数学建模几种创新思维方法.pptx

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1、 数学模型(E.A.Bendar 定义)：关于部分现实世界为一定目的而做关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。的抽象、简化的数学结构。重要的科学思维方式之一是创重要的科学思维方式之一是创新思维，创新思维是创新能力的核新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂。心与灵魂。几种创新思维方法第1页/共80页现实世界数学世界建立数学模型建立数学模型推理推理演绎演绎求解求解翻译为实际解答翻译为实际解答实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界第2页/共80页数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，数学模

2、型是现实世界与数学世界的理想桥梁，*数学建模没有普遍适用的方法与技巧数学建模没有普遍适用的方法与技巧.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式有一些普遍适用的思想方法与思维方式.整个数学建模过程由若干个有整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成明显差别的阶段性工作组成 怎样构架这座桥梁？怎样构架这座桥梁？第3页/共80页求解数学模型 实际问题分析建立数学模型提交论文与报告 模型与模型解的分析及检验 数学建模的各阶段工作数学建模的各阶段工作第4页/共80页此流程此流程 具有指导意义具有指导意义，应注意应注意*流程应用是弹性的，切不能生搬硬套流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.本章基本上按照此

3、流程来介绍数学建本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法。模的方法。*建模过程往往是一个反复循环的过程建模过程往往是一个反复循环的过程.第5页/共80页 数学建模过程是一种数学建模过程是一种创新过程创新过程，在思考，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别。差别。数数学学创创新新思思维维.等等等等.类比思维类比思维归纳思维归纳思维逆向思维逆向思维发散思维发散思维猜测思维猜测思维第6页/共80页 掌握几类方法掌握几类方法：问题解决法、思想表问题解决法、思想表达法、创造发明法达法、创造发明法.方法的共同特点：方法的共同特点：不轻易否定别人的意见，不轻易否定

4、别人的意见，怀疑一般常识，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等努力发现别人尚未察觉的事物等 以下介绍几种（个体和集体的）创造以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法性思维方法 对于创造能力对于创造能力的培养不可或的培养不可或缺缺第7页/共80页一、打开思路的方法面对新问题，应尽量打开自己的思路：面对新问题，应尽量打开自己的思路：发散性思维和猜测思维是创造性思维方发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分式的重要组成部分 1.不要轻易沿一条思路深入，不要轻易不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论做出结论.2.尽量多一些想法，多一些猜测。尽量多一些想法，多一些猜测。思考、思考、再

5、思考思考、思考、再思考.第8页/共80页帮助展开思路的方法：帮助展开思路的方法：关键词联想法关键词联想法提问题法提问题法1.提问题法 面临难题面临难题,束手无策时通过提出一系列问束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案题来导出一些想法或一个好的方案.如：如：(l)这个问题和什么问题相类似？这个问题和什么问题相类似？(2)假如变动问题的某些条件将会怎样？假如变动问题的某些条件将会怎样？借助于一系列问题来展开思路借助于一系列问题来展开思路.第9页/共80页(4)重新组合又会怎样？重新组合又会怎样？(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步为进

6、一步打开思路打开思路可提以下问题：可提以下问题：(5)我们还可以做什么工作？我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？有无需要进一步完善的内容？(7)可否换一种数学工具来解决此问题？可否换一种数学工具来解决此问题？针对问题和初始方案可以先设计出类似的针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。问题清单，然后反复展开。第10页/共80页例1 穿越公路问题 一条公路交通不太拥挤一条公路交通不太拥挤,以致人们养成以致人们养成“冲冲”过马路的习惯过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的不愿行走到邻近较远处的“斑马线斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿当地交通管理部门不允许任

7、意横穿公路公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线斑马线”,让行人可穿越公路让行人可穿越公路,并且还要保并且还要保证行人的平均等待时间不超过证行人的平均等待时间不超过15秒秒.增设增设“斑马线斑马线”需考虑哪些方面的问题？需考虑哪些方面的问题？第11页/共80页1.考虑问题的立场考虑问题的立场,司机或行人的哪方面的司机或行人的哪方面的 利益更为重要？利益更为重要？2.公路情况公路情况:是否有弯道？车道间是否设是否有弯道？车道间是否设 有安全隔离带？有安全隔离带？3.车流情况：车流的密度大小？车流情况：车流的密度大小？4.行人情况行人情况:穿越公路的速度

