高中数学课件空间两点间的距离公式.ppt

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1、空间两点间的距离公式1.1.了解空了解空间间两点两点间间的距离公式的推的距离公式的推导过导过程和方法程和方法.2.2.掌握空掌握空间间两点两点间间的距离公式的距离公式.3.3.能能够应够应用空用空间间两点两点间间的距离公式解决的距离公式解决简单简单的的问题问题.空空间间两点两点间间的距离的距离(1)(1)公式：已知空公式：已知空间间中任意两点中任意两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则|P|P1 1P P2 2|=_.|=_.(2)(2)特殊情况：空特殊情况：空间间中任意一点中任意一点P(x,y,z)P

2、(x,y,z)与原点与原点O O的距离的距离为为|OP|=_.|OP|=_.1.“1.“判一判判一判”理清知理清知识识的疑惑点的疑惑点(正确的打正确的打“”“”,错误错误的打的打“”).”).(1)(1)点点A(a,b,c)A(a,b,c)与它在平面与它在平面yOzyOz内的射影的距离内的射影的距离为为a.(a.()(2)(2)空空间间两点两点间间的距离公式与两点的距离公式与两点顺顺序有关序有关.(.()(3)(3)点点A(1,1,0)A(1,1,0)与点与点B(1,1,1)B(1,1,1)之之间间的距离是的距离是1.(1.()(4)(4)在空在空间间直角坐直角坐标标系中系中,点点P(xP(x

3、0 0,y,y0 0,z,z0 0)到坐到坐标轴标轴的距离分的距离分别别等于相等于相应应坐坐标标的的绝对值绝对值.(.()提示：提示：(1)(1)错误错误.点点A(a,b,c)A(a,b,c)与它在平面与它在平面yOzyOz内的射影的距离为内的射影的距离为|a|.|a|.(2)(2)错误错误.空间中两点间的距离与两点的顺序无关空间中两点间的距离与两点的顺序无关.(3)(3)正确正确.(4)(4)错误错误.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点P(xP(x0 0，y y0 0，z z0 0)到坐标轴的到坐标轴的距离分别是距离分别是答案：答案：(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)2

4、.“2.“练练一一练练”尝试尝试知知识识的的应应用点用点(请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上).).(1)(1)已知已知A(-1,2,3),B(-1,4,-2),A(-1,2,3),B(-1,4,-2),则则|AB|=|AB|=.(2)(2)已知已知A(-2,1,m),B(-2,2,0),A(-2,1,m),B(-2,2,0),若若|AB|=1,|AB|=1,则则m=m=.(3)(3)点点M(2,-3,5)M(2,-3,5)到到x x轴轴的距离是的距离是.【解析解析】(1)(1)答案：答案：(2)(2)因为因为所以所以1+m1+m2 2=1,=1,所以所以m=0.m=0.答案：答

5、案：0 0(3)(3)过点过点M M作作x x轴的垂线，垂足的坐标是轴的垂线，垂足的坐标是(2(2，0 0，0)0)，所以所以答案：答案：空空间间两点两点间间的距离公式的距离公式观观察空察空间间两点两点间间的距离公式的距离公式,一般地一般地,空空间间中任意两点中任意两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)间间的距离的距离为为探究探究1 1：观观察公式察公式,探究以下探究以下问题问题(1)(1)空空间间两点两点间间的距离公式有何特征的距离公式有何特征?提示：提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和空间两点

6、间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和的算数平方根的算数平方根.(2)(2)空空间间两点两点间间的距离公式与平面内两点的距离公式与平面内两点间间的距离公式有什么的距离公式有什么关系关系?提示：提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的推广推广,其形式和结构特征是相同的其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标只是多出一组坐标.探究探究2 2：结结合空合空间间两点两点间间的距离公式的距离公式,探究式子探究式子(x(x1 1-x-x2 2)2 2+(y+(y1 1-y y2 2)2 2+(z+(z1 1-z-z2 2)2 2的几何意的几何意义

7、义是什么是什么?提示：提示：式子式子(x(x1 1-x-x2 2)2 2+(y+(y1 1-y-y2 2)2 2+(z+(z1 1-z-z2 2)2 2表示两点表示两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),P P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)距离的平方距离的平方.【拓展延伸拓展延伸】空间两点间的距离公式的几何意义空间两点间的距离公式的几何意义空间中任意一点空间中任意一点P(x,y,z)P(x,y,z)到原点到原点O O的距离的距离 当当OPOP为定值时为定值时,=r(r0),=r(r0)的几何意义是以原点的几何意义是以原点O O为球心为球心,以以r

8、r为半径的球面为半径的球面.【探究提升探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明对空间两点间距离公式的三点说明(1)(1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广.(2)(2)公式的推导是转化成平面内两点之间的距离公式的推导是转化成平面内两点之间的距离,结合勾股定结合勾股定理推出的理推出的.(3)(3)公式中公式中x x1 1,x,x2 2及及y y1 1,y,y2 2及及z z1 1,z,z2 2的顺序可以改变的顺序可以改变.类型类型 一一 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间尝试解答下

