线性代数第三章第三节.pptx

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1、一、基本概念一、基本概念设有设有 n 个未知数个未知数 m 个方程的线性方程组个方程的线性方程组(1)式可以写成以向量式可以写成以向量 x 为未知元的向量方程为未知元的向量方程Ax=b,(2)以后线性方程组以后线性方程组(1)与向量方程与向量方程(2)将混同使用而将混同使用而第1页/共25页不加区分，解与解向量的名称亦不加区别不加区分，解与解向量的名称亦不加区别.线性方程组线性方程组(1)如果有解，就称它是如果有解，就称它是相容的相容的，如果无解，就称它如果无解，就称它不相容不相容.利用系数矩阵利用系数矩阵 A 和增和增广矩阵广矩阵 B=(A,b)的秩，可方便地讨论线性方程的秩，可方便地讨论线

2、性方程是否有解是否有解(即是否相容即是否相容)以及有解时解是否唯一等以及有解时解是否唯一等问题问题.第2页/共25页(i)(i)无无无无解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是 R R(A A)R R(A A，b b););定理定理 3 n n 元线性方程组元线性方程组元线性方程组元线性方程组 AxAx=b b 二、线性方程组有解的条件二、线性方程组有解的条件(ii)(ii)有唯一有唯一有唯一有唯一解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是R R(A A)=)=R R(A A，b b)=)=n n;(iii)(iii)有无穷多有无穷多有无穷多有无穷多解的充要条件是

3、解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是R R(A A)=)=R R(A A，b b)n n.第3页/共25页三、线性方程组的求解步骤三、线性方程组的求解步骤对于线性方程组对于线性方程组 Ax=b 当当 R(A)=R(B)n 时时,由于含由于含 n r 个参数的解个参数的解可表示线性方程组可表示线性方程组的任一解，的任一解，因此解因此解(4)称为线性方程组称为线性方程组(1)的的通解通解.定理定理 3 的证明过程给出了求解线性方程组的的证明过程给出了求解线性方程组的步骤，归纳如下：步骤，归纳如下：从而也可表示线性方程组从而也可表示线性方程组的任一解，的任一解，第4页/共25页Step1Ste

4、p1 对于非齐次线性方程组，把它的增广对于非齐次线性方程组，把它的增广对于非齐次线性方程组，把它的增广对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵矩阵矩阵矩阵 B B 化成行阶梯形，从中可同时看出化成行阶梯形，从中可同时看出化成行阶梯形，从中可同时看出化成行阶梯形，从中可同时看出 R R(A A)和和和和R R(B B).).若若若若 R R(A A)R R(B B)，则方程组无解，则方程组无解，则方程组无解，则方程组无解.Step2 Step2 若若若若 R R(A A)=)=R R(B B)，则进一步把，则进一步把，则进一步把，则进一步把 B B 化成化成化成化成行行行行最简形最简形最简形最简形.

5、而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵 A A化成行最简形化成行最简形化成行最简形化成行最简形.第5页/共25页由未知量分别等于由未知量分别等于由未知量分别等于由未知量分别等于 c c1 1,c c2 2,c cn n r r ，由，由，由，由 B B(或或或或 A A)的行最简形，即可写出含的行最简形，即可写出含的行最简形，即可写出含的行最简形，即可写出含 n n r r 个参数的通解个参数的通解个参数的通解个参数的通解.Step3 Step3 设设设设 R R(A A)=)=R R(B B)=

6、)=r r ，把行最简形中，把行最简形中，把行最简形中，把行最简形中 r r 个个个个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量，其余量，其余量，其余量，其余 n n r r 个未知量取作自由未知量，并令自个未知量取作自由未知量，并令自个未知量取作自由未知量，并令自个未知量取作自由未知量，并令自第6页/共25页单击这里开始单击这里开始 例例 10 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组四、举例四、举例第7页/共25页 例例 11 求解非齐次线性方程组求解非齐次线

7、性方程组单击这里开始单击这里开始第8页/共25页 例例 12 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组单击这里开始单击这里开始第9页/共25页 例例 13 设有线性方程组设有线性方程组问问 k 取何值时，此方程组取何值时，此方程组(1)有唯一解；有唯一解；(2)无解无解;(3)有穷多个解？并在有无穷多解时求其通解有穷多个解？并在有无穷多解时求其通解.第10页/共25页设有三元非齐次线性方程组设有三元非齐次线性方程组五、线性方程组解的几何意义五、线性方程组解的几何意义下面我们来讨论一下三元非齐次线性方程组下面我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义解的几何意义.第11页/共25页(2)(2

