt NN日销售量与时间 的函数关系是.则这种商品( )g tt109( )(0100,)33tg ttt N的日销售额的最大值为 .14.已知函数的定义域是 D，若对于任意，当时，都有，( )f x12,x xD12xx12()()f xf x则称函数在 D 上为非减

5、函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个( )f x( )f x0,1OPCBA条件：； ； .则 ，(0)0f1( )( )52xff x(1)1( )fxf x 4( )5f. 1()2013f三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）已知函数2( )2cos2 3sin cos1f xxxx（）求的最小正周期； ( )f x（）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是，若且，abc()22Cf2cab试判断ABC 的形状16.（本小题满分 14 分） 在四棱锥中，侧面底面， PABCDPADABCD 为直

6、角梯形，/，ABCDBCAD90ADC，为的中点112BCCDADPAPDE F,AD PC,（）求证：PA/平面 BEF； （）若 PC 与 AB 所成角为，求的长；45PE （）在（）的条件下，求二面角 F-BE-A 的余弦值17.（本小题满分 13 分）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.52.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在微克/立方米以下空气PM2.5PM2.535质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立35:7575方米以上空气质量为超标某城市环保局从该市市区年全年每天的监测2012PM2.5数据中随机的抽取天

7、的数据作为样本，监测值如茎叶图15所示（十位为茎，个位为叶） （）从这天的日均监测数据中，随机抽出三天15PM2.5数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（）从这天的数据中任取三天数据，记表示抽到15监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；PM2.5（）根据这天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）15PM2.5365中平均有多少天的空气质量达到一级或二级日均值(微克/立方PM2.5 米) 28 37143 4455 638 79 863 925DFECBAP18. (本小题满分 13 分)已知函数 , . 21( )(1)ln2f xaxaxx27( )28g xxbx（）

8、当时，求曲线在点处的切线方程；0a ( )yf x(1,(1)f（）当时，求函数的单调区间； 1a ( )f x（）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得1 4a ( )f x(0, 2M1,2x成立，求实数 b 的取值范围.( )g xM19. (本小题满分 14 分)已知抛物线的焦点坐标为，过的直线 交抛物线于两点，2:2C ypx(1,0)FFlCA B,直线分别与直线：相交于两点.AO BO,m2x M N,（）求抛物线的方程；C（）证明ABO 与MNO 的面积之比为定值.20.（本小题满分 13 分）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用x10 yyx yx记号表示

9、例如对于实数，无穷数列满x811.20.21.20.877,.a na足如下条件：， 其中 1aa11000n nnnaaaa ,1 2 3n , , ,.（）若，求数列的通项公式；2a na（）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；41an*NaanaA（）若是有理数，设 （是整数，是正整数，,互质） ，对于大于aqpa pqpq的任意正整数，是否都有成立，证明你的结论qn0na房山区高三年级第一次模拟考试参考答案数 学 （理科） 2018.04一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1B 2D 3B 4A 5C 6A 7C 8A二、填空题:本大题共 6

10、小题,每小题 5 分,共 30 分.9. 10. 11. 1 i 3yx 9612. 13. 14. 2 3 , 7808.511,2 32三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.15（本小题满分 13 分）（）1cossin32cos2)(2xxxxf4 分 xx2sin32cos6 分)2sin232cos21(2xx )62sin(2x周期为 7 分2.2T（）因为 ()2sin()226CfC所以 sin()16C因为 所以 8 分0C7 666C所以 所以 9 分62C3C11 分222222coscababCababab整理得 12 分ba 所以 三角形 ABC 为等边三角

11、形 13 分16. （本小题满分 14 分） （）证明：连接 AC 交 BE 于 O，并连接 EC，FO / , 为中点BCADADBC21EADAE/BC，且 AE=BC 四边形 ABCE 为平行四边形 O 为 AC 中点 .1 分 又 F 为 AD 中点/ .2 分OFPA.3 分,OFBEF PABEF平面平面/平面.4 分PABEF（）解法一： PAPDEADPEAD为中点 ,PADABCDPADABCDAD PEPAD侧面底面侧面底面平面.PEABCD 平面 6 分 易知 BCDE 为正方形ADBE 建立如图空间直角坐标系，（）xyzE tPE 0t则 0 , 1 , 1, 0 ,

12、0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1,0 , 0 , 0CtPBAEOzyxDFECBAP0 , 1 , 1, 1 , 1ABtPC045所成角为与ABPC，.8 分2245cos 22011,cos02 tABPCABPCABPC解得：.92t2PE 分解法二：由 BCDE 为正方形可得 22ECBC 由 ABCE 为平行四边形 可得 /ECAB 为即.5 分PCEPCAB与所成角045PCEPAPDEADPEAD为中点 ,PADABCDPADABCDAD PEPAD侧面底面侧面底面平面.7 分PEABCD 平面.8 分ECPE .9 分2PEEC（）为的中点，所以 ，FPC1 12,