9、列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间距离的步骤距离的步骤.1.1.点点B B是点是点A(1A(1，2 2，3)3)在坐标平面在坐标平面yOzyOz内的射影，则内的射影，则|OB|OB|等于等于 ()()2.2.设点设点P P在在x x轴上，它到点轴上，它到点P P1 1(0(0，3)3)的距离为到点的距离为到点P P2 2(0,1,-1)(0,1,-1)的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P P的坐标的坐标.【解题指南解题指南】1.1.先求出点先求出点B B的坐标，再由距离公式求解的坐标，再由距离公式求解.2.2.先根据先根据x x轴上点的坐标特点设出点轴上点的坐标特点设出点P P的坐标

10、的坐标(a,0,0),(a,0,0),再根据再根据两点间距离公式列出关于两点间距离公式列出关于a a的方程，然后解方程即可的方程，然后解方程即可.【解析解析】1.1.选选B.B.因为点因为点B B坐标为坐标为(0(0，2 2，3)3)，所以所以 故选故选B.B.2.2.设设P(a,0,0),P(a,0,0),因为因为|PP|PP1 1|=2|PP|=2|PP2 2|,|,所以所以所以所以a a2 2+2+9=4(a+2+9=4(a2 2+1+1),+1+1),所以所以a=1,a=1,即即P(1P(1，0 0，0)0)或或P(-1,0,0).P(-1,0,0).【互动探究互动探究】若题若题2 2

11、中中“点点P P在在x x轴上轴上”换为换为“点点P P在在z z轴上轴上”其其他条件不变，其结论又如何呢？他条件不变，其结论又如何呢？【解析解析】设设P(0,0,c),P(0,0,c),因为因为|PP|PP1 1|=2|PP|=2|PP2 2|,|,所以所以所以所以2+(c-3)2+(c-3)2 2=4(1+c=4(1+c2 2+2c+1),+2c+1),所以所以所以所以P(0,0,)P(0,0,)或或P(0P(0，0 0，).).【技法点拨技法点拨】利用空间两点间距离公式求距离的两个步骤利用空间两点间距离公式求距离的两个步骤【变式训练变式训练】在空间直角坐标系中，已知点在空间直角坐标系中，

12、已知点A(1A(1，0 0，2)2)，B(1B(1，-3-3，1)1)，点，点M M在在y y轴上，且轴上，且M M与与A A与与B B的距离相等，则的距离相等，则M M的的坐标是坐标是_._.【解题指南解题指南】设出设出M M点坐标，利用点坐标，利用|MA|=|MB|MA|=|MB|列式求解列式求解.【解析解析】设设M(0,b,0),M(0,b,0),则由则由|MA|=|MB|MA|=|MB|得得解得解得b=-1.b=-1.即即M M的坐标是的坐标是(0(0，-1-1，0).0).答案：答案：(0,-1,0)(0,-1,0)类型类型 二二 空空间间两点两点间间距离公式的距离公式的应应用用通通

13、过过解答下列与两点解答下列与两点间间距离公式距离公式应应用有关的用有关的题题目目,试总结试总结两点两点间间距离公式在几何上的距离公式在几何上的应应用用.1.1.已知已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则则ABCABC的形状的形状为为 ()A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.等等边边三角形三角形C.C.直角三角形直角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形2.2.如如图图,已知正方体已知正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD的棱的棱长为长为a,Ma,M为为BDBD的的中点中点,点点N N在在ACAC

14、上上,且且|AN|=3|NC|,|AN|=3|NC|,试试求求|MN|.|MN|.【解题指南解题指南】1.1.先利用空间两点间距离公式求出三角形的三先利用空间两点间距离公式求出三角形的三边长，再根据三角形的三边确定三角形的形状边长，再根据三角形的三边确定三角形的形状.2.2.先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后先根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，然后根据题目中的条件求出点根据题目中的条件求出点M M，N N的坐标，最后利用空间两点间的坐标，最后利用空间两点间距离公式即可求出距离公式即可求出|MN|.|MN|.【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为|AB|AB|2 2=

15、|AC|=|AC|2 2+|BC|+|BC|2 2,又又|AB|AB|，|AC|AC|，|BC|BC|两两不等，两两不等，所以所以ABCABC为直角三角形，故选为直角三角形，故选C.C.2.2.以以D D为原点，建立如图所示空间直角坐标系为原点，建立如图所示空间直角坐标系.因为正方体棱长为因为正方体棱长为a,a,所以所以B(a,a,0),A(a,0,a),C(0,a,a),B(a,a,0),A(a,0,a),C(0,a,a),D(0,0,a).D(0,0,a).由于由于M M为为BDBD的中点，取的中点，取ACAC的中点的中点O,O,所以所以因为因为|AN|=3|NC|,|AN|=3|NC|,