8、大小？穿越公穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性质？路的人群密度？穿越公路者的性质？第12页/共80页 问题分析问题分析 此问题的特点是机理复杂此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响受到较多随机因素的影响,类似于渡口类似于渡口模型模型,可采用统计模拟方法加以解决可采用统计模拟方法加以解决.第13页/共80页 一种新产品刚面世，厂家和商家总是采一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等广告等等.他们都希望对这种新产品的推销他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数速度做到心中有数,厂家用于组织生

9、产，商厂家用于组织生产，商家便于安排进货家便于安排进货.例例2 电饭煲销售问题 怎样建立一个数学模型描述新产品怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭电饭煲煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产果以指导生产.第14页/共80页想一想想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？相类似？分析分析 Logistic人口模型，人口模型，t 时刻的人口数为时刻的人口数为t0 改写为改写为 第15页/共80页数学分析数学分析1.若若 r0，则则S0，随着随着 ,则则2.若若 r0，讨论讨论Logistic曲线特征曲线特征N(t

10、)是单调上升函数是单调上升函数.K是使得人口净增长率是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限可理解为该地区能容纳的人口上限.第16页/共80页第17页/共80页t00N0kk/2 人口不会无限增长，存在一个转折时人口不会无限增长，存在一个转折时间点间点t0，过此点以后增长速度会减缓。，过此点以后增长速度会减缓。第18页/共80页 (1)一般每户只需用一般每户只需用12只电饭煲就足够只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；一个地区的需求量是有限的；电饭煲的销售情况类似于人口增长情况电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可可利用类比方法建立模型利用类比方

11、法建立模型.Logistic模型特点：模型特点：初期高速增长，过一个特初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.对原问题的分析对原问题的分析：(2)初期在广告之类推销作用下销售速度初期在广告之类推销作用下销售速度较快较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓商品趋于饱和时销售速度会减缓.第19页/共80页 记记x(t)为为t 时刻已售出的电饭煲总数时刻已售出的电饭煲总数,市场市场的饱和量的饱和量(最大需求量最大需求量)为为M,利用利用Logistic模模型型来描述电饭煲的销售速度变化情况来描述电饭煲的销售速度变化情况.实际情况与实际情况与Logis

12、tic销售曲线十分吻合销售曲线十分吻合 思考思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？模型进行描述？第20页/共80页 现代化都市里大楼林立现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人造成令人震惊的人员伤亡和财产损失员伤亡和财产损失.大楼内居住人员的安全保障在于无论发生大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况什么情况,都能使人员有组织都能使人员有组织,有秩序地进行有秩序地进行疏散撤离疏散撤离.例例3

13、 “9.11”事件的反思事件的反思第21页/共80页 一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习人员的演习.问题分析问题分析 演习之前需要考虑许多方面演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程个较庞大的系统工程应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如*一个房间内人员的撤离；一个房间内人员的撤离；*一个通道的撤离；一个通道的撤离；*一层楼人员的撤离；一层楼人员的撤离；最后，将各个子问题

14、重新组合起来最后，将各个子问题重新组合起来.第22页/共80页2.关键词联想法主要步骤如下：(1)抓住问题或方案的关键词抓住问题或方案的关键词,不受任何约束不受任何约束地进行联想；地进行联想；(2)把联想到的内容用关键词的方式登记把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上在卡片上,进一步激发产生新的想法进一步激发产生新的想法,进一步进一步想出新的主意；想出新的主意；(3)再把积攒的卡片相互搭配再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题形成解决问题的初步思路与步骤的初步思路与步骤.一种有效的发散思维方式一种有效的发散思维方式.第23页/共80页 在约在约10,000米高空的某边长米高空的某边长160公里

