2022年高中数学导数及其应用.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学导数及其应用一、学问网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用.2、求导公式与运算法就的运用.3、导数的几何意义.4、导数在争论函数单调性上的应用.5、导数在寻求函数的极值或最值的应用.6、导数在解决实际问题中的应用.三、学问要点（一）导数1、导数的概念（ 1）导数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word

2、精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（）设函数在点及其邻近有定义,当自变量x 在处有增量x （ x 可正可负）,就函数y 相应的有增量,这两个增量的比,叫做函数在点到这间的平均变化率.假如时,有极限,就说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作,即.（）假如函数 在开区间（ ）内每一点都可导,就说 在开区间（ ） 内可导, 此时, 对于开区间 （ ）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数,这样在开区间（ ）内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间（ ）内的导函数（简称导数）,记作或 , 即.认知：（）函数的导数是以 x 为自变量的函数,

3、而函数在点处的导数是一个数值.在点处的导数是的导函数当时的函数值.（）求函数在点处的导数的三部曲：求函数的增量.求平均变化率.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限.（ 2）导数的几何意义：函数在点处的导数,是曲线在点处的切线的斜率.（ 3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区分：（）如

4、函数在点处可导,就在点处连续.如函数在开区间（）内可导,就在开区间（）内连续（可导肯定连续）.事实上,如函数在点处可导,就有此时,记, 就有即在点处连续.（）如函数在点处连续,但在点处不肯定可导（连续不肯定可导）.反例：在点处连续,但在点处无导数.事实上,在点处的增量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当时,.当时,由此可知,不存在,故在点处

5、不行导.2、求导公式与求导运算法就（ 1）基本函数的导数（求导公式）公式 1常数的导数：（ c 为常数）,即常数的导数等于0.公式 2幂函数的导数：.公式 3正弦函数的导数：.公式 4余弦函数的导数：公式 5对数函数的导数：（）.（）公式 6指数函数的导数：（）.（）.（ 2）可导函数四就运算的求导法就设为可导函数,就有法就 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

6、 - - - - - -法就 2.法就 3.3、复合函数的导数（ 1）复合函数的求导法就设,复合成以x 为自变量的函数,就复合函数对自变量x 的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量u 对自变量 x 的导数,即.引申：设,复合成函数,就有（ 2）认知（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的次序,即从外向内分析：第一由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量的函数结构设出,由其次层中间变量的函数结构设出,由此一层一层分析,始终到最里层的中间变量为自变量的简洁函数的链条：x 的简洁函数为止.于是所给函数便“分解”为如干相互联系.（）运用上述法就求复合函数导数的解题思路分解： 分析所

7、给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的如干简洁函数.求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法就和基本公式求.仍原：将上述求导后所得结果中的中间变量仍原为自变量的函数,并作以适当化简或整理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、导数的应用1、函数的单调性（ 1）导数的符号与函数的单调性：一般的,

8、设函数在某个区间内可导,就如为增函数.如为减函数.如在某个区间内恒有,就在这一区间上为常函数.（ 2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数的定义域.（）求导数.（）令,解出相应的x 的范畴当时,在相应区间上为增函数.当时在相应区间上为减函数.（ 3）强调与认知（）利用导数争论函数的单调区间,第一要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中 始终立足于定义域D.如由不等式确定的 x 的取值集合为A,由确定的x的取值范畴为B,就应用.（）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件.因此方程的根不肯定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外,

9、仍要留意在定义域内的不连续点和不行导点,它们也可能是增、减区间的分界点.举例：（ 1）是 R 上的可导函数,也是R 上的单调函数,但是当x=0 时,.（ 2）在点 x=0 处连续,点x=0 处不行导,但在（ - , 0）内递减,在（0,+）内递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、函数的极值（ 1）函数的极值的定义设函数在点邻近有定义,

10、假如对邻近的全部点,都有,就说是函数的一个极大值,记作.假如对邻近的全部点,都有,就说是函数的一个微小值,记作.极大值与微小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（） 函数的极值点是区间内部的点, 并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得.（）极值是一个局部性概念.一个函数在其定义域内可以有多个极大值和微小值,并且在某一点的微小值有可能大于另一点处的极大值.（）当函数在区间上连续且有有限个极值点时,函数在内的极大值点,微小值点交替显现.（ 2）函数的极值的判定设函数可导,且在点处连续,判定是极大（小）值的方法是（）假如在点邻近的左侧,右侧,就为极大值.（）假如在点邻近的左侧,右侧,就为微小值.

