近世代数期末考试试卷及答案2.pdf

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1、-一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元,则 G 的子集()是子群。A、a B、ea,C、3,ae 、3,aae 2、下面的代数系统（,)中，（)不是群 A、G 为整数集合，*为加法 、G 为偶数集合,*为加法 C、为有理数集合,*为加法 D、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集上,下列哪种运算是可结合的？（）、a*b=a-B、abaxa,C、a*a+2 D、a*b=|a-b|4、设1、2、3是三个置换，其中

2、1=（1）(23)（13)，2=(4）（4），3=(1324),则3=(）A、12 B、12 C、22 D、21 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它()。、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共0 小题，每空分，共0 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则4a的阶等于-。4、的阶若是一个有限整数 n，那么 G 与-同构。5、A=12 B=2.5.6 那么B=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7、叫做域F的一

3、个代数元，如果存在F的-naaa,10使得010nnaaa。-8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax,则称a为-。、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭;结合律成立、-。10、一个环 R 对于加法来作成一个循环群，则 P 是-。三、解答题（本大题共 3 小题,每小题 10 分，共0 分）1、设集合 A=1,2,3G 是上的置换群,H 是 G 的子群，,(1 2)，写出的所有陪集。2、设是所有偶数做成的集合,“”是数的乘法,则“”是 E 中的运算，（E,）是一个代数系统，问（E,)是不是群,为什么?3、a=43,b=31,求(a,b),

4、a,b 和 p，q。四、证明题（本大题共 2 小题，第 1 题 10 分,第 2 小题分，共 25 分)1、若是群，则对于任意的 a、G，必有惟一的G 使得 a*。2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:ab当且仅当mab。-近世代数模拟试题三 一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、阶有限群的任何子群一定不是(）。A、2 阶 B、3 阶 、4 阶 D、阶、设 G 是群,G 有(）个元素,则不能肯定是交换群。A、4 个 B、5 个 C、个 D、7

5、 个、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数 B、奇数 C、的倍数 、2 的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（）、（N,）B、（,）C、(,，4,6,12，|（整除关系)）、(P(A),）5、设3=()，(12),(13)，（3)，（）,(132），那么,在 S3 中可以与（123)交换的所有元素有（）、()，(13)，(132)B、12),(13),(23）、(1），(12)D、S3 中的所有元素 二、填空题(本大题共 10 小题,每空分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映

6、射,a是A的一个元，则 aff1-。、区间,2上的运算,minbaba的单位元是-。4、可换群 G 中|6,|x|=8,则|ax|=。5、环 Z8的零因子有-。6、一个子群 H 的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环 R 中所有非零元的共同的加法阶数称为 R 的-。-、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为-。三、解答题（本大题共3 小题,每小题 1分,共0 分）、用种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、1，S是 A 的子环，则 S12也是子环。S1+S2也是子环吗？、设有置换)1245)(1345

7、(,6)456)(234(S。1求和1；2确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2 小题,第题 1分，第小题15 分,共5 分)1、一个除环 R 只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M 为含幺半群,证明=a的充分必要条件是aba=a和b2a=e。-近世代数模拟试题一 参考答案 一、单项选择题。1、;2、D；3、B；4、C;5、;二、填空题(本大题共 10 小题,每空 3 分，共 3分)。、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环;、变换群；、同构;7、零、-a;8、=或 S=R;9、域；三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分,共 30 分

8、）1、解:把和写成不相杂轮换的乘积:)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(可知为奇置换,为偶置换。和可以写成如下对换的乘积:)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(2、解:设 A 是任意方阵,令)(21AAB,)(21AAC,则 B 是对称矩阵，而是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于 0，即:1BB,1CC，所以,表示法唯一。3、答:（mM,m)不是群,因为mM中有两个不同的单位元素 0 和 m。四、证明题（本大题共 2

9、 小题,第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 2分)1、对于 G 中任意元,由于exy2)(,所以yxxyxyxy111)(（对每个，从ex 2可得1 xx）。2、证明在里)0,(11bRbabaabab-有意义,作 F 的子集)0,(bRbabaQ所有 Q显然是的一个商域 证毕。近世代数模拟试题二 参考答案 一、单项选择题(本大题共小题,每小题 3 分,共 15 分)。1、；2、D；3、B；4、B;5、A;二、填空题（本大题共1小题,每空 3 分，共 3分）。1、变换群；、交换环;3、25；、模 n 乘余类加群;、;6、一一映射;、不都等于零的元;8、右单位元；9、消去律成立；1

10、0、交换环;三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分，共 3分)1、解：的个右陪集为:I,（1 2)，（2 3),(3),(1 3 2），(2 ）H 的个左陪集为:I，(1)，(1 2 )，(2 3)，(3 )，（1 )2、答:(E,）不是群，因为(E，)中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102 b=3102+5 10=1851 由此得到（,b)=1,a,=/1=1139。然后回代:17=102-8=2（b-310）=410b=4（a-b)-b=4a-b.所以 p=,q=-5.四、证明题（本大题共 2 小题,第 1 题分,第 2 小题分,共 25 分)、证明

11、设是群，*的幺元。令 x=a-1*,则 ax=(a-1b)=(*a-)*be*b=。所以,x=a-1*b 是 a=的解。若 xG 也是*b 的解，则 x*x=(1*a）*=-1*(*x)a*b=x。所以,x=a1*是 axb 的惟一解。-2、容易证明这样的关系是 Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm，每个整数 a 所在的等价类记为=xZ;mx或者也可记为a，称之为模 m 剩余类。若a也记为 ab(m)。当 m=时,Z仅含个元：0与。近世代数模拟试题三 参考答案 一、单项选择题(本大题共小题，每小题 3 分,共 1分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其

12、代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；、D；、D；、A;二、填空题(本大题共0 小题,每空 3 分，共 3分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一;2、a;3、2；、4;5、；6、相等;7、商群；、特征；、nm;三、解答题(本大题共小题,每小题分，共 30 分)1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算：例如,全白只 1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种，等等，可得总共种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意,S1 有 a-b,abSS2：因为 S,S2 是 A 的子环,故-,bS1 和 a-b，abS2,因而 a-b,S1S2,所以 S12 是子环。S1S2 不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：-3、解:1.)56)(1243(，)16524(1;2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共小题,第 1 题0 分,第 2 小题 1分,共5 分)1、证明:假定是的一个理想而不是零理想，那么0,由理想的定义11aa,因而 R 的任意元1bb 这就是说=R，证毕。2、证 必要性:将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：a=a(ab2a）(aba）2a=b2ae,ba=(ab2a)a=a2(a)=b2=e,所以-。