15、的公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据算机记录其数据,以便进行飞行管理以便进行飞行管理.当一当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞如果会碰撞,则应则应例例4 飞行管理问题飞行管理问题第24页/共80页请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型学模型,列出计算步骤列出计算

16、步骤,对以下数据进行计算对以下数据进行计算(方向角误差不超过方向角误差不超过0.01度度).).要求飞机飞行方要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小向角调整的幅度尽量小.记录数据为：记录数据为：试根据实际应用背景对你的模型进行评价试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广与推广.计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：现假定条件如下：第25页/共80页 *对问题仔细阅读对问题仔细阅读,首先抓住题目中的关键词首先抓住题目中的关键词“管理管理”进行联想进行联想.*抓住诸如抓住诸如“碰撞碰撞”、“调整调整”、“

17、避免碰撞避免碰撞”、“立即立即”、“判断判断”等等词语等等词语.*联系解决问题的方案联系解决问题的方案,不加约束继续联不加约束继续联想，再将关键词搭配起来想，再将关键词搭配起来.第26页/共80页立即立即 判断判断 碰撞碰撞 条件条件 实时实时 算法算法 避避免免 碰碰撞撞 调调整整 方方向向角角 实时实时 幅度尽量小幅度尽量小 相对相对距离距离优化问题优化问题优优化化算算法法优优化化调调整整方方案案第27页/共80页问题的初步理解和想法问题的初步理解和想法:飞行管理问题是飞行管理问题是优化优化问题问题,在调整方向角在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案的幅度尽量小的同时，还必须注

18、意调整方案及算法的实时性及算法的实时性.第28页/共80页思考题：尝试读题与分析思考题：尝试读题与分析MCM1999A题：强烈的碰撞 美国国家航空和航天局美国国家航空和航天局(NASA)从过去某个从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。球会产生的后果。作为这种努力的组成部分，要求你们队来作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。撞到地球的其他地方可能

19、会有很不同的后果。第29页/共80页 假如小行星的直径大约为假如小行星的直径大约为1000米，还假设它米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。正好在南极与南极洲大陆相撞。要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，评估。特别是，NASA希望有一个关于这种希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产区域造区的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的大量融化造成的可能

20、的沿海岸地区的洪水的估计。的估计。第30页/共80页后果后果强烈的碰撞读题分析强烈的碰撞读题分析撞击撞击爆炸？爆炸？冲击波冲击波地震、海啸、飓风地震、海啸、飓风热能释放热能释放冰融冰融海岸线上升海岸线上升洪水洪水放射物放射物粉尘放射粉尘放射减少日照、减少日照、大气层变化大气层变化第31页/共80页人员伤亡人员伤亡所在地区所在地区沿海沿海海啸、地震、洪水、放射物海啸、地震、洪水、放射物食物生产区的破坏食物生产区的破坏冰融冰融对地球运行轨迹的影响对地球运行轨迹的影响第32页/共80页相关因素：小行星形状、成分与密度小行星形状、成分与密度撞击角度、速度、位置（运行轨迹）撞击角度、速度、位置（运行轨迹

21、）太阳、地球、月亮太阳、地球、月亮轨道轨道能量来源能量来源引力、动能引力、动能南极冰盖的成分（深度、密度、温度）南极冰盖的成分（深度、密度、温度）冰融的估算冰融的估算以及冰盖下的成分以及冰盖下的成分大气环流大气环流粉尘的传送粉尘的传送温室效应温室效应第33页/共80页相关理论：Newton引力模型引力模型轨迹轨迹碰撞的动力学碰撞的动力学冰的热力学（冰融、汽化）、热传导冰的热力学（冰融、汽化）、热传导生态系统（磷虾生态系统（磷虾.krill.krill）水温水温后期工作：预测与预警预测与预警第34页/共80页二、整体把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法：有两种把握住问题的全貌的有效方法

