数列第十七讲递推数列与数列求和答案2932.pdf

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1、 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019 年 1.解析（1）设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0.由 a a a 2 4 5 a3 4a2 4a1 0 2 4 4 1 1 a q a q a 1 1，得，解得 a q a q a q 2 1 4 1 4 1 0 2 因此数列a 为“M数列”.n （2）因为 1 2 2 ，所以b 0 S b b n n n n 1 1 2 2 由b1 1,S1 b1，得 b2 2.，则 1 1 b 2 由 1 2 2 b b ，得 1 S n n n S b b 2(b b)n n n 1 n 1 n ，b b b b b n n

2、 1 n 1 n 当 n 2 时，由b S S ，得 n n n 1 b b b b n 2 2 n 1 n n n 1 ，整理得bn1 bn1 2bn 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列bn的通项公式为 bn=n nN*.由知，bk=k，k N*.因为数列cn为“M 数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q0.因为 ck bk ck+1，所以 qk1 k qk，其中 k=1，2，3，m.当 k=1 时，有 q1；当 k=2，3，m 时，有 ln k ln k ln q k k 1 1 设 f（x）=ln x x (x 1)，则 f(x)1 ln x x 2 令 f(x)

3、0，得 x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+)f(x)+0 f（x）极大值 因为 ln 2 ln8 ln 9 ln 3 ，所以 2 6 6 3 ln3 f(k)f(3)max 3 取 q 3 3，当 k=1，2，3，4，5 时，ln k k ln q，即 k qk，经检验知 qk 1 k 也成立 因此所求 m 的最大值不小于 5 若 m6，分别取 k=3，6，得 3 q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216，所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.综上，所求 m 的最大值为 5 1 2.解析：对于 B，令 2 0 ，x ，得 1 4 2 1 1 1 取 a ，所以

4、a ,L,a 10，1 2 n 2 2 2 1 所以当 b 时，a10 10，故 B 错误；4 对于 C，令 x2 2 0，得 2 或 1，取 a1 2，所以 a L a ，2 2,n 2 10 所以当b 2 时，a10 10，故 C 错误；对于 D，令 x ，得 1 17 2 4 0 2 ，取 a 1 1 17 ，所以 2 a 2 1 17 ，a n 1 17 10，2 2 所以当b 4 时，a ，故 D 错误；10 10 2 1 1 对于 A，a a2 ，2 2 2 2 a a 1 1 3 ，2 3 2 2 4 2 a a a 3 1 9 1 17 1，4 2 4 4 2 16 2 16

5、a 1 a 0，a 递增，n n n 1 a 1 3 2 1 当 n 4 时，n1 a ，n a a 2 2 n n a 3 5 a 2 4 a 3 6 所以 a 2 5 M a 3 10 a 2 9 ，所以 a 10 a 4 6 3 2 729，所以 a 10 故 A 正确故选 A 10 64 3.解析（）设数列a 的公差为 d，由题意得 n a1 2d 4,a1 3d 3a1 3d，解得 a1 0,d 2 从而 a 2n 2,nN*n 由 S b,S b,S b 成等比数列得 n n n 1 n n 2 n S b S b S b 2 n 1 n n n n 2 n 1 解得 b S S

6、S 2 n n 1 n n 2 d 所以b n2 n,nN*n a 2n 2 n 1（）c ,n*n N n n 2b 2n(n 1)n(n 1)我们用数学归纳法证明（1）当 n=1 时，c1=02，不等式成立；3 （2）假设 n k k N 时不等式成立，即 c1 c2 L ch 2 k *那么，当 n k 1时，k 1 c c L c c 2 k 2 k 1 2 k k 1(k 1)(k 2)k 1 2 2 k 2 k 2(k 1 k)2 k 1 k 1 k 即当 n k 1时不等式也成立 根据（1）和（2），不等式 c1 c2 L cn 2 n 对任意 n N*成立 2010-2018

