数学任意角学习.pptx

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1、问题问题:如果你的手表慢了如果你的手表慢了2020分钟分钟,或快了或快了1.251.25小时小时,你应当如何将它校准？当时间校准后你应当如何将它校准？当时间校准后,分针转了多少度？分针转了多少度？课题引入课题引入1.1.任意角任意角 平面内一条射线绕平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的到另一个位置所形成的图形图形,叫做叫做角角。角是平面几何中的一个基本图形角是平面几何中的一个基本图形,角是可以度角是可以度量其大小的量其大小的.在平面几何中在平面几何中,角的取值范围如何？角的取值范围如何？A AOB B始边始边顶点顶点 终边讲授新课讲授新课第1页/共40页

2、第2页/共40页同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角现状生活中：现状生活中：体操、跳水、滑冰、体操、跳水、滑冰、转体转体720720度度的高难度动作的高难度动作,直体后空直体后空翻转体翻转体900900度及度及以上的旋转以上的旋转时钟的时针、分针转动和调准时间时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度时顺时针、逆时针拨转角度主从动轮转动角主从动轮转动角车的轮子的转动角车的轮子的转动角风车风车,风扇叶片等转动风扇叶片等转动第3页/共40页规定：规定：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做正角正角;按按顺顺时针时针方向旋转形成的角叫做方向旋转形成的角叫做负角负角

3、;如果一条射线没如果一条射线没有作任何旋转有作任何旋转,则称它形成了一个则称它形成了一个零角零角.这样这样,我们就把角的概念推广到任意角我们就把角的概念推广到任意角.它包括它包括正正角、负角和零角。角、负角和零角。注意注意:(1)(1)确定一个角的大小需要考虑两个要素确定一个角的大小需要考虑两个要素:旋旋转量和旋转方向；转量和旋转方向；(2)(2)角常用希腊字母角常用希腊字母 等表示。等表示。对于对于 ,你能用图形表示这些角吗你能用图形表示这些角吗?你你能总结一下作图的要点吗能总结一下作图的要点吗?B B2 2A AB B1 1O O思考思考1：第4页/共40页画图表示一个大小一定的角画图表示

4、一个大小一定的角:(1)(1)先画一条射线作为角的始边先画一条射线作为角的始边;(2)(2)再由角的正负确定角的旋转方向再由角的正负确定角的旋转方向;(3)(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量再由角的绝对值大小确定角的旋转量;(4)(4)画出角的终边画出角的终边,并用带箭头的螺旋线加以标注并用带箭头的螺旋线加以标注.2.2.象限角和轴线角象限角和轴线角思考思考2:2:为了进一步研究角的需要为了进一步研究角的需要,我们常在直角坐标系内我们常在直角坐标系内讨论角讨论角,并使角的顶点与原点重合并使角的顶点与原点重合,角的始边与角的始边与x x轴的非负轴的非负半轴重合半轴重合,那么对一个任意角那么对

5、一个任意角,角的终边可能落在哪些位置角的终边可能落在哪些位置？(1)(1)象限角象限角:当角的顶点与坐标原点重当角的顶点与坐标原点重合合,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合,那么，角的终边落在第几象限那么，角的终边落在第几象限,我们我们就说这个角是第几象限角。就说这个角是第几象限角。xoy第5页/共40页(2)(2)轴线角轴线角:当角的顶点与原点重合当角的顶点与原点重合,始边与始边与x x轴的非负半轴轴的非负半轴重合重合,角的终边落在坐标轴上角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象就认为这个角不属于任何象限限,称这个角为轴线角称这个角为轴线角.练习练习1 1:下列

6、各角：下列各角：-50,405,210,-200,-50,405,210,-200,450450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210 xyo405xyo200 xyo思考思考3:3:锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于角？小于9090的角是锐角吗？的角是锐角吗？锐角是第一象限的角；锐角是第一象限的角；第一象限的角不一定是锐角；第一象限的角不一定是锐角；小于小于9090的角不一定是锐角。的角不一定是锐角。第6页/共40页思考思考4 4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？不一定

7、。象限角只能反映角的终边所在象限不一定。象限角只能反映角的终边所在象限(位置位置),),不能反映角的大小不能反映角的大小.思考思考5 5：32,328,32,328,392392是第几象限的角？这些角是第几象限的角？这些角有什么内在联系？有什么内在联系？32392xyo o328 与与3232角终边相角终边相同的角有多少个？同的角有多少个？这些角与这些角与3232角角在数量上相差多少？在数量上相差多少？第7页/共40页即任一与即任一与终边相同的角终边相同的角,都可以表示成角都可以表示成角与整数个周与整数个周角的和角的和.一般地一般地,所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角,连同角连同角在内可