11、留意：导数为0 的不肯定是极值点,我们不难从函数的导数争论中悟出这一点.（ 3）探求函数极值的步骤：（）求导数.（）求方程的实根及不存在的点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：如左正右负, 就在这一点取得极大值,如左负右正,就在这一点取得微小值.3、函数的最大值与最小值（ 1）定理如函数在闭区

12、间上连续,就在上必有最大值和最小值.在开区间内连续的函数不肯定有最大值与最小值.认知：（）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最大值.最小值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最小值.（）函数的极大值与微小值是比较极值点邻近的函数值得出的（具有相对性）,极值只能在区间内点取得.函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有肯定性） ,最大（小）值可能是某个极大（小）值,也可能是区间端点处的函数值.（）如在开区间内可导,且有唯独的极大（小）值,就这一极大（小）值即为最大（小）值.（ 2）探求步骤：设函数在上连续,在内可导,就探求

13、函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（ I）求在内的极值.（ II）求在定义区间端点处的函数值,.（ III）将的各极值与,比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.引申：如函数在上连续,就的极值或最值也可能在不行导的点处取得.对此,假如仅仅是求函数的最值,就可将上述步骤简化：（ I）求出的导数为0 的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳

14、- - - - - - - - - - - -（ II）运算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值.（ 3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为：（ I）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系.（ II）探求最值：立足函数的定义域,探求函数的最值.（ III）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果,并回答所提出的问题,特殊的,如 果所得函数在区间内只有一个点满意,并且在点处有极大（小）值,而所给实际问题又必有最大（小）值,那么上述极大（小）值便是最大（小）值.四、经典例

15、题例 1、设函数在点处可导,且,试求（ 1）.（ 2）.（ 3）.（ 4）（为常数）.解：留意到当）（ 1）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）=A+A=2A（ 3）令,就当时,（ 4）点评：留意的本质,在这肯定义中,自变量x 在处的增量的形式是多种多样的,但是,不论挑选哪一种形式,相应的也必需挑选相应的形式,这种步调的一样是求值胜

16、利的保证.如自变量x 在处的增量为,就相应的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -于是有.如令例 2、,就又有（ 1）已知,求.（ 2）已知,求解：（ 1）令,就,且当时,.留意到这里（ 2）留意到,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 39 页 - -

17、- - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由已知得由、得例 3、求以下函数的导数（ 1）.（ 2）.（ 3）.（ 4）.（ 5）.（ 6）解：（ 1）（ 2）,（ 3）,（ 4）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 5）,（ 6

18、）当时,.当时,即.点评：为防止直接运用求导法就带来的不必要的纷杂运算,第一对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特殊是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先变后求”的手法明显更为敏捷.例 4、在曲线C：上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线C 关于该点对称.解：（ 1）当时,取得最小值-13又当时,斜率最小的切线对应的切点为A（ 2, -12 ）.（ 2）证明：设为曲线C上任意一点,就点P 关于点A 的对称点Q 的坐标为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 39

19、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -且有将代入的解析式得,点坐标为方程的解留意到 P, Q的任意性,由此肯定曲线C 关于点 A 成中心对称.例 5、已知曲线,其中,且均为可导函数,求证：两曲线在公共点处相切.证明：留意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,设上述两曲线的公共点为,就有,于是,对于有.对于,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 39 页 - - -

20、- - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由得,由得,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切.例 6、（ 1）是否存在这样的k 值,使函数在区间（ 1,2）上递减,在（2,+）上递增,如存在,求出这样的k 值.（ 2）如间.解：（ 1）恰有三个单调区间,试确定的取值范畴,并求出这三个单调区由题意,当时, 当 x2,+ 时,由函数的连续性可知,即整理得解得或验证：（）当时,如,就.如, 就,符合题意.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学

21、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（）当时,明显不合题意.于是综上可知,存在使在（ 1, 2）上递减,在（2,+）上递增.（ 2）如,就,此时只有一个增区间,与题设冲突.如,就,此时只有一个增区间,与题设冲突.如,就并且当时,.当时,综合可知,当时,恰有三个单调区间：减区间.增区间点评：对于（1）,由已知条件得,并由此获得k 的可能取值,进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证,这是开放性

