状态变量与状态方程.pptx

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1、8.1 状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个变量uC(t),iL1(t),iL2(t)的变化情况。这时可列出方程a第1页/共32页 这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一阶微分方程组。若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据tt0时的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可唯一地确定在tt0时的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。第2页/共32页 系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出：一组代数方程 状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必

2、需最少的一组数值，已知这组数值和tt0时系统的激励，就能完全确定tt0时系统的全部工作情况。状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。第3页/共32页 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。说明：（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；（2）状态变量应线性独立；（3）状态变量的选择并不是唯一的。在初始时刻的值称为初始状态。第4页/共32页二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下，用状态变量分析系统时，一般分两步进行：（1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；（2）第二步是用这些状

3、态变量来确定初始时刻以后的系统输出。状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和激励之间的关系。而描述输出与状态变量和激励之间关系的一组代数方程称为输出方程。通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。第5页/共32页动态方程的一般形式 n阶多输入多输出LTI连续系统，如图。其状态方程和输出方程为 第6页/共32页矩阵形式状态方程输出方程其中A为nn方阵，称为系统矩阵，B为np矩阵，称为控制矩阵，C为qn矩阵，称为输出矩阵，D为qp矩阵 对离散系统，类似有状态方程输出方程状态变量分析的关键在于状态变量的

4、选取以及状态方程的建立。第7页/共32页第第 8 8 页页8.2 连续系统状态方程的建立一、由电路图直接建立状态方程 首先选择状态变量。通常选电容电压和电感电流为状态变量。必须保证所选状态变量为独立的电容电压和独立的电感电流。四种非独立的电路结构第8页/共32页状态方程的建立：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。由于为使方程中含有状态变量uC的一阶导数，可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；为使方程中含有状态变量iL的一阶导数，可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消去其他中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。对于输出方程，通常可用

5、观察法由电路直接列出。第9页/共32页由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量；（2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程，对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程；（3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去，然后整理给出标准的状态方程形式；（4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。第10页/共32页例：电路如图，以电阻电路如图，以电阻R1上的电压上的电压uR1和电阻和电阻R2上上的电流的电流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。为输出

6、，列写电路的状态方程和输出方程。解：选状态变量x1(t)=iL(t),x2(t)=uC(t)L 1(t)+R1x1(t)+x2(t)=uS1(t)aC 2(t)+iR2(t)=x1(t)消去 iR2(t),列右网孔KVL方程：R2iR2(t)+uS2(t)x2(t)=0 代入整理得输出方程：uR1(t)=R1x1(t)第11页/共32页二、由输入输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述（输入输出方程、系统函数、模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输出方程。具体方法：（1）由系统的输入输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；（2）选一阶子系统(积分器)的输出作

7、为状态变量；（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程；（4）在系统的输出端列输出方程。第12页/共32页例1：某系统的微分方程为y(t)+3 y(t)+2y(t)=2 f(t)+8 f(t)试求该系统的状态方程和输出方程。解：由微分方程不难写出其系统函数 方法一：画出直接形式的信号流图设状态变量x1(t)、x2(t)x1x2由后一个积分器，有由前一个积分器，有系统输出端，有 y(t)=8 x1+2 x2第13页/共32页方法二：画出串联形式的信号流图设状态变量x1(t)、x2(t)x2x1设中间变量 y1(t)y1系统输出端，有 y(t)=2 x2第14页/共32页方法三：画出并联形式

8、的信号流图f(t)y(t)设状态变量x1(t)、x2(t)x1x2系统输出端，有 y(t)=6x1-4 x2可见H(s)相同的系统，状态变量的选择并不唯一。第15页/共32页例2：某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其状态方程和输出方程。解：对三个一阶系统其中，y2=f x3输出方程 y1(t)=x2y2(t)=x3+f第16页/共32页三、由状态方程列输入输出方程例3：已知某系统的动态方程如下，列出描述y(t)与f(t)之间的微分方程。解法一:由输出方程得y(t)=x1(t)y(t)=x1(t)=4 x1(t)+x2(t)+f(t)y(t)=4 x1(t)+x2(t)+f (t)=44

