线性代数与解析几何.pptx

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1、会计学1线性代数与解析几何线性代数与解析几何21.1.1.1.定义定义定义定义1 1 1 1 n n个变量个变量个变量个变量x1,x2,xn的二次齐次的二次齐次的二次齐次的二次齐次 多项式多项式多项式多项式称为称为称为称为n元元元元二次型二次型二次型二次型,其中其中其中其中ll当系数当系数当系数当系数aij都是实数时都是实数时都是实数时都是实数时,称为称为称为称为实二次型实二次型实二次型实二次型;含有复数时含有复数时含有复数时含有复数时,称为称为称为称为复二次型复二次型复二次型复二次型.本书只讨论本书只讨论本书只讨论本书只讨论实二次型实二次型实二次型实二次型.9.2.19.2.19.2.19.

2、2.1 二次型定义及矩二次型定义及矩阵表示阵表示第1页/共36页3ll 如果将如果将如果将如果将(1)(1)式中的二次型展开式中的二次型展开式中的二次型展开式中的二次型展开,有有有有2.2.2.2.矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式第2页/共36页4则二次型可以矩阵乘积形式表述则二次型可以矩阵乘积形式表述则二次型可以矩阵乘积形式表述则二次型可以矩阵乘积形式表述其中其中其中其中对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵A称为称为称为称为二次型的矩阵二次型的矩阵二次型的矩阵二次型的矩阵.R(A)=二次型二次型二次型二次型 f f 的秩的秩的秩的秩.第3页/共36页5将三元二次型将三元二次型将三元二次型将三元二

3、次型例例例例1 1 1 1写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式写成矩阵形式.解解解解二次型二次型二次型二次型 f 的矩阵应为的矩阵应为的矩阵应为的矩阵应为3阶对称阵阶对称阵阶对称阵阶对称阵,3.3.3.3.二次型二次型二次型二次型与与与与对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵之间存在之间存在之间存在之间存在一一对应一一对应一一对应一一对应关系关系关系关系第4页/共36页6例例例例2 2 2 2 设设设设写出以写出以写出以写出以A为矩阵的为矩阵的为矩阵的为矩阵的二次型二次型二次型二次型.解解解解 设设设设第5页/共36页7 B=CTAC 则称则称则称则称A与与与与B合同合同合同合同.9.1.2 合同合

4、同矩阵矩阵(化简二化简二次型次型)矩阵矩阵矩阵矩阵合同合同合同合同的定义与矩阵相似的定义很类似的定义与矩阵相似的定义很类似的定义与矩阵相似的定义很类似的定义与矩阵相似的定义很类似,合同也是合同也是合同也是合同也是n阶方阵之间的一种等价关系阶方阵之间的一种等价关系阶方阵之间的一种等价关系阶方阵之间的一种等价关系,即即即即2.2.2.2.合同合同合同合同 等价等价等价等价,合同合同合同合同 等秩等秩等秩等秩3.3.3.3.合同关系具有三性合同关系具有三性合同关系具有三性合同关系具有三性:自反性自反性自反性自反性;对称性对称性对称性对称性;传递性传递性传递性传递性.1.1.1.1.定义定义定义定义2

5、 2 2 2 给定两个给定两个给定两个给定两个n阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵A和和和和B,如果如果如果如果 可逆方阵可逆方阵可逆方阵可逆方阵C,使得使得使得使得第6页/共36页8ll 而对任何实对称矩阵而对任何实对称矩阵而对任何实对称矩阵而对任何实对称矩阵A,存在一个正交存在一个正交存在一个正交存在一个正交 阵阵阵阵P,使得使得使得使得 PTAP=P-1AP=对角阵对角阵对角阵对角阵.所以任何实对称矩阵所以任何实对称矩阵所以任何实对称矩阵所以任何实对称矩阵A都与都与对角阵合同对角阵合同对角阵合同对角阵合同.4 4 4 4.实对称阵一定与对角阵合同实对称阵一定与对角阵合同:第7页/共36页9例例例例