7、年 1 1C【解析】a 是等比数列 a a，n 1 n n 3 又 10 1 4 1 3 4 a ，a ，S 3 1 3 10 1 4 2 10 1 3 3 1 ，故选 C 2D【解析】【法 1】有题设知 a a=1，2 1 a a=3 3 2 a a=5 4 3 a a=7，a a=9，5 4 6 5 a a=11，a a=13，7 6 8 7 a a=15，a a=17，9 8 10 9 a a=19，11 10 a a ，12 11 21 得 a a=2，+得 1 3 a a=8，同理可得 a a=2，a a=24，a a=2，4 2 5 7 6 8 9 11 a a=40，10 12

8、a a，a a，a a，是各项均为 2 的常数列，a a，a a，a a，1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 是首项为 8，公差为 16 的等差数列，1 a 的前 60 项和为15 2 15 8 16 15 14=1830.n 2【法 2】可证明：b 1 a4 1 a4 2 a4 3 a4 4 a4 3 a4 2 a4 2 a4 16 b 16 n n n n n n n n n n 4 15 14 b a a a a 10 S 10 15 16 1830 1 1 2 3 4 15 2【法 3】不妨设 1 1 2 2,3 5 7 1 4 6,6 10 a ，得 a a a a

9、 ，a a ，所以当 n 为奇 数时，a 1，当 n 为偶数时，构成以 n a 为首项，以 4 为公差的等差数列，所以得 2 S60 1830 3A【解析】法一：分别求出前 10 项相加即可得出结论；法二：a1 a2 a3 a4 a9 a10 3，故 a a a=3 5 15故选 A.1 2 10 46【解析】a a a，数列 1 2,n 1 2 n a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，n S n 2(1 2)n 126 1 2 ，2n 64，n=6 1 527【解析】a1 1，a a (n 2)，所以数列a 是首项为 1，公差为 n n 1 n 2 9 8 1 差数列，所以前 9 项和

10、 S 9 27 9 2 2 20 6【解析】由题意得：a (a a )(a a )K (a a)a n n n 1 n 1 n 2 2 1 1 11 n(n 1)n n 1 L 2 1 2 1 2 的等 所以 1 1 1 1 2n 20 2(),S 2(1 ),S a n n 1 n 1 n 1 11 n 10 n 1 2 7 【解析】将 a8 2代入 a n 1 1 1 a n 1 1，可求得 a ；再将 a 代入 a 7 7 n 1 2 2 1 1 a n ，可求得 a ；再将 a 代入 a ；再将 a 代入 6 1 6 1 a n 1 1 1 a n 得 a ；由此可知数列 a 是一个

11、5 2 n 1 周期数列，且周期为 3，所以 a a 1 7 2 2 1 8【解析】当 n=1 时，S=a ，解得 a=1，a=1 1 1 1 3 3 2 2 a a ，即 2a ，a=n n 1 n n 1 3 3 2 1 2 1 当 n 2 时，S S =a )=a=a (n n n 1 n n 1 3 3 3 3 a 是首项为 1，公比为2 的等比数列，a=(2)n 1.n n 1 1 1 9（1），（2）(1)16 3 2 1 100【解析】(1)S (1)a n n n n 2 5 n 时，a1a2a3a31 3 8 n 时，a1a2a3a4a4 1 1 4，a1a2a3 16 16

12、.1 由知 a3 16 1 1(2)n 1时，1 1，S a (1)()a a a n n n n n(1)(1)()n 1 n 1 n n n 1 2 2 1 1 当 n 为奇数时，()1 a n a；n n 1 2 2 当 n 为偶数时，1 a ()n n 1 2 故 a n 1 n 1(),n为奇数 2 1(),n为偶数 n 2 1，S 2 1 n n 0,n为奇数 n为偶数 1 1 1 1 S S S ()1 2 100 2 4 6 100 2 2 2 2 1 1(1 )1 1 1 1 4 2(1)(1)100 1 3 2 3 2 100 100 1 4 101830【名师解析】可证明