22、：(1)层次结构法层次结构法(2)问题分解法问题分解法 有专著介有专著介绍绍 问题分解法是一种简单而有效的把握问问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法题整体的方法.第35页/共80页将问题分解为将问题分解为“三要素三要素”的三个部分的三个部分.问问题题分分解解三三要要素素 初态 目标态 过程 觉察到的现在状态觉察到的现在状态(目前目前“有什么有什么”，如条件、数据等，如条件、数据等).).觉察到的希望目标觉察到的希望目标(想要什么、想要什么、希望达到什么等希望达到什么等).).能在能在“初态初态”和和“目标态目标态”之间发之间发生生作用的行动作用的行动(能做什么能做什么).).第36页

23、/共80页例例5 常见数学题目模式常见数学题目模式 已知已知求（证求（证）解题解题初态初态目标态目标态过程过程主要教学目主要教学目标标第37页/共80页 *解决实际问题时，分析出问题的初态和解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难目标态很困难.*未清晰地描述出问题的未清晰地描述出问题的“初态初态”和和“目目标态标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明会条件不清、目标不明.尽量拓展思路的基础上尽量拓展思路的基础上,再进行充分分析再进行充分分析得到的问题分解结果：得到的问题分解结果：例例6飞行管理问题飞行管理问题 初态初态：现有飞机的飞行状态

24、（数据）与碰：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件撞条件第38页/共80页 过程过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法案及相应算法.目标态目标态：实时调整，避免碰撞。：实时调整，避免碰撞。课后练习题目课后练习题目：“气象观察站调整问气象观察站调整问题题”前期问题分析与问题分解。前期问题分析与问题分解。第39页/共80页气象观察站调整问题气象观察站调整问题 某地区内有某地区内有12个气象观察站（位置如图个气象观察站（位置如图),),有有10年各观察站的年降水量数据年各观察站的年降水量数据.为了节为了节省开支，想要适当减少气象站省开支，想要适当减少气象站.

25、问题问题：减少哪些观察站可以使得到的降水：减少哪些观察站可以使得到的降水量的量的信息量信息量仍然足够大？仍然足够大？如何利用熵的概念解决此问题，给出解决如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问题的思路。问题的思路。第40页/共80页x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 问题：问题：怎样比较信息的大小？怎样比较信息的大小？信息的多少能不能度量信息的多少能不能度量？降水量的降水量的信息量信息量仍然足够大？仍然足够大？第41页/共80页总结评讲总结评讲1.问题分析问题分析首先找出问题中的关键词，进行联想首先找出问题中的关键词，进行联想.减少减少 站数站数 删除删除原则原则各站各站关系关系降水降水

26、数据数据保持保持 信息量信息量 足够大足够大衡量衡量指标指标衡量衡量指标指标熵熵降水降水数据数据第42页/共80页2.问题的分解问题的分解初态：初态：12个气象站的年降水数据个气象站的年降水数据。（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件它条件.）目标态：目标态：减少气象站数，并保持降水量足够减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量大的信息量.过程过程：（将做的事情）（将做的事情）(1)信息量的衡量（用熵）；信息量的衡量（用熵）；(2)给出删除气象站的条件及原则；给出删除气象站的条件及原则；(3)建立保持足够信息量的判别条件；建立保持足够信息量的判别

27、条件；解决问题的解决问题的惟一出发点惟一出发点第43页/共80页(1)确定各气象站的年降水量：确定各气象站的年降水量：的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值.(2)分析判断各站年降水量分析判断各站年降水量(两两之间或多两两之间或多个变量间个变量间)是否存在相关关系是否存在相关关系(线性的或非线性线性的或非线性的的)，并据此保留其中熵值较大的气象站，并据此保留其中熵值较大的气象站.随机变量随机变量另一种方法：用聚类分析法进行聚类另一种方法：用聚类分析法进行聚类.3.解决问题的思路解决问题的思路 （可由降水数据分析各个气象站的相似性，（可由降水数据分析各个

