第四讲矩阵的秩精选文档.ppt

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1、第四讲矩阵的秩第四讲矩阵的秩本讲稿第一页，共十五页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念注：注：定义定义本讲稿第二页，共十五页例例1 1解解本讲稿第三页，共十五页例例2 2解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，本讲稿第四页，共十五页矩阵的秩具有下列性质矩阵的秩具有下列性质:(1)若矩阵若矩阵 中有某个中有某个阶子式不为阶子式不为0,则则(2)若若中所有中所有 阶子式全为阶子式全为0,则则(3)若若为为矩阵矩阵,则则(4)都是满秩矩阵都是满秩矩阵.例如例如,否则称为否则称为 降秩矩阵降秩矩阵.当当时时,为为满秩矩阵满秩矩阵.称称本讲稿第五页，共十五页二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法问题：问题：经过初等变

2、换矩阵的秩是否改变？经过初等变换矩阵的秩是否改变？因为对于任何矩阵因为对于任何矩阵 ，总可经过有限次初等，总可经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵。行变换把它变成行阶梯形矩阵。注：注：有限次初等行变换不改变矩阵的秩有限次初等行变换不改变矩阵的秩初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.本讲稿第六页，共十五页例例3 3分析：分析：对对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行阶梯形

3、矩阵：本讲稿第七页，共十五页本讲稿第八页，共十五页由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知本讲稿第九页，共十五页则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.注：注：本讲稿第十页，共十五页例例4 4分析：分析：本讲稿第十一页，共十五页本讲稿第十二页，共十五页本讲稿第十三页，共十五页例例5 设设为为阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵,为为矩阵矩阵.试证试证:与与之积的秩等于之积的秩等于的秩的秩,即即证证因为因为非奇异非奇异,故可表示成若干初等矩阵之积故可表示成若干初等矩阵之积,皆为初等矩阵皆为初等矩阵.即即是是经经 次初等行变换后得出的次初等行变换后得出的.因而因而证毕证毕.注注:由矩阵的秩及满秩矩阵的定义由矩阵的秩及满秩矩阵的定义,显然显然,若一个若一个阶矩阵阶矩阵是满秩的是满秩的,则则因而因而非奇异非奇异;反之亦然反之亦然.本讲稿第十四页，共十五页五、小结与作业五、小结与作业(2)(2)初等变换法初等变换法:1.1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.寻找矩阵中非零子式的最高阶数寻找矩阵中非零子式的最高阶数;本讲稿第十五页，共十五页