16、所以所以N N为为ACAC的四等分点的四等分点,从而从而N N为为OCOC的中点，故的中点，故根据空间两点间的距离公式，可得根据空间两点间的距离公式，可得【技法点拨技法点拨】两点间距离公式在几何中的应用两点间距离公式在几何中的应用(1)(1)求立体几何中线段长度问题求立体几何中线段长度问题建系：将立体图形放在空间直角坐标系中建系：将立体图形放在空间直角坐标系中.定坐标：在空间直角坐标系中定坐标：在空间直角坐标系中,根据条件确定有关的点的坐根据条件确定有关的点的坐标标.定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长.(2)(2)判断三角形形状判断三角

17、形形状利用两点间距离公式求三边长利用两点间距离公式求三边长.结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状.【拓展延伸拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则建立空间直角坐标系遵循的两个原则(1)(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.(2)(2)充分利用几何图形的对称性充分利用几何图形的对称性.【变变式式训练训练】四棱四棱锥锥S S-ABCDABCD的底面是矩形的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1,AB=1,AD=2,SA=1,且且SASA底面底面ABCD,ABCD,问边问边BCBC上是否存在异于上是否

18、存在异于B,CB,C的点的点P,P,使得使得SPDSPD是直角是直角?【解析解析】以以A A为原点为原点,射线射线AB,AD,ASAB,AD,AS分别为分别为x,y,zx,y,z轴的正半轴轴的正半轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0).A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0).设设P(1,x,0)(0 x2),P(1,x,0)(0 x2),所以所以SPSP2 2=(1-0)=(1-0)2 2+(x-0)+(x-0)2 2+(0-1)+(0-1)2 2=x=x2 2+2,+2,PDPD2 2=(1-0)=(1-0)2 2+(

19、x-2)+(x-2)2 2+(0-0)+(0-0)2 2=(x-2)=(x-2)2 2+1,+1,SDSD2 2=(0-0)=(0-0)2 2+(0-2)+(0-2)2 2+(1-0)+(1-0)2 2=5.=5.因为因为SPDSPD是直角是直角,所以所以SPSP2 2+PD+PD2 2=SD=SD2 2,即即x x2 2+2+(x-2)+2+(x-2)2 2+1=5,+1=5,所以所以x x2 2-2x+1=0,-2x+1=0,解得解得x=1.x=1.因此边因此边BCBC上存在异于上存在异于B,CB,C的点的点P,P,使得使得SPDSPD是直角是直角.1.1.点点A(3A(3，6 6，1)1

20、)与与B(5B(5，3 3，-1)-1)的距离是的距离是()()【解析解析】选选C.|AB|C.|AB|2.2.设设A(3A(3，3 3，1)1)，B(1B(1，0 0，5)5)，C(0C(0，1 1，0)0)，ABAB的中点的中点M M，则，则|CM|=()|CM|=()【解析解析】选选C.C.由于由于ABAB的中点的中点M M的坐标为的坐标为 ,则则3.3.在空在空间间直角坐直角坐标标系中系中,已知点已知点P(a,b,c)P(a,b,c)满满足方程足方程(x+2)(x+2)2 2+(y-+(y-1)1)2 2+(z-3)+(z-3)2 2=3,=3,则则点点P P的的轨轨迹是迹是()A.A

21、.直直线线 B.B.圆圆 C.C.球面球面 D.D.线线段段【解析解析】选选C.C.由题意由题意,动点动点P P到定点到定点(-2,1,3)(-2,1,3)的距离为定值的距离为定值 ,所以点所以点P P的轨迹是球面的轨迹是球面.4.4.已知已知A(2A(2，5 5，-6)-6)，点，点P P在在y y轴上，轴上，|PA|=7|PA|=7，则点，则点P P的坐标是的坐标是 ()()A.(0A.(0，8 8，0)B.(00)B.(0，2 2，0)0)C.(0C.(0，8 8，0)0)或或(0(0，2 2，0)D.(00)D.(0，-8-8，0)0)【解析解析】选选C.C.因为点因为点P P在在y

22、y轴上，所以可设轴上，所以可设P(0,b,0),P(0,b,0),因为因为|PA|=7|PA|=7，A(2A(2，5 5，-6)-6)，所以，所以解得解得b=2b=2或或b=8b=8.5.5.在空在空间间直角坐直角坐标标系中系中,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的顶顶点点A(3,-1,2),A(3,-1,2),其中心其中心M M的坐的坐标为标为(0,1,2),(0,1,2),则该则该正方体的棱正方体的棱长长等等于于.【解析解析】所以对角线所以对角线|AC|AC1 1|设棱长为设棱长为x,x,则则3x3x2 2=所以所以答案：答案：6.6.如如图图

23、,在在宽宽、长长、高分、高分别为别为2,4,32,4,3的的长长方体方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,利用空利用空间间两点两点间间距离公式距离公式,求求对对角角线线ADAD1 1,AB,AB1 1和和ACAC1 1的的长长.【解析解析】以以D D为坐标原点为坐标原点,DA,DC,DA,DC和和DDDD1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建轴建立如图所示的空间直角坐标系立如图所示的空间直角坐标系.则则D(0,0,0),A(2,0,0),DD(0,0,0),A(2,0,0),D1 1(0,0,3),(0,0,3),B B1 1(2,4,3),C(2,4,3),C1 1(0,4,3).(0,4,3).所以所以