28、气象站的相似性，如同为干旱、湿润地区等如同为干旱、湿润地区等.）统计检验统计检验第44页/共80页1)设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值的气象站；的气象站；2)使保留气象站的信息量总和占原信息量使保留气象站的信息量总和占原信息量总和的一定比例总和的一定比例.可考虑各种判别条件，如可考虑各种判别条件，如：(3)建立保持足够信息量的判别条件建立保持足够信息量的判别条件 注注：阈值或比例值均需背景知识和经验阈值或比例值均需背景知识和经验来确定来确定。仍保留降水量的信息量较大的站。仍保留降水量的信息量较大的站。第45页/共80页 数学模型(E.A.Bendar 定义)

29、：关于部分现实世界为一定目的而做关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。的抽象、简化的数学结构。数学模型是对于现实世界的一个数学模型是对于现实世界的一个特定特定对象对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据特有的内，根据特有的内在规律在规律,做出必要的做出必要的简化假设简化假设，运用适当，运用适当的数学工具建立的一个的数学工具建立的一个数学结构数学结构.数学建模-问题前期分析第46页/共80页问题的前期分析问题的前期分析 包括：包括：明确问题、分析条件、分析数据等。明确问题、分析条件、分析数据等。为什么问题前期分析至关重要？为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清

30、数学建模问题往往含混不清,可能的原因有可能的原因有:*提出问题的人未能清楚地表述问题提出问题的人未能清楚地表述问题.*不同领域的人交流出现故障不同领域的人交流出现故障.*各领域的应用者提出问题时各领域的应用者提出问题时,未给出恰当未给出恰当的条件的条件.第47页/共80页 对问题进行充分的前期分析以前对问题进行充分的前期分析以前,过早过早着手决问题着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷往往会陷入一些意想不到的陷阱阱,或者偏离解决问题的方向或者偏离解决问题的方向.一.明确问题 例3.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关于应一家大商业印刷公司的经理就关于应 该雇多少推销员的问题征询你的意见该雇多少

31、推销员的问题征询你的意见.“究竟需要做什么？究竟需要做什么？”遇到一个新问题时遇到一个新问题时,首先应问自己首先应问自己*未能准确理解问题未能准确理解问题.第48页/共80页 着眼点着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行是对各类推销队伍的工作效果进行分析。分析。原问题原问题“推销员人数问题推销员人数问题”明确为：明确为：(1)不同规模的销售队伍会有什么影响；不同规模的销售队伍会有什么影响；(2)怎样从他们的销售工作中获取最大的收益怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.明确了工作的目标明确了工作的目标,即设置好问题的目标态即设置好问题的目标态.为明确问题为明确问题,可向有关人员询问如下问题：可向有

32、关人员询问如下问题：1.公司的规模有多大？公司的规模有多大？2.该公司的推销员的工作方式？该公司的推销员的工作方式？第49页/共80页 推销员人数推销员人数获取较大的投获取较大的投入产出比。入产出比。顾客顾客地域地域分析确定出各有关因素分析确定出各有关因素,画出问题的层次结构图画出问题的层次结构图 顾客容量顾客容量 市场份额市场份额 现有现有定货量定货量潜在潜在 转移转移 概率概率 转变转变 概率概率 现有现有潜在潜在第50页/共80页二.条件及数据分析 设置好问题的目标态设置好问题的目标态,着手工作还需要做着手工作还需要做以下工作：以下工作：1.收集必要的资料和数据。收集必要的资料和数据。2

33、.分析现有的数据和条件分析现有的数据和条件,使问题进一步使问题进一步 明确化明确化.我国淡水资源有限我国淡水资源有限.节约用水人人有责节约用水人人有责,洗衣洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣目前洗衣例例3.3.2 节水洗衣机问题节水洗衣机问题第51页/共80页机已非常普及机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要节约洗衣机用水十分重要.假假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水为：加水漂洗漂洗脱水脱水加水加水漂洗漂洗脱水脱水加水加水漂洗漂洗脱水脱水(称称“加水加水漂洗漂洗脱水脱水”为运行一轮为运行一轮).).请为洗