13、：b 1 a4 1 a4 2 a4 3 a4 4 a4 3 a4 2 a4 2 a4 16 b 16，n n n n n n n n n n 15 14 b a a a a S 10 15 16 1830 1 1 2 3 4 10 15 2 n n 113018【解析】因为 cos 的周期为 4；由 a ncos 1 n Nn 2 2 a a a a ，5 6 7 8 6 1 2 3 4 6 a a a a ，S 2012 503 6 3018 124【解析】由题意得 2 2 k k 1 k(k 4)()(k 1)(k 1 4)()3 3 2 2 k k 1 k(k 4)()(k 1)(k 1

14、 4)()3 3 ，得 2 (k 1)10 ，k 10 2 13【解析】(1)设等比数列b 的公比为 q，由 3 2 2 b ，b b ，可得 q2 q 2 0 1 1 n 6 b 所以 1 2 2 1 n 因为 q 0，可得 q 2，故 2n 1 T n n n 1 2 设等差数列a 的公差为 d 由b a a，可得 a1 3d 4 n 4 3 5 由 b5 a4 2a6，可得 1 1,1 3a 13d 16,从而 a d ，1 故 a n，所以(1)n n S n n 2(2)由(1)，知 1 2(2 2 2)2 2.T T L T L n n 1 3 n n 1 n 由 S T T L

15、T a b 可得(1)2 1 2 2 1()4 n n n n n n n 1 2 n n n 2 ，整理得 n2 3n 4 0，解得 n 1（舍），或 n 4 所以 n 的值为 4 14【解析】（1）因为 1 3 2(2 1)n 2 a a n a n，故当 n 2 时，a1 3a2 (2n 3)an 1 2(n 1)两式相减得 (2n 1)a 2 n 所以 a n 2 2n 1 (n 2)a 1 2 又由题设可得 从而a 的通项公式为=.n a（2）记 的前 n 项和为 n S，2n 1 n 由（1）知 a 2 1 1 n 2n 1(2n 1)(2n 1)2n 1 2n 1 1 1 1 1

16、 1 1 2n 则 S n 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2n 1 1 15【解析】（）由已知，,1,1 2 a b b b b b 得 a ，所以数列a 是首项为 1 2 2 1 1 2 n 3 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 a 3n 1.n （）由（）和 b a b b nb，得b ，因此 n b 是首项为 1，公比为 n n 1 n 1 n n n 1 3 1 3 的等比数列.记 b 的前 n 项和为 n S，则 n 7 1 1(3)3 1 n S n n 1 1 2 2 3 1 3 .16【解析】()设数列 a 的公差为 d，由题意有 n 2a 5d 4,a 5d 3，

17、1 1 2 a d ，所以 解得 1,a 的通项公式为 1 n 5 a n 2n 3 .5 （）由()知b n 2n 3 5 ，2n 3 当 n=1,2,3 时，1 2,b 1；n 5 2n 3 当 n=4,5 时，2 3,b 2；n 5 2n 3 当 n=6,7,8 时，3 4,b 3；n 5 2n 3 当 n=9,10 时，4 5,b 4，n 5 所以数列 b 的前 10 项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24.n 17【解析】（）由 a ，a 1 2a，得 a 2 1 2 n n n n 当 n 1时，b b 故 2 2 1 2 1,b 当 n 2 时，1 n 整理得 1 1,b n

18、 b b b,n n n 1 n b n n 所以 b n n（）由（）知，a b n 2n，n n 故T 2 2 22 3 23 n 2n，n 2 2 2 2 2 2 1 2n 2n T 2 3 4 n n 1，n 所以 T n 1 2n 1 2 n 18【解析】（）由条件，对任意 n N*，有 a S S 2 3 1 3 n n n (n N*)，因而对任意 n N*,n 2，有 a 1 3S 1 S 3 n n n (n N*)，两式相减，得 a 2 a 1 3a a 1，即 a 2 3a,(n 2)，n n n n n n 又 a a ，所以 a S S a a a a，1 1,2 2

