2022年辅导资料全等三角形问题中常见的辅助线的作法 .docx

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1、精品_精品资料_全等三角形问题中常见的帮助线的作法常见帮助线的作法有以下几种：1) 遇到三角形的 中线, 倍长中线, 使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2) 截长法与补短法, 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分 等类的题目3) 遇到等腰三角形 ,可作 底边上的高 ,利用“ 三线合一 ”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折” 4) 遇到角平分线 ,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换

2、中的“对折” ,所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理5) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形, 利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特别方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的学问解答A一、倍长中线线段造全等例 1.已知：如图 3 所示, AD 为 ABC 的中线,D求证： AB+AC2AD.BC分析：要证 AB+AC2AD,由图形想到： AB+BDAD,AC+CDAD,所以有： AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD,E图3但它的左边比要证结论多BD+CD ,故不能直接证出此题,而由2AD 想到

3、要构造 2AD ,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去.证明：延长 AD 至 E,使 DE=AD ,连接 BE, CE.ABDEC3图例 3、如图, ABC中, BD=DC=A,C E 是 DC的中点,求证： AD平分 BAE.由于 BD=DC=AC ,所以 AC=1/2BC由于 E 是 DC 中点,所以 EC=1/2DC=1/2AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACE= BCA ,所以 BCA ACE所以 ABC= CAE由于 DC=AC ,所以 ADC= DACADC= ABC+ BAD所以 ABC+ BAD= DAE+ CAE所以 BAD= DAE即 AD

4、平分 BAE应用：二、截长补短例 1.已知：如图 1 所示, AD 为 ABC 的中线,且 1= 2, 3= 4.求证： BE+CFEF .分析：要证 BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF ,EF 移到同一个三角形中,而由已知1= 2, 3= 4,可在角的两边截取相等的线段,利用全等三角形的对应边相等,把EN , FN ,EF 移到同个三角形中.证明：在DN上截取DN=DB,连接NE,NF.ANEFB1 2 3D图 14C1、如图,证明：延长 FD 到 G , 使 DG=FD,BAC ,且 AD=BD,求证： CD AC再连结 EG,BGABC 中, AB=2AC, A

5、D平分取 AB 中点 E,连接 DEAD=BD DE AB,即 AED=90o 【等腰三角形三线合一】AB=2ACAE=AC又 EAD= CAD 【AD 平分 BAC 】AD=AD AED ACD SAS C=AED=90oCD ACABCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、如图, AC BD, EA,EB分别平分 CAB, DBA, CD过点 E,求证 ;AB AC+BD在 AB 上取点 N , 使得 AN=AC CAE= EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN所以 ANE= ACE又 AC 平行 BDAD所以 ACE+ BDE=180而 ANE

6、+ ENB=180所以 ENB= BDEE NBE= EBNBE 为公共边 ,所以三角形 EBN 全等三角形 EBD所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BDBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、如图,已知在ABC内,BAC060 , C40 0 ,P,Q分别在 BC,CA上,并且 AP,A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BQ分别是BAC ,ABC 的角平分线.求证： BQ+AQ=AB+BP证明：做帮助线 PMBQ,与 QC 相交与 M.B第一算清各角的度数Q APB=180 BAP ABP=180 30 80=70且 APM=180 APB MPC=

7、180 70QBC 同P位角相等 =18070 40=70 APB= APM又 AP 是 BAC 的角平分线,C BAP= MAPAP 是公共边 ABP AMP 角边角AB=AM ,BP=MP在 MPC 中, MCP= MPC=40 MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在 QBC 中 QBC=QCB=40BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BPA4、角平分线 如图, 在四边形 ABCD中,BC BA,AD CD,BD平分ABC ,D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：AC180 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_延长 BA,

8、作 DF BA 的延长线,作 DE BCBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1= 2 DE=DF 角分线上的点到角的两边距离相等在 Rt DFA 与 Rt DEC 中 AD=DC,DF=DE RtDFA Rt DEC HL 3= C由于 4+3=180 4+ C=180 即 A+C=180.5、如图在 ABC中, AB AC, 1 2, P 为 AD上任意一点,求证;AB-AC PB-PCA延长 AC 至 E,使 AE=AB ,连结 PE.然后证明一下 ABPAEP 得到 PB=PE 备用角边角证很简洁吧PCE 中, ECPE-PC12PEC=AE-AC , AE=ABBCE

9、C=AB-ACD又 PB=PEPE-PC=PB-PCAB-ACPB-PC应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、平移变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 AD 为 ABC的角平分线,直线MN AD于 A.E 为 MN上一点, ABC周长记为PA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EBC周长记为PB . 求证PB PA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 如图,在 ABC的边上取两点 D、E,且 BD=CE,求证： AB+ACAD+AE.ABDEC四、借助角平分线造全等1

10、、如图,已知在 ABC中, B=60, ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证： OE=ODA在 AC 上取点 F,使 AF=AEAD 是角 A 的平分线EO角 EAO 角 FAE/BCDAO=AO三角形 AEO 与 AFO 全等两边夹角相等EO=FO,角 AOE角 AOF CE 是角 C 的平分线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角 DCO 角 FCO角 B60角 A+ 角 C 180 60 120角 COD= 角 CAO 角 OCA 角 A/2 角 C/2 60 度角 OCF 180 角 AOF- 角 COD 180 60 60 60角 OCF 角 CODOC=OC三

11、角形 OCD 与 CFO 全等 两边夹角相等 CF=CDAC=AF+CF AE+CD即： AE+CD=AC2、如图, ABC中, AD平分 BAC, DG BC且平分 BC, DE AB于 E, DF AC于 F.1说明 BE=CF的理由.2假如 AB=a , AC=b ,求 AE、BE的长 .证明：连接 BD,CDDG BC 于 G 且平分 BC所以 GD 为 BC 垂直平分线垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等,AD 平分 BAC,DE AB 于 E,DF AC 的延长线EBGC于 FA所以 DE=DF在 RT BED,RT CFD 中DE=DFBD

12、=CDFRT BED RT CFDHLD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE=CF应用：五、旋转可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 正方形 ABCD中, E 为 BC上的一点, F 为 CD上的一点, BE+DF=E,F将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度,至三角形 ABG求 EAF的度数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形 AEF 全等于 AEG所以 EAF= GAE= BAE+ GAB= BAE+ DAF又 EAF+ BAE+ DAF=90所以

13、EAF=45 度A DFB EC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点, DMDN,DM,DN分别交 BC,CA 于点 E,F .（1） 当MDN 绕点 D 转动时,求证 DE=DF.（2） 假设 AB=2,求四边形 DECF的面积.B做 DP BC,垂足为 P,做 DQ AC,垂足为 QD 为中点,且 ABC 为等腰 RT ABCA DP=DQ=.BC=.ACE又 FDQ= PDE 旋转 DQF= DPE=90AMC DQF DPEFSDQF=S DPE又 S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DPE可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_S 四边形 DECF=S 四边形 DFCP+S DQF=.BC*.AC=.AC2AC=BC= 定值四边形 DECF 面积不会转变例 3 如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,BDC 是等腰三角形,且BDCN0120 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 D 为顶点做一个600 角,使其两边分别交 AB 于点 M,交 AC于点 N,连接 MN,就 AMN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的周长为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AMNBCD我简洁说一下过 D 点做 DE AB 的延长线然后证明 DMN DME留意 DBE 实际上是 DCN 旋转后得来的可编辑资料 - - - 欢迎下载