6、3 3 3 3 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵既相似又合同的既相似又合同的既相似又合同的既相似又合同的矩阵是矩阵是矩阵是矩阵是().).解解解解A的特征值为的特征值为0,-3,4.又又因为因为因为因为A是实对称阵，是实对称阵，是实对称阵，是实对称阵，所以与所以与所以与所以与A既相似又合同的矩阵是既相似又合同的矩阵是既相似又合同的矩阵是既相似又合同的矩阵是(D).(D).第8页/共36页109.39.3 化实二次型化实二次型为为标准形标准形 下面研究可以用三种方法化下面研究可以用三种方法化实二次型实二次型实二次型实二次型为为标准形标准形标准形标准形.项项项项 没有混合项没有混合项没有混合项没有混合项

7、的二次型的二次型的二次型的二次型.ll 注意到二次型的矩阵是实对称矩阵注意到二次型的矩阵是实对称矩阵注意到二次型的矩阵是实对称矩阵注意到二次型的矩阵是实对称矩阵,所以任何实二次型都可通过一个适当所以任何实二次型都可通过一个适当所以任何实二次型都可通过一个适当所以任何实二次型都可通过一个适当 的可逆线性变换以化简为的可逆线性变换以化简为的可逆线性变换以化简为的可逆线性变换以化简为只含有平方只含有平方只含有平方只含有平方第9页/共36页11f f =X XTTAXAXX=CYf f =Y YTT Y YAA (实对称阵实对称阵实对称阵实对称阵)CCTAC AC=目的目的目的目的:化简化简化简化简-

8、为为为为对角阵对角阵对角阵对角阵 保留性质保留性质保留性质保留性质-CC是可逆阵是可逆阵是可逆阵是可逆阵X=CYX=CY是是是是可逆可逆可逆可逆变换变换变换变换CC是正交阵是正交阵是正交阵是正交阵X=CYX=CY是是是是正交正交正交正交变换变换变换变换C CT TAC=AC=是是是是合同合同合同合同C CT TAC=AC=是是是是正交合同正交合同正交合同正交合同(对角阵对角阵对角阵对角阵)CTAC f f 化为化为化为化为标准形标准形标准形标准形1.1.1.1.问题的提出问题的提出:找可逆找可逆找可逆找可逆C:找可逆找可逆找可逆找可逆 C:找可逆找可逆找可逆找可逆 C:第10页/共36页12只

9、含平方项的二次型只含平方项的二次型只含平方项的二次型只含平方项的二次型:对应矩阵对应矩阵对应矩阵对应矩阵对角阵对角阵对角阵对角阵,秩秩秩秩非零项个数非零项个数非零项个数非零项个数.3 3 3 3.可逆变换可逆变换:设设设设C是可逆阵是可逆阵是可逆阵是可逆阵,称变量称变量称变量称变量之间的变换之间的变换之间的变换之间的变换 X=CY 为可逆线性变换为可逆线性变换为可逆线性变换为可逆线性变换.若若若若C是正交阵是正交阵是正交阵是正交阵,称上述变换为正交称上述变换为正交称上述变换为正交称上述变换为正交(线性线性线性线性)变换变换变换变换.2.2.标准二次型标准二次型(标准形标准形):4 4 4 4.

10、二次型的化简二次型的化简二次型的化简二次型的化简:给定给定给定给定f f=X XTTAX AX 经过可逆的经过可逆的经过可逆的经过可逆的 线性变换线性变换线性变换线性变换X=CY X=CY 使使使使f=YT Y 化为化为化为化为标准形标准形标准形标准形.第11页/共36页13定理定理定理定理9.1 9.1 9.1 9.1 对任意对任意n元元实二次型实二次型实二次型实二次型 f=XTAX 可经过正交线性变换可经过正交线性变换可经过正交线性变换可经过正交线性变换 X=PY 化为化为化为化为 标准型标准型标准型标准型:f=1y12+2y22+nyn2 其中其中 1,2,n是是是是A 的的的的n个特征