34、衣机设计一种程请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等序（包括运行多少轮、每轮加水量等),),使得使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少少.选用合理的数据进行运算，对照目前常用选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价评价.第52页/共80页*衣服的洗净效果指标衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤包括污物和残留洗涤剂剂)；*不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C；*洗衣机的最高水位洗衣机的最高水位H、最低水位、最低水位L；*各类污物

35、各类污物(泥土、油腻等泥土、油腻等)和洗涤剂在水中和洗涤剂在水中的溶解特性。的溶解特性。怎样收集数据和资料？怎样收集数据和资料？分析：题目中没有一个数据题目中没有一个数据,但问题却需要比但问题却需要比 较多的数据及条件较多的数据及条件,如如 第53页/共80页 可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到通过试验来得到。收集数据应列入工作计划，并注意：收集数据应列入工作计划，并注意：1.向有关人员调查情况应事先设计好问题；向有关人员调查情况应事先设计好问题；2.事先确定所需资料清单、资料来源、收集事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。方式。有条

36、理的收集计划可以为后期的工作有条理的收集计划可以为后期的工作创造良好的条件创造良好的条件 第54页/共80页 对收集到的或者现有的资料和数据要做对收集到的或者现有的资料和数据要做仔细分析，使问题进一步明确仔细分析，使问题进一步明确.为了保护人类赖以生存的自然环境为了保护人类赖以生存的自然环境,可再可再生资源生资源(如渔业、林业资源如渔业、林业资源)的开发必须适的开发必须适度度,一种合理、简化的策略是，一种合理、简化的策略是，在实现可持在实现可持续收获续收获的前提下，追求的前提下，追求最大产量最大产量或或最佳效最佳效益益.例例3.3.3 最优捕鱼策略最优捕鱼策略 第55页/共80页考虑对某种鱼的

37、最优捕捞策略：假设这种鱼分考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称个年龄组，称1龄鱼，龄鱼，4龄鱼龄鱼,各年龄组每各年龄组每条鱼的平均重量（单位：条鱼的平均重量（单位：g）分别为）分别为5.07、11.55、17.86、22.99，各个年龄组的鱼的自，各个年龄组的鱼的自然死亡率均为然死亡率均为0.8(1/年年),这种鱼为这种鱼为季节性集中产季节性集中产卵繁殖卵繁殖,平均每条平均每条4龄鱼的产卵量为龄鱼的产卵量为1.109105个个,3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和龄鱼和1龄鱼不产卵，龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后产卵和孵化期为每年的最后4

38、个个月月,卵孵化并成活为卵孵化并成活为1龄鱼龄鱼,成活率（成活率（1龄鱼条数龄鱼条数与产卵总量与产卵总量n之比）为之比）为第56页/共80页1.221011/（1.221011+n）渔业管理部门规定渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期每年只允许在产卵孵化期前的前的8个月内进行捕捞作业个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕如果每年投入的捕捞能力捞能力(如渔船数、下网次数等如渔船数、下网次数等)固定不变固定不变,这这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比比,比例系数不妨称捕捞强度系数比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用通常使用13mm 网眼的拉网网眼的

39、拉网,这种网只能捕这种网只能捕3龄鱼和龄鱼和4龄龄鱼，其两个强度系数之比为鱼，其两个强度系数之比为0.42:1.渔业上称渔业上称这种方式为固定努力捕捞这种方式为固定努力捕捞.第57页/共80页建立数学模型分析如何实现可持续捕获建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),),并且在此前提下得到最高的年收获量并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总捕捞总重量重量)渔业公司承包这种鱼的捕捞业务渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年年,合合同要求同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏破坏.已知承

40、包时各年龄组鱼群的数量分别已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为为:122,29.7，10.1，3.29（109为）条），为）条），如果仍用固定努力量的捕捞方式如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高应采取怎样的策略才能使总收获量最高.第58页/共80页分析：分析：此题中的数据、条件特别多此题中的数据、条件特别多,有的有的难于把握难于把握,有的会直接影响到所建模型是有的会直接影响到所建模型是否正确否正确.1.捕捞强度系数捕捞强度系数 q 单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例系数例系数 可否理解为捕捞量占总鱼群量的可否理解为捕

