2022年辅导资料：全等三角形问题中常见的辅助线的作法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 全等三角形问题中常见的帮助线的作法常见帮助线的作法有以下几种：1 遇到三角形的 中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“ 旋转”2 截长法与补短法, 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的 和、差、倍、分 等类的题目3 遇到等腰三角形,可作 底边上的高 ,利用“三线合一 ” 的性质解题,思维模式是全等变换中的“ 对折”4 遇到角平分线 ,可以自角平分线上的某一点向角的 两边作垂线, 利

2、用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折”,所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理5 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是 全等变换中的“ 平移” 或“ 翻转折叠”特别方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时,接起来,利用三角形面积的学问解答常把某点到原三角形各顶点的线段连一、倍长中线线段造全等B图AC例 1.已知：如图3 所示, AD 为 ABC 的中线,D求证： AB+AC2AD；E分析：要证 AB+AC2AD ,由图形想到：AB+BDAD,AC+CDAD,所以有： AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD,3但它的左边比要证结论多BD+CD ,故不能

3、直接证出此题,而由2AD 想到要构造 2AD ,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去；证明：延长 AD 至 E,使 DE=AD ,连接 BE,CE；ABDEC例 3、如图, 3图AD平分 BAE. ABC中, BD=DC=AC,E 是 DC的中点,求证：由于 BD=DC=AC ,所以 AC=1/2BC 由于 E 是 DC 中点,所以 EC=1/2DC=1/2AC 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - ACE=BCA ,所以 BCA ACE 所以 ABC= CAE 由于 DC=AC ,所以 ADC=DAC AD

4、C=ABC+ BAD 所以 ABC+ BAD= DAE+CAE 所以 BAD= DAE 即 AD 平分 BAE应用：二、截长补短例 1.已知：如图1 所示,AD 为 ABC 的中线,且 1=2, 3=4；求证： BE+CFEF ；分析：要证BE+CFEF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知1=2, 3=4,可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等,把EN,FN,EF 移到同个三角形中；,连接NE,NF；证明：在DN上截取DN=DBANBEF延长 FD 到 G , 使 DG=FD, 再连结 EG,BG 12 34C图D 11、如图,A

5、BC 中, AB=2AC,AD平分BAC ,且 AD=BD,求证： CDAC 证明：取 AB 中点 E,连接 DE AD=BD DEAB,即 AED=90o【等腰三角形三线合一】AB=2AC AE=AC 又 EAD= CAD 【AD 平分 BAC 】AD=AD AED ACD SAS C=AED=90oCD ACAC BD名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、如图, AC BD,EA,EB分别平分 CAB,DBA,CD过点 E,求证 ;ABAC+BD 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC CAE=EAN ,AE

6、为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ANE= ACE AD又 AC 平行 BD 所以 ACE+ BDE=180 而 ANE+ENB=180 所以 ENB= BDE ENBE=EBN BE 为公共边 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD BC3、如图,已知在ABC内,BAC600,C400,P,Q分别在 BC,CA上,并且 AP,BQ分别是BAC ,ABC 的角平分线；求证：BQ+AQ=AB+BP A证明：做帮助线 PM BQ,与 QC 相交与 M；B第一算清各角的度数Q APB=180 BAPABP=1803080

7、 =70P位且 APM=180APBMPC=18070QBC 同角相等 =180 70 40=70 APB=APM 又 AP 是 BAC 的角平分线, BAP=MAP CAP 是公共边 ABP AMP 角边角AB=AM ,BP=MP 在 MPC 中, MCP= MPC=40MP=MC AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在 QBC 中 QBC=QCB=40BQ=QC BQ+AQ=AQ+QC=AC BQ+AQ=AB+BP A名师归纳总结 4、角平分线 如图,在四边形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分ABC,DC求证：AC1800B延长 BA,作 DFBA 的延长线,作 DEBC 第

8、3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1=2 DE=DF 角分线上的点到角的两边距离相等在 Rt DFA 与 Rt DEC 中AD=DC,DF=DE Rt DFA Rt DEC HL 3=C 由于 4+3=180 4+C=180即 A+C=180 .5、如图在ABC中, ABAC, 1 2,P 为 AD上任意一点,求证;AB-ACPB-PC A 延长 AC 至 E,使 AE=AB ,连结 PE；然后证明一下ABPAEP 得到 PB=PE 备用角边角证很简洁吧P12C PCE 中,ECPE-PC EC=AE-AC ,AE=AB EC=AB-

9、AC BD又 PB=PE PE-PC=PB-PC AB-ACPB-PC 应用：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、平移变换例 1 AD 为 ABC的角平分线,直线 MNAD于 A.E 为 MN上一点,ABC周长记为 P , EBC周长记为 P . 求证 P P . 例 2 如图,在ABC的边上取两点 D、E,且 BD=CE,求证： AB+ACAD+AE. ABDEC四、借助角平分线造全等1、如图,已知在ABC中, B=60 , ABC的角平分线AD,CE相交于点 O,求证： OE=OD AE在 AC 上取点 F,使

10、 AF=AE AD 是角 A 的平分线O角 EAO 角 FAE/ AO=AO BDC三角形 AEO 与 AFO 全等两边夹角相等EO=FO ,角 AOE角 AOF CE 是角 C 的平分线名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 角 DCO 角 FCO 角 B60角 A+角 C18060120角 COD= 角 CAO角 OCA 角 A/2角 C/260 度角 OCF 180 角 AOF- 角 COD 180 606060角 OCF 角 COD OC=OC 三角形 OCD 与 CFO 全等 两边夹角相等CF=CD AC=AF+

11、CF AE+CD 即： AE+CD=AC2、如图,ABC中, AD平分 BAC,DGBC且平分 BC,DEAB于 E,DF AC于 F. 1说明 BE=CF的理由；2假如 AB=a ,AC=b ,求 AE、BE的长 . 证明：连接 BD,CD DGBC 于 G 且平分 BC 所以 GD 为 BC 垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD=CD 角平分线上的点到角两边距离相等,AD 平分 BAC,DEAB 于 E,DFAC 的延长A线于 F 所以 DE=DF 名师归纳总结 在 RT BED,RT CFD 中BEGC第 6 页,共 8 页DE=DF DFBD=CD RT BED RT

12、 CFDHL - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BE=CF 应用：五、旋转例 1 正方形 ABCD中,E 为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=EF,求 EAF的度数 . 将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度,至三角形 ABG AD就 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE ,AF=AG ,F所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF= GAE= BAE+GAB= BAE+ DAF 又 EAF+BAE+ DAF=90 C所以 EAF=45 度BE例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点, DMD

13、N,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F ；（1）当MDN 绕点 D转动时,求证DE=DF；（2）假设 AB=2,求四边形DECF的面积；B做 DPBC,垂足为 P,做 DQAC,垂足为 Q D 为中点,且ABC 为等腰 RT ABC MEAADP=DQ=.BC=.AC 又 FDQ= PDE 旋转 DQF= DPE=90CF DQF DPE S DQF=S DPE 又 S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DPE S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DQF=.BC*.AC=.AC2NAC=BC= 定值四边形 DECF 面积不会转变名师归纳总结 例 3 如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,BDC 是等腰三角形,且BDC1200,第 7 页,共 8 页以 D为顶点做一个0 60 角,使其两边分别交AB于点 M,交 AC于点 N,连接 MN,就AMN的周长为；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AMNB CD我简洁说一下过 D 点做 DEAB 的延长线 然后证明 DMN DME 留意 DBE 实际上是 DCN 旋转后得来的名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页