行列式的性质克莱姆法则和行列式的逆序定义.ppt

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1、行列式的性质克莱姆法则和行列式的逆序定义现在学习的是第1页,共29页(三)行列式的展开定理:1.行列式可按任一行(列)展开。4.(裂项)某行(列)元素为多项和,可按此行(列)裂为多个行列式相加;5.(加倍)某行(列)元素乘数k加到另一行(列),值不变。二、简单行列式的计算:1.直接判断为零;2.降阶法:按多零的行(列)展开 (也可以利用性质把某一行(列)元素尽可能多化为零);现在学习的是第2页,共29页3.化为三角行列式。现在学习的是第3页,共29页课后思考:的值 的值有什么关系?与现在学习的是第4页,共29页分析:只对前k行运算,不影响后n行只对后n行列运算,不影响前k列现在学习的是第5页,

2、共29页注:计算元素为很大数字的行列式注:行(列)等和行列式把后面各列(行)加到第一列(行),提取公因式。常用方法是将其他各行(列)元素表示成某行(列)元素的倍式加或减一个较小的数。现在学习的是第6页,共29页例5解:从第二行起,每行都加第一行,得:课本P19EX5(2)现在学习的是第7页,共29页例6解:从第二行,每行都减第一行,得:课本P19EX5(3)现在学习的是第8页,共29页注:逐次行(列)相加减,化简行列式,也是求行列式的一种常见方法。思考:计算n阶行列式:现在学习的是第9页,共29页提示:先把第一行加到第二行,然后再把第二行加到第三行,依此下去,最后把第n行加到第n+1行。现在学

3、习的是第10页,共29页提示:从第一行起,每一行都减去其下一行。(P23例4)现在学习的是第11页,共29页四、行列式的其他常见计算方法简介:2.数学归纳法:4.加边法(添加一行一列,变成n+1阶再求解);3.递推法:找出n阶行列式与其结构相同的较低阶行列式的关系再求解;如范德蒙行列式的计算(课本24页例5);1.按定义:不同行不同列元素乘积的代数和;5.折成行列式之积(或和);6.作辅助行列式;(在介绍行列式的逆序定义后介绍)现在学习的是第12页,共29页3 克莱姆法则 一、齐次与非齐次线性方程组的概念对线性方程组若常数项 全为零,则此时称方程组为齐次线性方程组。若常数项 不全为零,则此时称

4、方程组为非齐次线性方程组。现在学习的是第13页,共29页如果由n个方程构成的n元线性方程组:的系数行列式 ,则方程组有唯一解:其中,Dj是把系数行列式第j列元素对应换为方程组的常数项所得的行列式。二、克莱姆法则:(证明留待下一章进行)现在学习的是第14页,共29页例:用克莱姆法则解线性方程组:解:现在学习的是第15页,共29页现在学习的是第16页,共29页(课本29页例1)现在学习的是第17页,共29页则其只有零解:.推论1:若齐次线性方程组(1)的系数行列式 ,注:运用克莱姆法则的两个前提:1.方程个数与未知数个数相等;2.系数行列式不等于零。三、关于n个方程构成的n元齐次线性方程组的定理:

5、注:事实上,一定是(1)的解。(1)现在学习的是第18页,共29页推论2:若齐次线性方程组(1)有非零解,则其系数行列式 .(推论1的逆否命题)例:若方程组 有非零解,求解:方程组有非零解时现在学习的是第19页,共29页练习:P32EX5、6现在学习的是第20页,共29页一、排列例如:3251453214都是5级排列。思考:n个数的不同排列有多少个?自然排列:按数的大小次序,由小到大排列。除自然排列之外,任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。定义:由自然数 组成的一个有序数组称为一个n级排列。12345n!个51214都不是5级排列。234564 行列式的逆序定义现在学习的是第

6、21页,共29页定义:在一个排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,就称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数,记为 .例:二、逆序与逆序数如:32514中的3和2构成一个逆序。现在学习的是第22页,共29页奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列:逆序数为偶数的排列。三、奇排列与偶排列如:32514如:31524四、对换把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数保持不动,得到另一个排列,这一变换称为一个对换。五、主要结论定理:对换改变排列的奇偶性。现在学习的是第23页,共29页经过 次相邻对换分析:设某一n级排列:除i和 j相对位置改变外,其余任两数顺序都没改变,

7、逆序增加或减少一个。结论:相邻对换改变排列的奇偶性。2.一般对换经过 次相邻对换1.相邻对换共经过 次相邻对换。奇数次s+1s2s+1现在学习的是第24页,共29页定理:所有的n()级排列中,奇偶排列各占一半,各为 个。现在学习的是第25页,共29页特点:(2)各项是不同行不同列元素乘积。(1)是3!=6项的代数和。即:各项可写成六、行列式的定义观察各项列标排列,123231312321213132偶排列偶排列偶排列奇排列奇排列奇排列各项符号是(行标自然排列)1.以三阶行列式为例:N()正负项各一半。N()N()N()N()=1N()=1=0=2=2=3现在学习的是第26页,共29页所以三阶行列式可定义为:是3级排列不同行不同列的3个元素乘积冠以符号取遍所有的3级排列并求和现在学习的是第27页,共29页2.n阶行列式的定义:是n级排列共n!项的代数和。例:下列各项,哪些是五阶行列式|aij|中的一项?若是,确定该项符号。不是现在学习的是第28页,共29页N()3.用定义计算行列式例:计算解:除去等于零的项外,非零项只有一项,为:现在学习的是第29页,共29页

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