线性代数矩阵的转置对称矩阵精品文稿.ppt

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1、线性代数矩阵的转置对称矩阵第1页，本讲稿共22页例例由定义可知由定义可知,如果记如果记则则.第2页，本讲稿共22页注:由于 维列向量 可看作 矩阵,所以可以记 维列向量 为:矩阵的转置性质矩阵的转置性质:证明证明:仅证性质仅证性质(4),其余留给同学们自证其余留给同学们自证.第3页，本讲稿共22页设设矩阵矩阵,且且这就证明了这就证明了注注:性质性质(4)可推广多个矩阵相乘的情形可推广多个矩阵相乘的情形,即即于是于是所以所以.第4页，本讲稿共22页例例 已知已知解法解法1解法解法2.第5页，本讲稿共22页方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或运算性质运算

2、性质.第6页，本讲稿共22页对称阵与伴随矩阵定义定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即则称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明说明.第7页，本讲稿共22页定义行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵性质性质称为矩阵 的伴随矩阵.第8页，本讲稿共22页例1设是一个 矩阵,则 和 都是对称矩阵.证明证明是是n 阶矩阵阶矩阵,且有且有所以所以 是是 n 阶对称矩阵阶对称矩阵.同理同理是是m阶对称矩阵阶对称矩阵.例例2设设A是阶是阶n反对称矩阵反对称矩阵,B是是 n阶对称矩阵阶对称矩阵,则则AB+BA是是n 阶反对称矩阵阶反对称矩阵.证明证明

3、.第9页，本讲稿共22页注意注意两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例例且若且若A与与B均为对称矩阵均为对称矩阵,则则AB对称的充要条件是对称的充要条件是 AB=BA.第10页，本讲稿共22页P56例4同理可证两个下三角形矩阵的乘积仍为下三角形矩阵两个上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵故C上三角形矩阵.由于A是上三角形矩阵,设当时,所以,因此,第11页，本讲稿共22页 例 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.第12页，本讲稿共22页第13页，本讲稿共22页第14页，本讲稿共22页第15页，本讲稿共22页4 4、共轭矩阵、共轭矩阵定义当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记，称为 的共轭矩阵.故同理可得同理可得第16页，本讲稿共22页运算性质（设 为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:第17页，本讲稿共22页例6 设列矩阵 满足 证明证明第18页，本讲稿共22页解解例4第19页，本讲稿共22页由此归纳出由此归纳出第20页，本讲稿共22页所以对于任意的 都有第21页，本讲稿共22页用数学归纳法证明当 时，显然成立.假设 时成立，则 时，第22页，本讲稿共22页