13、2 22F ,0 , 1 , 0EB 22,21,21EF设是平面 BEF 的法向量zyxn,则 022 21 21, 0zyxEFnyEBn取，则，得.11 分2x2z2, 0 , 2n是平面 ABE 的法向量 .12 分2, 0 , 0EP.13 分33,cos EPnEPn EPn由图可知二面角的平面角是钝角， BACE所以二面角的余弦值为.14 分BACE3317（本小题满分 13 分） （）从茎叶图可知，空气质量为一级的有 4 天，为二级的有 6 天，超标的有 5 天 记“从天的日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事152.5PM 件 A则 3 分12 411

14、3 1544( )91C CP AC:（）的可能值为， 4 分0,1,2,303 510 3 1524(0)91C CPC12 510 3 1545(1)91C CPC21 510 3 1520(2)91C CPC30 510 3 152(3)91C CPC8 分 所以的分布列为 0123P24 9145 9120 912 91 9 分10 分24452030123191919191E （）天的空气质量达到一级或二级的频率为 11 分15102 153，2136524333所以估计一年中有天的空气质量达到一级或二级. 13 分12433 （说明：答 243 天，244 天不扣分）18（本小题满

15、分 13 分） （）当时，1 分0a ( )lnf xxx (1)1ln11f .2 分1( )1fxx (1)0f所以曲线在点处的切线方程.3 分( )yf x(1,(1)f1y （）4 分21(1)1(1)(1)( )(1)(0)axaxaxxfxaxaxxxx 当时，0a 解，得，解，得1( )0xfxx 1x 1( )0xfxx 1x 所以函数的递增区间为，递减区间为在5 分( )f x) 1 , 0(1,时，令得或0a ( )0fx 1x 1xai）当时，01a11a6 分函数的递增区间为，( )f x) 1 , 0(x)(0,1)11(1, )a1 a1( ,)af(x)+-+f(

16、x)增减增，递减区间为7 分1,a1(1,)aii）当时， 0a 10a在上，在上 8 分0,1( )0fx (1,)( )0fx 函数的递增区间为，递减区间为9 分( )f x0,1(1,)（）由（）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，1 4a ( )f x) 1 , 0()2 , 1 (所以， 11 分9(1)8Mf 存在，使1,2x9( )8g x 即存在，使，1,2x279288xbx 方法一：只需函数在1，2上的最大值大于等于 ( )g x9 8所以有9(1)8 9(2)8gg 即解得：13 分791288 794488bb 3 2b 方法二：将279288xbx 整理得1 2xb

17、x3 2, ,1,22x从而有 max13 22xbx所以的取值范围是. 13b3(, 2分19（本小题满分 14 分）（）由焦点坐标为 可知(1,0)12p所以2p所以抛物线的方程为4 分Cxy42 （） 当直线 垂直于轴时，与相似，lxABOMNO所以 .6 分21()24ABOMNOOFSS当直线 与轴不垂直时，设直线 AB 方程为7 分lx(1)yk x设，)y2,(MM)y2,(NN),(11yxA),(22yxB解 整理得 ，2(x1)4ykyx 2222(42)0k xkxk所以 .9 分121 xx.14 分121sin12 1224sin2ABOMNOAO BOAOBSxxA

18、OBO SMO NOMO NOMON 综上 1 4ABOMNOS S20（本小题满分 13 分）（） ， .2 分1221a 2 111212121aa若，则 21ka 112121k kaa所以 3 分21na （） ， 所以 ，从而 1aaa1 4a 114a114a当，即时， 112a112a2 11111aaaaa 所以210aa 解得： （，舍去） .4 分15,2a 151,122a 当 ，即 时，11 32a123a2 11112aaaaa所以 2210aa 解得 （ ，舍去） 5 分2821,2a 1 121,3 2a 当 时，即 时， 11 43a134a2 11113aaa

19、aa解得 （ ，舍去） 6 分313 2a 3131 1,24 3a 综上，集合，. 7 分A 15 2a 21a 313 2a （）结论成立. 8 分由是有理数，可知对一切正整数，为 0 或正有理数，anna可设（是非负整数，是正整数，且互质）nn nqpa npnq,nnp q由，可得； 9 分1 1 1ppaqqqp 10若，设（，是非负整数）0npnnqpnp0,则 ，而由得nnn ppqnn nqpa nnnpq a1，故，可得 11 分11n n nnnqaapp1npnnpq1nnpp10若则， 0np01np若均不为 0，则这正整数互不相同且都小于，qaaaa,321 q(1,2,3, )np nqq但小于的正整数共有个，矛盾. q1q故中至少有一个为 0，即存在，使得.qaaaa,321 )1 (qmm0ma从而数列中以及它之后的项均为 0， nama所以对于大于的自然数，都有 13 分qn0na