概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案.pdf

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1、.0/6 第三章多维随机变量与其分布 一、填空题 1、随机点),(YX落在矩形域,2121yyyxxx的概率为),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF.2、),(YX的分布函数为),(yxF,则),(yF 0 .3、),(YX的分布函数为),(yxF,则),0(yxF),(yxF 4、),(YX的分布函数为),(yxF,则),(xF)(xFX 5、设随机变量),(YX的概率密度为 其它042,20)6(),(yxyxkyxf,则k81.6、随机变量),(YX的分布如下,写出其边缘分布.7、设),(yxf是YX,的联合分布密度,)(xfX是X的边缘分布密度,则)(xfX

2、1 .8、二 维 正 态 随 机 变 量),(YX,X和Y相互独立的充要条件是参数 0 .9、如果随机变量),(YX的联合概率分布为 Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 31 X Y 0 1 2 3 jP 1 0 83 83 0 86 3 81 0 0 81 82 iP 81 83 83 81 .1/6 则,应满足的条件是；若X与Y相互独立,则184,182.10、设YX,相互独立,)1.0(),1,0(NYNX,则),(YX的联合概率密度),(yxf22221yxe,YXZ的概率密度)(ZfZ42221xe.12、设 的 联 合 分 布 函 数 为 yxyxyxAyxF 00,0

3、111111,222则 A=_1_.二、证明和计算题 1、袋中有三个球,分别标着数字 1,2,2,从袋中任取一球,不放回,再取一球,设第一次取的球 上标的数字为X,第二次取的球上标的数字Y,求),(YX的联合分布律.解：0311,1YXP 2、三封信随机地投入编号为 1,2,3 的三个信箱中,设X为投入 1 号信箱的信数,Y为投入 2 号信箱的信数,求),(YX的联合分布律.解：X的可能取值为 0,1,2,3Y的可能取值为 0,1,2,3 X Y 0 1 2 3 0 271 273 273 271 1 273 276 273 0 2 273 273 0 0 3 271 0 0 0 3、设 函

4、数 F=120121yxyx ；问 F 是 不 是某 二 维 随 机 变 量 的 X Y 1 2 1 0 31 2 31 31.2/6 联 合 分 布 函 数？并 说 明 理 由.解：F 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 2,0 1=F F F+F=111+0=1 0 故 F 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数.4、设01)(,0)(dxxgxg且,有其它,0,0,)(2),(2222yxyxyxgyxf 证明：),(yxf可作为二维连续型随机变量的概率密度函数.证明：易验证),(yxf0,又 dxdyyxf)

5、,(dxdyyxyxg 002222)(2 02001)()(2drrgrdrrrgd 符合概率密度函数的性质,可以是二维连续型随机变量的概率密度函数.5、在 0,上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y,求0)cos(YXP的值.解：其它,0,0,1),(2yxyxf,0)cos(YXP43)232YXP 6、设随机变量),(YX的密度函数为其它00,0),()43(yxkeyxfyx 确定常数k求),(YX的分布函数求20,10YXP 解：00)43(1dxekdyyx yxyxvueedudveyxF0043)43()1)(1(1211212),()2,0()0,1()0,0()2,1

6、(20,10FFFFYXP 7、设随机变量),(YX的概率密度为.3/6 其它020,103/),(2yxxyxyxf 求1YXP 解：110212)3(),(1yxxdyxyxdxdxdyyxfYXP 8、设随机变量),(YX在矩形区域,|),(dycbxayxD内服从均匀分布,求联合概率密度与边缘概率密度.问随机变量YX,是否独立？解：根据题意可设),(YX的概率密度为 于是)(1cdabM,故其它0,)(/(1),(dycbxacdabyxf 即其它01)(bxaabxfX 即其它0)/(1)(dyccdyfY 因为)()(),(yfxfyxfYX,故X与Y是相互独立的.9、随机变量),

7、(YX的分布函数为其它,00,0,3331),(yxyxFyxyx求：1边缘密度；2验证 X,Y 是否独立.解：1)33(3ln),(yxxxyxF,33ln),(22yxyxyxF 0,0yx.其它0033ln33ln)(20 xdyxfxyxX,因为)()(),(yfxfyxfYX,故X与Y是相互独立的.10、一电子器件包含两部分,分别以YX,记这两部分的寿命,设),(YX的分布函.4/6 数为其它00,01),()(01.001.001.0yxeeeyxFyxyx 问X和Y是否相互独立？并求120,120YXP 解：0001),()(01.0 xxexFxFxX 易证),()()(yxF

8、yFxFYX,故YX,相互独立.由YX,相互独立 11、设 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 F x yA BarctgxCarctgy(,)()()23求：系 数 A,B与 C的 值,的 联 合 概 率 密 度.解：FA BC(,)()()221 由 此 解 得 ABC122,(,)()()x yxy649222 12、设),(YX相互独立且分别具有下列表格所定的分布律 试写出),(YX的联合分布律.解：X Y 2 1 0 21 21 81 61 241 61 1 161 121 481 121 Y 21 1 3 kP 21 41 41 X 2 1 0 21 kP 41 31 121 31.5/6 3 161 121 481 121 13、设YX,相互独立,且各自的分布律如下：求YXZ的分布律.解：,2,1,0kPkXPk YXZ的分布律为,2,1,0iqPiZPkik Z的全部取值为 2,3,4 14、X,Y 相互独立,其分布密度函数各自为 求YXZ的密度函数.解：YXZ的密度函数为dxxZfxfZfYXZ)()()(,由于)(xfX在0 x时有非零值,)(xZfY在0 xZ即Zx 时有非零值,故)()(xZfxfYX在Zx 0时有非零值 当0Z时,0)(Zf 故000)1()(63ZZeeZfZZZ X 1 2 kP 21 21 Y 1 2 kP 21 21