11、值个特征值个特征值个特征值.9.2.19.2.19.2.19.2.1 正交变换化实二次型为标准形正交变换化实二次型为标准形思考题思考题思考题思考题:在正交变换下的标准形是否唯一在正交变换下的标准形是否唯一在正交变换下的标准形是否唯一在正交变换下的标准形是否唯一?P是否是否是否是否唯一唯一?不考虑系数次序时是唯一的不考虑系数次序时是唯一的不考虑系数次序时是唯一的不考虑系数次序时是唯一的.但但P 不唯一不唯一.第12页/共36页14ll 变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵P 是个正交阵是个正交阵是个正交阵是个正交阵,是由矩阵是由矩阵是由矩阵是由矩阵A的的的的 特征向量经过特征向量经过特征向量经过特征

12、向量经过SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt正交化得到的正交化得到的正交化得到的正交化得到的.ll 这样这样这样这样正交正交正交正交线性变换线性变换线性变换线性变换X=PY得到得到得到得到 f 的标准的标准的标准的标准 形中形中形中形中,平方项的系数恰是平方项的系数恰是平方项的系数恰是平方项的系数恰是A的特征值的特征值的特征值的特征值.ll 注意注意注意注意:对角阵中特征值的顺序对角阵中特征值的顺序对角阵中特征值的顺序对角阵中特征值的顺序和对应的和对应的和对应的和对应的 特征向量在特征向量在特征向量在特征向量在P 中的排列顺序一致中的排列顺序一致中的排列顺序一致中的排列顺序

13、一致.第13页/共36页15试将下列二次型化为标准形试将下列二次型化为标准形试将下列二次型化为标准形试将下列二次型化为标准形解解解解 (1)(1)二次型二次型二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为的矩阵为的矩阵为A的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为例例例例4 4 4 4第14页/共36页16得到得到得到得到A的特征值的特征值的特征值的特征值(3)(3)对特征值对特征值对特征值对特征值 1=5 求解方程组求解方程组求解方程组求解方程组得到基础解系得到基础解系得到基础解系得到基础解系:1=(1,1,1)T,(2)第15页/共36页17对特征值对特征值对特征值对特征值 2=-1求解

14、方程组求解方程组求解方程组求解方程组得到基础解系得到基础解系得到基础解系得到基础解系:2=(1,0,-1)T,3=(0,1,-1)T将将将将 2,3施行施密特正交化施行施密特正交化施行施密特正交化施行施密特正交化,得到得到得到得到第16页/共36页18作正交变换作正交变换作正交变换作正交变换X=PY,即可得到标准形即可得到标准形即可得到标准形即可得到标准形:为正交阵为正交阵为正交阵为正交阵,第17页/共36页19ll 用用用用正交变换正交变换正交变换正交变换法化实二次型为标准形法化实二次型为标准形法化实二次型为标准形法化实二次型为标准形,无无无无 论在理论上还是在实际应用中都是很论在理论上还是

15、在实际应用中都是很论在理论上还是在实际应用中都是很论在理论上还是在实际应用中都是很 重要的一种方法重要的一种方法重要的一种方法重要的一种方法.ll如果不要求给出变换如果不要求给出变换如果不要求给出变换如果不要求给出变换,只想得到标准形只想得到标准形只想得到标准形只想得到标准形,用这种方法特别方便用这种方法特别方便用这种方法特别方便用这种方法特别方便.ll如果要得到变换公式利用这种方法计算如果要得到变换公式利用这种方法计算如果要得到变换公式利用这种方法计算如果要得到变换公式利用这种方法计算 起来就比较繁起来就比较繁起来就比较繁起来就比较繁,而且只适应于实二次型而且只适应于实二次型而且只适应于实二

16、次型而且只适应于实二次型.ll下面介绍更加简便且对所有二次型都适下面介绍更加简便且对所有二次型都适下面介绍更加简便且对所有二次型都适下面介绍更加简便且对所有二次型都适 用的用的用的用的配方法配方法配方法配方法.第18页/共36页20 将将将将实实实实二次型化为标准形时二次型化为标准形时二次型化为标准形时二次型化为标准形时,如果不考如果不考如果不考如果不考虑正交变换虑正交变换虑正交变换虑正交变换,用可逆线性变换就可将用可逆线性变换就可将用可逆线性变换就可将用可逆线性变换就可将 f 化化为为为为标准形标准形标准形标准形.那么用配方法就可以实现了那么用配方法就可以实现了那么用配方法就可以实现了那么用