8、构在内可构成一个集合成一个集合 3.3.终边相同的角终边相同的角4.4.象限角的集合表示象限角的集合表示第一象限角：第一象限角：S=|kS=|k3603600 090900 0k k3603600 0,kZ,kZ；第二象限角：第二象限角：S=|90S=|900 0k k3603600 01801800 0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第三象限角：第三象限角：S=|180S=|1800 0k k3603600 02702700 0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k k3603600 0kk3603600 0，kZ.kZ.第8页/共4

9、0页 在在00360360范围内范围内,与与9501295012终边相同的终边相同的角是角是12948,12948,它是第二象限角它是第二象限角.与与3900 3900 终边相同的最小正角是终边相同的最小正角是300,300,最大负角最大负角是是-60.-60.例题分析例题分析例例1.1.在在00360360范围内范围内,找出与找出与9501295012角终边相角终边相同的角同的角,并判定它是第几象限角并判定它是第几象限角.例例2 2求与求与39003900终边相同的最小正角和最大负角终边相同的最小正角和最大负角.解:95012=12948-3 36095012=12948-3 360解解:与

10、与39003900终边相同的角可表示为终边相同的角可表示为当当k=-10k=-10时，时，=300=300当当k=-10k=-10时，时，=-60=-60第9页/共40页例2:写出终边在Y轴上的角的集合 分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为终边在Y轴的负半轴上的角的集合为xyoxyo第10页/共40页所以,终边在Y轴上的角的集合为xyo第11页/共40页巩固与提高写出终边在X轴上的角的集合写出终边在坐标轴上的角的集合xyoxyo第12页/共40页xyoxyo小结1:1:终边在轴线上的角的集合 xyoxyo第13页/共

11、40页例3:写出终边在直线 上的角的集合S,并把S中适合不等式 的元素 写出来第14页/共40页解:终边在终边在射线y=x上的角的集合是终边在终边在射线y=-x上的角的集合是所以终边在Y=x上的角的集合是第15页/共40页中适合的元素452x180=-315 451x180=-135 45+0 x180=45 45+1x180=225 45+2x180=405 45+3x180=585S=|=45S=|=45k k180180，kZ.kZ.(确定整数k)第16页/共40页例4：已知 与240角的终边相同，判断是第几象限的角。第17页/共40页110110，230230，350.350.例5已知

12、角的终边与30角的终边关于x轴对称试在0360范围内，找出与 终边相同的角.第18页/共40页小结作业1.1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义并使得角具有代数和几何双重意义.2.2.终边相同的角有无数个，在终边相同的角有无数个，在00360360范范围内与已知角围内与已知角终边相同的角有且只有一个终边相同的角有且只有一个.用用除以除以360360，若所得的商为，若所得的商为

13、k k，余数为，余数为（必须是正数），则必须是正数），则即为所找的角即为所找的角.第19页/共40页弧度制第20页/共40页一）问题的提出1、度量角的方法度分秒制把圆周角分为360等份1度的角60等份1分的角60等份1秒的角.2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应.当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等.第21页/共40页半径rr1=1r2=2r3=3r4=4弧长L弧长与半径的比值当n=300时练习:当n=600时呢?可以计算弧长L=第22页/共40页3、实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.称这个常数为该角的弧度数.能否用弧长来定义角的大小呢

14、?第23页/共40页二、二、1 1弧度角的定义弧度角的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度单位符号是rad,读作弧度弧度把角度单位与长度单位统一起来.第24页/共40页三）弧度数1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2，所以周角的弧度数为2，周角是2rad的角.2、任意一个003600的角的弧度数必然适合不等式0 x2.3、任一正角的弧度数都是一个正实数；任一负角的弧度数都是一个负实数；零角的弧度数是0.弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢?第25页/共40页4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：实数集实数集R R角的集合角的

15、集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数第26页/共40页角度制与弧度制的换算 用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算 若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此 第27页/共40页因为 1度角等于多少弧度？度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？弧度角等于多少度？度度第28页/共40页把化成弧度例1解：第29页/共40页角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键把化成度例2解：第30页/共40页角度弧度写出一些特殊角的弧度数 第31页/共40页例3计算：（1）；（2）解：（1）（2）

16、第32页/共40页.试推出弧长公式和扇形面积公式试推出弧长公式和扇形面积公式(角用弧度角用弧度).第33页/共40页xyoxyo用弧度表示终边在轴线上的角的集合 xyoxyo第34页/共40页（1）；（2）；（3）1把下列各角化成的形式：下列角的终边相同的是（）A与与与与BCD B第35页/共40页第36页/共40页问题：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50508080=130=130，50508080=3030，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？以以5050角角的的终终边边为为始始边边，逆逆时时针针（或或顺顺时针）旋转时针）旋转8080所成的角所成的角.问题：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？相差：k k360360（kZkZ）第37页/共40页设，那么有（D）第38页/共40页第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页