8、)有唯一解有唯一解有唯一解有唯一解 这时方程组中的这时方程组中的 m 个方程所个方程所该方程组有唯一解该方程组有唯一解则方程组的解有以下三种情况则方程组的解有以下三种情况:(1)(1)无解无解无解无解 这时方程组中的这时方程组中的 m 个方程所表示的个方程所表示的平面既不交于一点平面既不交于一点,也不共线也不共线.表示的平面交于一点表示的平面交于一点.例如例如如图如图 3.1.第12页/共25页2 2x x-y y=-3=-33 3x x+2+2z z=-1=-1x x-3-3y y+2+2z z=4=4图图 3.1第13页/共25页交直线所确定交直线所确定交直线所确定交直线所确定.(3)(3

9、)有无穷多组解有无穷多组解有无穷多组解有无穷多组解 这时又可分为两种情形这时又可分为两种情形:情形一情形一情形一情形一 R(A)=R(B)=1,即保留方程组只有即保留方程组只有一个方程一个方程,则有两个自由变量则有两个自由变量,其通解中含有两个其通解中含有两个任意常数任意常数,通解形式为通解形式为x=c1 1+c2 2+,(c1,c2 为任意常数为任意常数).这时这时方程组的所有解构成一个平面方程组的所有解构成一个平面方程组的所有解构成一个平面方程组的所有解构成一个平面,而这个平面是而这个平面是而这个平面是而这个平面是由过点由过点由过点由过点 且分别以且分别以且分别以且分别以 1 1 ，2 2

10、 为方向向量的两条相为方向向量的两条相为方向向量的两条相为方向向量的两条相第14页/共25页例如例如,设保留方程组为设保留方程组为 x+y+z=3,则可求得其通解为则可求得其通解为第15页/共25页则过点则过点 P(1,1,1)分别以分别以(1,-1,0)T,(1,0,-1)T 为方向为方向则这两条相交直线则这两条相交直线L1,L2 所确定的平面的方程即所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为向量的两直线的方程分别为为为 x+y+z=3.如图如图 3.2.第16页/共25页图图 3.2第17页/共25页的直线上的直线上的直线上的直线上.情形二情形二情形二情形二 R(A)=R(B)=2,即保

11、留方程组有即保留方程组有两个方程两个方程,这时方程组的通解为这时方程组的通解为x=c +,(c 为任意常数为任意常数).此时此时方程组的所有解在过点方程组的所有解在过点方程组的所有解在过点方程组的所有解在过点 且以且以且以且以 为方向向量为方向向量为方向向量为方向向量例如例如第18页/共25页则其通解为则其通解为单击这里开始求解单击这里开始求解单击这里开始求解单击这里开始求解过点过点(-1,2,0)以向量以向量(-2,1,1)T 为方向向量作直线为方向向量作直线 则由方程组所确定的四个平面必交于直线则由方程组所确定的四个平面必交于直线 L.如图如图3.3.L,第19页/共25页2 2x x+3

12、+3y y+z z=4 43 3x x+8+8y y-2 2z z=13=13x x-2-2y y+4+4z z=-5=-54 4x x-y y+9+9z z=-6=-6图图 3.3第20页/共25页六、两个基本定理六、两个基本定理由由容易得出线性方程组理论中两个容易得出线性方程组理论中两个最基本的定理，这就是最基本的定理，这就是定理定理 4 n n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AxAx=0 =0 有非零有非零有非零有非零解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是解的充要条件是 R R(A A)n n.由定理由定理 4 可得如下推论：可得如下推论：推论推论

13、 当当当当 mm n n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组A Amm n n x x=0 =0 一定有非零解一定有非零解一定有非零解一定有非零解.第21页/共25页定理定理 5 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 AxAx=b b 有解的充要条件有解的充要条件有解的充要条件有解的充要条件是是是是 R R(A A)=)=R R(A A,b b).).显然，定理显然，定理 4 是定理是定理 3(iii)的特殊情形，而的特殊情形，而定理定理 5 就是定理就是定理 3(i).为了下一章论述的需要，下面把定理为了下一章论述的需要，下面把定理 5 推广推广到矩

14、阵方程到矩阵方程.定理定理 6 矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程 AXAX=B B 有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是有解的充要条件是 R R(A A)=)=R R(A A,B B).).第22页/共25页利用定理利用定理 6，容易得出矩阵的秩的性质，容易得出矩阵的秩的性质(7)，即，即定理定理 7 设设设设 ABAB=C C，则，则，则，则R R(C C)min min R R(A A),),R R(B B).第23页/共25页本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请

15、单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若

16、想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本

17、节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束!若想结束本堂课若想结束本堂课,请单击返回按钮请单击返回按钮.第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页