17、配方法就可以实现了.下面下面下面下面通过例子来说明这种方法通过例子来说明这种方法通过例子来说明这种方法通过例子来说明这种方法.例例例例5 5 5 5 用配方法将二次型化为标准形用配方法将二次型化为标准形用配方法将二次型化为标准形用配方法将二次型化为标准形：9.2.29.2.29.2.29.2.2 用配方法化实二次型为标准形用配方法化实二次型为标准形注注注注:用配方法化实二次型为标准形时用配方法化实二次型为标准形时用配方法化实二次型为标准形时用配方法化实二次型为标准形时,所用所用所用所用 的线性变换必须是的线性变换必须是的线性变换必须是的线性变换必须是可逆可逆可逆可逆的的的的.第19页/共36页

18、21令令令令解解解解第20页/共36页22则则则则 为所求的标准形为所求的标准形为所求的标准形为所求的标准形.所作可逆变换为所作可逆变换为所作可逆变换为所作可逆变换为第21页/共36页23也可写成矩阵形式也可写成矩阵形式也可写成矩阵形式也可写成矩阵形式,令令令令 C显然是个可逆矩阵显然是个可逆矩阵显然是个可逆矩阵显然是个可逆矩阵,因此所作可逆线性因此所作可逆线性因此所作可逆线性因此所作可逆线性变换为变换为变换为变换为X=CY.使使使使第22页/共36页24注注:(1)(1)CTAC=,C是可逆阵是可逆阵是可逆阵是可逆阵,不唯一不唯一不唯一不唯一.的的对角线上不一定是特征值对角线上不一定是特征值

19、对角线上不一定是特征值对角线上不一定是特征值.(2)(2)若缺若缺若缺若缺x12项项项项,可先将有平方项的可先将有平方项的可先将有平方项的可先将有平方项的 未知数先配方未知数先配方未知数先配方未知数先配方.(3)(3)若无平方项且含若无平方项且含若无平方项且含若无平方项且含x1x2项项项项,产生平方项后产生平方项后产生平方项后产生平方项后,按上面方法做按上面方法做按上面方法做按上面方法做.则只需先做则只需先做则只需先做则只需先做:第23页/共36页259.2.39.2.39.2.39.2.3 用初等变换法化实二次型为用初等变换法化实二次型为标准形标准形ll下面介绍另外一种利用矩阵初等变换下面介

20、绍另外一种利用矩阵初等变换下面介绍另外一种利用矩阵初等变换下面介绍另外一种利用矩阵初等变换 化简二次型的方法化简二次型的方法化简二次型的方法化简二次型的方法合同变换法合同变换法合同变换法合同变换法.ll初等变换法其实质是将二次型矩阵通初等变换法其实质是将二次型矩阵通初等变换法其实质是将二次型矩阵通初等变换法其实质是将二次型矩阵通 过一连串的合同变换化成与之合同的过一连串的合同变换化成与之合同的过一连串的合同变换化成与之合同的过一连串的合同变换化成与之合同的 矩阵矩阵矩阵矩阵,在形式上更为简单的矩阵在形式上更为简单的矩阵在形式上更为简单的矩阵在形式上更为简单的矩阵.ll可逆阵可逆阵可逆阵可逆阵C

21、可以表成有限个初等矩阵可以表成有限个初等矩阵可以表成有限个初等矩阵可以表成有限个初等矩阵Pi(i=1,2,s)的乘积的乘积的乘积的乘积,设设设设C=P1P2Ps,于是于是于是于是第24页/共36页26ll 利用初等变换与乘初等矩阵的关系利用初等变换与乘初等矩阵的关系利用初等变换与乘初等矩阵的关系利用初等变换与乘初等矩阵的关系,可以得到类似于矩阵求逆过程的一种可以得到类似于矩阵求逆过程的一种可以得到类似于矩阵求逆过程的一种可以得到类似于矩阵求逆过程的一种求标准形的方法求标准形的方法求标准形的方法求标准形的方法.第25页/共36页27将单位阵放在要变换矩阵下面将单位阵放在要变换矩阵下面将单位阵放在