22、问题中寻求待定系数之值的基本策略.例 7、已知函数,当且仅当时,取得极值,并且极大值比微小值大4.（ 1）求常数的值.（ 2）求的极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解：（ 1）,令得方程在处取得极值或为上述方程的根,故有,即又仅当时取得极值,方程的根只有或,方程无实根,即而当时,恒成立,的正负情形只取决于的取值情形当 x 变化时,与

23、的变化情形如下表：11 ,+00+极大值微小值在处取得极大值,在处取得微小值.学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由题意得整理得于是将,联立,解得（ 2）由（ 1）知,点评：循着求函数极值的步骤,利用题设条件与的关系,立足争论的根的情形,乃是解决此类含参问题的一般方法,这一解法表达了方程思想和分类争论的数学方法,突出了“导数”与“在处取得极值”的必要关系.例 8、（ 1）已知的最大值为3

24、,最小值为-29 ,求的值.（ 2）设,函数的最大值为1,最小值为,求常数的值.解：（ 1）这里,不然与题设冲突令,解得或 x=4 （舍去）（）如,就当时,在内递增.当时,在内递减又连续,故当时,取得最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 18 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -由已知得而此时由的最小值为得（）如,就运用类似的方法可得当时有最小值,故有.又当时,有最大值,由已知

25、得于是综合（）（）得所求或（ 2）,令得解得当在上变化时,与的变化情形如下表：-1-1,001+00+微小值极大值当时,取得极大值.当时,取得微小值.由上述表格中展现的的单调性知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 19 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最大值在与之中,的最小值在和之中,考察差式,即,故的最大值为由此得考察差式,即,的最小值为由此得,解得于是综合以上所述得到所求.

26、五、高考真题（一）挑选题1、设, 就（）.A、B、C 、D 、分析：由题意得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 20 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -具有周期性,且周期为4,应选 C.2、函数有极值的充要条件为（）A、B 、C 、D 、分析：当时,且.当时,令得有解,因此才有极值,故应选C.3、设,分别是定义在R上的奇导数和偶导数,当时,且,就不等式的解集是（）A、（ -3

27、, 0）（ 3,+）B 、（ -3 , 0）（ 0, 3）C、（ - , -3 ）（ 3,+）D 、（ - , -3 ）（ 0, 3）分析：为便于描述,设,就为奇导数,当时,且依据奇函数图象的对称性知,的解集为（ - , -3 ）（ 0, 3）,应选D.二、填空题1 过原点作曲线的切线,就切点坐标为,切线的斜率为.分析：设切点为M,就以M为切点的切线方程为由曲线过原点得,切点为,切线斜率为.点评：设出目标（之一）迂回作战,就从切线过原点切入,解题思路反而简明得多.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 21 页,共 39 页

28、 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 曲线在点处的切线与x 轴,直线所围成的三角形面积为,就=.分析：曲线在点处的切线方程为即切线与 x 轴交点,又直线与切线交点纵坐标为,上述三角形面积,由此解得即3 曲线与在交点处的切线夹角是（以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为,将两曲线方程联立,解得交点坐标为又,即两曲线在点处的切线斜率分别为-2 , 3,应填.（三）解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -

29、第 22 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1 已知,争论导数的极值点的个数.解析：先将求导,即.当时,有两根,于是有两极值点.当时,为增函数,没极值点.此题考查导数的应用以及二次方程根、“”等学问.解答：令,得1、当即或时,方程有两个不同的实根、,不防设,于是,从而有下表：+00+为极大值为微小值即此时有两个极值点.2、当即时,方程有两个相同的实根,于是,故当时,.当时,因此无极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选

30、- - - - - - - - - -第 23 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3、当即时,而,故为增函数.此时无极值.当时,有两个极值点.当时,无极值点.2 已知函数的图象在点处的切线方程为.（）求函数的解析式.（）求函数的单调区间.解析：（ 1）由在切线上,求得,再由在函数图象上和得两个关于的方程.（ 2）令,求出极值点,求增区间,求减区间.此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间.解答（）由函数的图象在点处的切线方程为知：,即,可编

31、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 24 页,共 39 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -即 解得所以所求函数解析式（）令当或解得时,当时,所以在内是减函数,在内是增函数.3 已知是函数的一个极值点, 其中（）求与的关系表达式.（）求的单调区间.（）当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求的取值范畴.解析：（ 1）本小题主要考查了导数的概念和运算,应用导数争论函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想,第2 小题要依据的符号,分类争论的单调区间.第3 小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号,表达出将一般性问题特殊化的数学思想.解答：（）,是函数的一个极值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 25 页,共 39 页 - - - - - - - - - -