19、 3 3 1 2 3 3 1(1 2)3 3 1 8 故对一切 n N*，2 3 a a n n a（）由（）知，a 0，所以 n 2 3 a 是首项 a1 1，公比为 3 ，于是数列 n 2n 1 a n 的等比数列，数列 a 是首项 2n a1 2，公比为 3 的等比数列，所以 a 1 a 1，n n 2 1 3,2 2 3 n n 于是 S2n a1 a2 L a2n (a1 a3 L a2n 1)(a2 a4 L a2n)n 1 n 1 n 1 3(3 1)n (1 3 L 3)2(1 3 L 3)3(1 3 L 3)2 3(3 1)3 n 从而 2 3 1(5 3 2 1)S S a

20、 n n ，2n 1 2n 2n 2 2 综上所述，n 2 3(5 3 1),(n 2k 1,k N)*2 2 S n n 3 (32 1),(n 2k,k N)*2 19【解析】（）令 1得:(1)3 2 0,即 6 0，n S2 S S2 S 1 1 1 1 所以(S 3)(S 2)0,1 1 Q S1 0,S1 2,即 a1 2.（）S2 (n2 n 3)S 3(n2 n)0,:(S 3)S (n2 n)0,由 得 n n n n Q 0(),0,从而 3 0,a n N S S S n2 n n n n n 当 时 n a S S n n n n n 2,(1)(1)2,2 2 n n

21、 n 1 又 1 2 2 1,n 2().a a n n N k N 时，2 k 2 k 3(1)(3)*k k k k（）当 2 2 16 4 4 1 1 1 1 1 1 a(a 1)2k(2k 1)4 k(k )4(k )(k )1 1 3 k k 2 4 4 9 1 1 1 1 1 4()(1)4 (1)1 1 1 1 k k k k 4 4 4 4 1 1 1 L a(a 1)a(a 1)a(a 1)1 1 2 2 n n 1 1 1 1 1 1 1 ()()L 1 1 1 1 1 1 4 1 2 2 3(1)n n 4 4 4 4 4 4 20【解析】()S1 a1.当 n 1时，2

22、a1 a1 S1 S1 1 0,1.a a 1 2a a 2a a 当 n 1时，-an a a a a s s 1 1 2 2 2 n 1 1 n n n n n 1 n n 1 S S 1 1 时首项为 公比为 的等比数列，1 an 2 n a 1 1 q a 2,n N n *.（）设 Tn a a a n a qT qa qa qa n qa 1 1 2 3 1 2 3 2 3 n n 1 2 3 n qTn 1 a2 2 a 3 a n a 3 4 n 1 上式左右错位相减：(1 1 q n q)T a1 2 1 2 n na n a a a na a n n 2 3 n n 1 1

23、 n 1 1 q Tn (n 1)n 1 n N*。2,nba n 1 2 n 1 21【解析】（1）由 1 a b 0,a n 0,.知 1 n a 2n 2 a b b a n 1 n n 1 令 n 1 A ,A ，n 1 a b n 当 1 2 n 2时,A A n n 1 b b 1 2 2n 2 2n 1 L n n A b b b b 2 1 1 1 n 2 n 1 1 2 2 2 L b b b b 2 n 1 n .当b 2时，10 n 1 2 (1)b b b 2 n n A n 2 n(2)1 b b b ,n 当b 2时,A .n 2 n nb(b 2),b 2 a b

24、 n n n 2 2,b 2 nb(b 2)b b b 2 n n n n n 1 1 （2）当b 2时，（欲证 a 1,nb (1)只需证）n n n n n n 1 1 b 2 b 2 2 2 n n b n n n n n 1 1 2 1 1 1 2 1 n n(2 b)(2 b)(b 2b L 2)b 2 2n bn 2n bn L 2 n b n 2b n L 2n bn 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 n n n 1 2 2 2 b b b 2 b(L L )n n b b b 2 2 2 2 n n n 1 2n bn(2 2 L 2)2n 2n bn n 2n bn，1 n n 1 nb(b 2)b a 1.n n n n 1 b 2 2 n 1 b 当 b 2时,a 2 1.n n 1 2 综上所述 n 1 b a 1 1.n n 2 11