22、要变换矩阵下面将单位阵放在要变换矩阵下面,构成构成构成构成一个一个一个一个2n n矩阵矩阵矩阵矩阵:一次初等列变换一次初等列变换一次初等列变换一次初等列变换一次同样的行变换一次同样的行变换一次同样的行变换一次同样的行变换当通过一系列合同变换当通过一系列合同变换当通过一系列合同变换当通过一系列合同变换把把把把 A变为对角变为对角变为对角变为对角矩阵矩阵矩阵矩阵 =CTAC 时时时时,下面的单位阵下面的单位阵下面的单位阵下面的单位阵E就变就变就变就变成了可逆阵成了可逆阵成了可逆阵成了可逆阵C.第26页/共36页28用初等变换法将下列二次型化成标准用初等变换法将下列二次型化成标准用初等变换法将下列二

23、次型化成标准用初等变换法将下列二次型化成标准形形形形,并求可逆线性变换并求可逆线性变换并求可逆线性变换并求可逆线性变换.解解解解 因为矩阵因为矩阵因为矩阵因为矩阵A中中中中a11=0,分别将第一行与分别将第一行与分别将第一行与分别将第一行与 第二行同时将第一列与第二列互换第二行同时将第一列与第二列互换第二行同时将第一列与第二列互换第二行同时将第一列与第二列互换,使左上角的元素不为使左上角的元素不为使左上角的元素不为使左上角的元素不为0 0.例例例例6 6 6 6第27页/共36页29第28页/共36页30作可逆线性变换作可逆线性变换X=CY,则则第29页/共36页31用初等变换法将下列二次型化

24、成标准形用初等变换法将下列二次型化成标准形用初等变换法将下列二次型化成标准形用初等变换法将下列二次型化成标准形:解解解解 因为二次型矩阵因为二次型矩阵因为二次型矩阵因为二次型矩阵A中中中中a11 0,利用利用利用利用a11分别分别分别分别 将第一行及第一列其余元素都消将第一行及第一列其余元素都消将第一行及第一列其余元素都消将第一行及第一列其余元素都消成成成成0.例例例例7 7 7 7第30页/共36页32第31页/共36页33作可逆线性变换作可逆线性变换X=PY,则则第32页/共36页34例例例例8 8 8 8 设设设设问问问问A,B,C 哪些相似哪些相似?哪些合同哪些合同?解解解解(1)A是

25、对角阵是对角阵,B是上三角阵是上三角阵,且有且有3个个互异特征值与互异特征值与A相同相同,所以所以B 可以相可以相似对角阵化为似对角阵化为A.即即A与与B相似相似.(2)因为因为A是对角阵是对角阵,所以与所以与A合同的矩阵必合同的矩阵必 是对称阵是对称阵,而而B不是对称阵不是对称阵,A与与B不合同不合同.第33页/共36页35(3)得得得得C又是实对称矩阵，又是实对称矩阵，又是实对称矩阵，又是实对称矩阵，阵阵阵阵 使使使使故故C 与与与与A即相似又合同，再由传递性知即相似又合同，再由传递性知即相似又合同，再由传递性知即相似又合同，再由传递性知C 与与与与B 也相似也相似也相似也相似.但但但但C 与与与与B 不合同不合同,(否则否则C 与与与与B 合同合同,由由传递性知传递性知传递性知传递性知,A与与与与B 也合同也合同,与与(2)矛盾矛盾)或因为或因为C是对称阵是对称阵,与对称阵合同的矩阵必是对称阵与对称阵合同的矩阵必是对称阵,而而B不是对称阵不是对称阵,所以所以C与与B不合同不合同.第34页/共36页36预习预习 9.4-9.59.4-9.5(-),Bye!第35页/共36页