2022年完整word版,近世代数期末考试试卷及答案 .pdf

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1、一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G的子集（ ）是子群。A、 a B、,a e C、3, e a D、3, ,e a a2、下面的代数系统（ G ，*）中， （）不是群A、G为整数集合， *为加法 B、G为偶数集合， *为加法C 、G为有理数集合， *为加法 D、G为有理数集合， *为乘法3、在自然数集 N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-b B、a*b=maxa,b C 、 a*b=

2、a+2b D、a*b=|a-b| 4、 设1、2、3是三个置换， 其中1(12)(23)(13)，2(24)(14)，3(1324)，则3（）A、21 B、12 C 、21 D 、225、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（） 。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、 是交换群6、12 阶有限群的任何子群一定不是（） 。A、2 阶B、3 阶 C、4 阶D 、 5 阶7、设 G是群， G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个8、有限布尔代数的元素的个数一定等于（） 。A、偶数B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂9、若 I,J均是环

3、 A的理想，则（）不一定是 A的理想。A、I+J B、I J C 、I J D 、IJ 10、3S中元素 (123) 的中心化子有（）A、(1),(123),(132) B、 （12） ，(13) ，(23) C、(1) ，(123) D、S3中的所有元素精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群 G 中的元素a的阶等于 30

4、，则4a的阶等于。4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与同构。5、 如果f是 A与A间的一一映射，a是 A的一个元，则1ffa。3、区间 1 ，2 上的运算min, a ba bo的单位元是。4、交换群 G中|a|=6,|x|=8,则|ax|= 。5、环 Z8的零因子有。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、设集合 A=1,2,3G是 A 上的置换群， H是 G的子群， H=I,(1 2)，写出 H的所有陪集。2、设 E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是 E中的运算，（E ，?）是一个代数系统，问（E ，?）是不是群，为什么？3、a=493, b

5、=391, 求(a,b), a,b 和 p, q 。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若是群，则对于任意的a、bG ，必有惟一的 xG使得 a*xb。2、 设m是一个正整数，利用 m定义整数集 Z上的二元关系：a? b当且仅当 m ab。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页近世代数模拟试题三一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无

6、分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（） 。A、2 阶B、3 阶 C、4 阶D 、 6 阶2、设 G是群， G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（） 。A、偶数B、奇数 C、4 的倍数 D、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、 （N,） B、 （Z,）C、 （2,3,4,6,12,|（整除关系）D、 (P(A),) 5、设 S3(1) ，(12) ，(13) ，(23) ，(123) ，(132) ，那么，在 S3中可以与 (123)交换的所有元素有（）A、(1) ，(123) ，(132)

7、 B、12)，(13) ，(23) C、(1) ，(123) D、S3中的所有元素二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 -的，每个元素的逆元素是-的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1-。3、区间 1 ，2 上的运算,minbaba的单位元是 -。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4、可换群 G中|a|=6,|x|=8,则|ax|= 。5、环 Z8的零因子有 -。6、一个子群 H的右、左陪集的个数

8、-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 -。8、无零因子环 R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、 设群G中元素a的阶为m， 如果ean， 那么m与n存在整除关系为 -。三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是 A的子环，则 S1S2也是子环。 S1+S2也是子环吗？3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1求和1；2确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、一个除环

9、 R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a 和 ab2a=e。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、1 ,2,0 ,2,1,21 ,1,0 ,1,1, 1；2、单位元； 3、交换环； 4、整数环； 5、变换群； 6、同构 ;7 、零、 -a ；8、S=I 或 S=R ；9、域；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 1

10、0 分，共 30 分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：)8)(247)(1653()6)(57)(48)(123(可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：)27)(24)(16)(15)(13()57)(48)(12)(13(2、解：设 A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则 B是对称矩阵，而 C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。3、答： （mM，m）不是群，因为mM中有两个不同的单位元素0 和 m 。四、

11、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 G 中任意元 x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个 x，从ex2可得1xx） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页2、证明在 F 里)0,(11bRbabaabab有意义，作 F 的子集)0,(bRbabaQ所有Q显然是 R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题 ( 本大

12、题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模 n 乘余类加群； 5、2 ；6、一一映射； 7、不都等于零的元； 8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解： H的 3个右陪集为： I,(1 2) ，(1 2 3 ) ，(1 3) ，(1 3 2 )，(2 3 ) H的 3 个左陪集为： I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 ) 2、答： （E，?）不是群，因为（ E，?）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102 b

13、=3102+85 102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=ab/17=11339。然后回代： 17=102-85=102-(b-3 102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5. 四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明 设 e 是群的幺元。令 xa1*b，则 a*xa*(a 1*b) (a*a 1)*b e*bb。所以， xa1*b 是 a*xb 的解。若 x G也是 a*xb的解， 则 x e*x (a1*a)*x a1*(a*x ) a1*bx。精选学习资料 - - - -

14、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页所以， xa1*b 是 a*xb 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为 Zm ，每个整数 a 所在的等价类记为 a= xZ；m xa或者也可记为a，称之为模 m剩余类。若 m ab 也记为 ab(m)。当 m=2时，Z2仅含 2 个元： 0 与1 。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3

15、、D；4、D；5、A；二、填空题 (本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一； 2、a；3、2；4、24；5、；6、相等； 7、商群；8、特征；9、nm；三、解答题（本大题共3 小题，每小题 10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1 种，四白一黑 1 种，三白二黑 2种，等等，可得总共8 种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b S1S2 有 a-b, ab S1S2：因为 S1，S2是 A的子环，故 a-b

16、, ab S1和 a-b, ab S2 ，因而 a-b, ab S1S2 ，所以 S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页3、解： 1 )56)(1243(，)16524(1；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明：假定是 R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义11aa，因而 R的任意元?1bb这就是说=R ，证毕。2、证 必要性：将 b 代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以 b=a-1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页