行列式的定义与性质.ppt

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1、第第6章章 线性代数及其应用线性代数及其应用6.1行列式的定义与性质6.2行列式的计算与应用6.3矩阵的概念 基本要求基本要求6.4矩阵的运算 6.5逆矩阵 6.7线性方程组 6.6矩阵的初等变换 6.1.1 6.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 1.二阶行列式二阶行列式用消元法求解二元线性方程组用消元法求解二元线性方程组得得6.1.1 6.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 1.二阶行列式二阶行列式如果如果，则，则虽然用消元法可以求得二虽然用消元法可以求得二元一次方程组解的公式，但是元一次方程组解的公式，但是随着未知数的增多这个公式越随着未知数的增多这个

2、公式越来越复杂，其规律也不易掌握。来越复杂，其规律也不易掌握。6.1.1 6.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 定义定义61 用个数组成的记号用个数组成的记号称为称为二阶行列式二阶行列式，记为横排称，记为横排称行行，竖排称，竖排称列列称为行列式的称为行列式的元素元素，表示行，表，表示行，表示列示列 9.1.1 9.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 主对角线主对角线 次对角线次对角线 二阶行列式的展开式二阶行列式的展开式：它的展开式是主对角线上的两个元素之积它的展开式是主对角线上的两个元素之积减去次对角线上的两个元素之积减去次对角线上的两个元素之积9.1.

3、1 9.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 当当 时，二元线性方程组的解可时，二元线性方程组的解可以写成以写成 9.1.1 9.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 例例1计算下列二阶行列式计算下列二阶行列式 解：解：9.1.1 9.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 2.三阶行列式三阶行列式定义定义92 用个数组成的记号用个数组成的记号称为称为三阶行列式三阶行列式，记为，记为9.1.1 9.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 将三阶行列式展开（将三阶行列式展开（对角线展开法对角线展开法）9.1.1 9.1.1 二阶行列式与

4、三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 例例2计算三阶行列式计算三阶行列式 解：解：由对角线法则，得由对角线法则，得 本例也可将三阶行列式可转化为二阶行列式计算本例也可将三阶行列式可转化为二阶行列式计算9.1.1 9.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式 例例2 2也可按下列方法计算也可按下列方法计算 解：解：9.1.2 9.1.2 阶行列式阶行列式定义定义93 用个元素用个元素 组成的记号组成的记号称为称为阶行列式阶行列式9.1.2 9.1.2 阶行列式阶行列式表示数值表示数值 9.1.2 9.1.2 阶行列式阶行列式定义定义94 在阶行列式中划去所在的第在阶行列式中划去所在的第

5、行和第行和第列元素后，剩下的元素按原来的相对位置所组成列元素后，剩下的元素按原来的相对位置所组成的阶行列式，称为的的阶行列式，称为的余子式余子式，记为，记为，称，称 为的为的代数余子式代数余子式，记为故，记为故称为阶行列式称为阶行列式按第一行元素展开按第一行元素展开9.1.2 9.1.2 阶行列式阶行列式例例3设三阶行列式，计算设三阶行列式，计算 解：解：(1)余子式余子式 ；(2)代数余子式代数余子式；(3)的值的值 9.1.2 9.1.2 阶行列式阶行列式解：解：方法方法1由对角线法则：由对角线法则：方法方法2行列式按第一行元素展开：行列式按第一行元素展开：9.1.2 9.1.2 阶行列式

6、阶行列式例例4计算行列式计算行列式解：解：例例4中的行列式称为中的行列式称为对角行列式对角行列式，可以看出对角，可以看出对角线行列式的值就等于对角线上的元素之积线行列式的值就等于对角线上的元素之积 9.1.2 9.1.2 阶行列式阶行列式?与与 主对角线右上（下）方的元素全为零的主对角线右上（下）方的元素全为零的行列式称为行列式称为下（上）三角形行列式下（上）三角形行列式，如何计，如何计算下（上）三角形行列式的值？算下（上）三角形行列式的值？9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质性质性质9.1 将行列式的行与相应列互换，行列式的将行列式的行与相应列互换，行列式的值不变值不变转置行列式

7、转置行列式 称互换后的行列式为原来行列式称互换后的行列式为原来行列式 的的转置行转置行列式列式，记为例如，记为例如 9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质性质性质9.2 交换行列式的任意两行（列），行列式交换行列式的任意两行（列），行列式的值仅改变其正负号的值仅改变其正负号 例如例如交换两行（列）记为交换两行（列）记为 9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质性质性质9.3 把行列式的某一行（列）的每个元素同把行列式的某一行（列）的每个元素同乘以数，等于用数乘行列式乘以数，等于用数乘行列式 例如例如推论推论 行列式某一行（列）的所有元素的公因子行列式某一行（列）的所有元素的公

8、因子可以提到行列式的外面可以提到行列式的外面 9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质性质性质9.4 如果行列式中有两行（列）的对应元素如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零相同，则此行列式的值为零 例如例如推论推论 如果行列式中有两行（列）的对应元素成如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值为零比例，则此行列式的值为零 9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质性质性质9.5如果行列式的某一行（列）的元素都是如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，则此行列式等于两个行列式的和，而两项之和，则此行列式等于两个行列式的和，而且这两个行列式除了

9、这一行（列）以外，其余的且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同元素与原来行列式的对应元素相同 例如例如9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质性质性质9.6把行列式某行（列）的所有元素同乘以把行列式某行（列）的所有元素同乘以数，然后加到另一行（列）的对应元素上去，行数，然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变列式的值不变 例如例如第行（列）乘以数，加到第行（列）上去，第行（列）乘以数，加到第行（列）上去，记做记做 9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质例例5计算行列式计算行列式解：解：9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质

10、解：解：9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质利用行列式的性质需注意的问题：利用行列式的性质需注意的问题：l 若后一次运算作用在前一次运算结果的基础上，若后一次运算作用在前一次运算结果的基础上，则运算次序不能颠倒则运算次序不能颠倒；9.1.3 9.1.3 行列式的性质行列式的性质利用行列式的性质需注意的问题：利用行列式的性质需注意的问题：l 与的区别，记号与的区别，记号 不能写成不能写成 ；l任何阶行列式总能利用运算任何阶行列式总能利用运算（或（或 ）化为上三角行列式，或化为下三）化为上三角行列式，或化为下三角行列式（这时要先把角行列式（这时要先把 化为化为0）课堂练习课堂练习：2计算行列式计算行列式（答案（答案:(1)-2,(2)2）1设设,计算计算(1),(2)3证明：证明：（答案（答案:1）1行列式的定义行列式的定义2行列式的计算行列式的计算 3行列式的性质行列式的性质 小结小结 作业作业 习题习题9,1 2 3(1)