9、x1(t)+x2(t)+f(t)+3 x1(t)+f(t)+f (t)=13 x1(t)4x2(t)3 f(t)+f (t)y+a y+by=(13 4a+b)x1+(4+a)x2+f (t)+(a3)f(t)a=4，b=3y+4 y+3y=f (t)+f(t)第17页/共32页解法二:对方程取拉氏变换，零状态。第18页/共32页 y+4 y+3y=f (t)+f(t)第19页/共32页第第 2020 页页8.3 离散系统状态方程的建立与连续系统类似，具体方法为：（1）由系统的输入输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图；（2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量；（3）根据每个一阶子

10、系统的输入输出关系列状态方程；（4）在系统的输出端列输出方程。第20页/共32页例1：某离散系统的差分方程为某离散系统的差分方程为 y(k)+2y(k 1)y(k 2)=f(k 1)f(k 2)列出其动态方程。解：不难写出系统函数 画信号流图：设状态变量x1(k)，x2(k)：x1x2x1(k+1)=x2(k)：x2(k+1)x2(k+1)=x1(k)2x2(k)+f(k)：输出方程y(k)=x1(k)+x2(k)第21页/共32页例2：某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出y1(k)、y2(k)，其信号流图如图所示。列写该系统的状态方程和输出方程。解：p1(k)=2x1(k)+

11、2x3(k)p2(k)=3p1(k)-x3(k)+f2(k)=6x1(k)+5x3(k)+f2(k)第22页/共32页 第23页/共32页二、由状态方程进行系统模拟例：某离散系统的状态方程和输出方程为 画出该系统的信号流图 第24页/共32页 结果第25页/共32页第第 2626 页页8.4 连续系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式为 用拉普拉斯变换法求解状态方程 sX(s)x(0)=A X(s)+BF(s)(sI A)X(s)=x(0)+BF(s)X(s)=(sI A)-1x(0)+(sI A)1BF(s)=(s)x(0)+(s)BF(s)式中(s)=(sI A)1常称为预解矩阵。

12、Y(s)=CX(s)+DF(s)Yzi(s)=C(s)x(0)Yzs(s)=C(s)B+D F(s)H(s)=C(s)B+D(s)的极点就是H(s)的极点，即|sIA|=0的根。=C(s)x(0)+C(s)B+D F(s)第26页/共32页例1：描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为解：X(s)=(s)x(0)+BF(s)起始状态x1(0)=3，x2(0)=2，输入f(t)=(t)。求状态变量和输出，并判断该系统是否稳定。第27页/共32页 y(t)=1 1x(t)+f(t)=(t)+6e-2t(t)由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。H(s)的极点就是|sIA|=0的根。|s

13、IA|=(s+2)(s+3)第28页/共32页第第 2929 页页8.5 离散系统状态方程的求解状态方程和输出方程的一般形式 用z 变换法求解状态方程 zX(z)zx(0)=AX(z)+BF(z)Y(z)=CX(z)+DF(z)X(z)=(zI A)1zx(0)+(zI A)1BF(z)设(z)=(zI A)1 z X(z)=(z)x(0)+z 1(z)BF(z)Y(z)=C(z)x(0)+Cz 1(z)B+DF(z)yzi(k)=Z 1C(z)x(0)，yzs(k)=Z 1(Cz 1(z)B+D)F(z)H(z)=Cz 1(z)B+D(z)的极点就是H(z)的极点.即|zI A|=0的根。第29页/共32页例1:描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为初始状态为，激励f(k)=(k)。求状态方程的解解:(z)=zI A 1z=X(z)=(z)x(0)+z1BF(z)=和系统的输出。第30页/共32页 第31页/共32页感谢您的观看！第32页/共32页