41、捞量占总鱼群量的百分率？百分率？否！否！第59页/共80页将捕捞强度系数将捕捞强度系数 q 的定义用数学表达式写出的定义用数学表达式写出.设设i 龄鱼在龄鱼在 t,t+t 时间段内由捕捞产生时间段内由捕捞产生的变化量（捕捞量）为的变化量（捕捞量）为 单位时间的捕捞量是单位时间的捕捞量是 对任何时间间隔对任何时间间隔 t都有都有 第60页/共80页令令t 0,得到微分方程得到微分方程 2.考虑考虑 q 是否有量纲（或单位）？是否有量纲（或单位）？思考：1.此模型可与哪一个模型类比？此模型可与哪一个模型类比？3.怎样理解捕捞强度系数怎样理解捕捞强度系数q？第61页/共80页 2.自然死亡率自然死亡

42、率r(0.8（1/年）年）)是否理解为鱼死亡的概率为是否理解为鱼死亡的概率为0.8？不对！不对！类似于人口增长模型中的类似于人口增长模型中的“自然（相对）自然（相对）增长率增长率”，理解为鱼群未受其他外界影响下理解为鱼群未受其他外界影响下的的“自然增长率自然增长率”.即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程：比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程：第62页/共80页请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量变化的规律？变化的规律？思考：3.成活率成活率c 的影响的影响 成活率成活率c 为为1 龄鱼条数与产卵总量龄鱼

43、条数与产卵总量n 之比之比c=1.221011/（1.221011+n）设设t 年的产卵量为年的产卵量为n，则，则t+1年的年的1 龄鱼数龄鱼数目为目为第63页/共80页N1(t+1)=n c 因因3、4龄鱼的数量级及产卵量的数量级分龄鱼的数量级及产卵量的数量级分别是别是 109 和和1014 n1.221011 当当 n 变动变动(即即N3(t),N4(t)变动变动)时时N1(t+1)的反应不敏感的反应不敏感.第64页/共80页 说明下一年说明下一年1 龄鱼的成活率使得鱼群对于龄鱼的成活率使得鱼群对于捕捞量有一定的适应能力捕捞量有一定的适应能力.N1n0充分分析正确理解数据和条件充分分析正确

44、理解数据和条件可以进一步明确问题可以进一步明确问题。第65页/共80页5.哪些条件是可以变动的？等等。哪些条件是可以变动的？等等。2.数据来源是否可靠？数据来源是否可靠？3.所给条件有什么意义？所给条件有什么意义？4.哪些条件是本质的？哪些条件是本质的？还应该分析还应该分析1.从数据中可得到什么信息？从数据中可得到什么信息？第66页/共80页问问题题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数

45、器读数是均匀增长的吗？录像机计数器的用途录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。第67页/共80页录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！第68页/共80页模型假设模型假设 录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是常数 v；计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn；录像

46、带厚度（加两圈间空隙）为常数录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r；时间时间 t=0 时读数时读数 n=0.建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）第69页/共80页模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1.右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi,m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以第70页/共80页2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立模型建立第71页/共80页思思 考考3 3种

47、建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思思 考考第72页/共80页参数估计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作只需估计 a,b理论上，已知理论上，已知t=184,n=6061,再有一组再有一组(t,n)数据即可数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3

48、413 t 100 120 140 160 184n 4004 4545 5051 5525 6061用用最小二乘法最小二乘法可得可得第73页/共80页模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：模模 型型 应应 用用回答提出的问题：由模型算得 n=4450 时 t=116.4分，剩下的录像带能录 184-116.4=67.6分钟的节目。揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。第74页/共80页汽车刹车距离汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前

49、车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。第75页/共80页问问题题分分析析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数第76页/共80页假假 设设 与

50、与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离 d1与车速 v成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间且F与车的质量m成正比第77页/共80页 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模模 型型最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）2029.342（44）3044.07