BM第三十七讲 坐标系与参数方程(选考部分).doc

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1、 高考数学一轮第三十七讲 第 1 页共 7 页 第三十七讲 坐标系与参数方程 考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、坐标系1直角坐标与极坐标的互化把平面直角坐标系的原点作为极点，轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的x长度单位，如图所示，设是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为和M( , )x y，则，( , ) cos sinx y 222tan(0)xyyxxxy OM(x,y)【提示】在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为，这两点与原点不共线时，用余弦定

2、理求解无论哪种情形，用数形12|结合的方法易得解题思路2直线的极坐标方程过点，且与极轴所成的角为的直线方程00(,)M 为00sin()sin()几个特殊位置的直线的极坐标方程：直线过极点：和；直线过点且垂直于极轴：；( ,0)M acosa直线过点且平行于极轴：( ,)2M bsinb3圆的极坐标方程高考数学一轮第三十七讲 第 2 页共 7 页 圆心为，半径为的圆的方程为00(,)M r222 0002cos()0r 几个特殊位置的圆的极坐标方程：圆心位于极点，半径为：；rr圆心位于，半径为：；( ,0)M rr2 cosr圆心位于，半径为：( ,)2M r2 sinr二参数方程1直线的参数

3、方程过定点，倾斜角为的直线 的参数方程为（ 为参数） 00(,)M xyl00cos sinxxt yyt t2圆的参数方程圆心在点，半径为的圆的参数方程为， （为参数，00(,)M xyr00cos sinxxr yyr ） 023圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程为（为参数） 22221xy abcos sinxa yb 抛物线的参数方程为（ 为参数） 22(0)ypx p22 2xpt ypt t【提示】曲线上任一点的坐标都可用一个参数表示，变元只有一个特别对于圆、圆锥曲线有很大用处，参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通

4、方程时，要注意保持同解变形【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化即应用1直角坐标化为极坐标的步骤：( , )x y( , ) 运用，；22xytan(0)yxx在内由求时，先由直角坐标的符号特征判断点所在的象0,2 )tan(0)yxx高考数学一轮第三十七讲 第 3 页共 7 页 限和极角的范围再求的值2对于极坐标系中两曲线的交点的求解问题，常用下列方程处理：对于极坐标方程为直角坐标方程在直角坐标方程的状态下求出交点将直角坐标表示的交点化为极坐标3求极坐标方程时，可在平面直角坐标系中求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程，4求点到直线的距离时，先将极坐标

5、系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解5求线段的长度时，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度二、参数方程与普通方程的互化及应用1参数方程化为普通方程的方法把参数方程化为普通方程，其关键是消去参数，它的过程是消去参数( ) ( )xf t yt 消参的常用方法是代入法、加减法和比较法等，有时要借用代数或t( , )0F x y 三角函数中的恒等式，最后必须注意普通方程中的、的范围必须与参数方程中、xyx的范围一致y2普通方程化为参数方程的方法把普通方程化为参数方程，其关键是

6、代换，它的过程是确定一个关系( , )0F x y 式（ 为参数）代入求得，易出现的( )xf tt( , )0F x y ( )yt( ) ( )xf t yt 问题是与的取值不一致x( )f t3普通方程化为参数方程时，首先要选取合适的参数选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价选取的参数不同，得到的参数方程是不同的4由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视情况而定，一般有三种情况：高考数学一轮第三十七讲 第 4 页共 7 页 利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参；利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程

7、中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有，另一个方程一边只含有，两个方程分别平方后相加消去参数；sincos根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数考点分类精讲考点考点 1 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1利用不同坐标系表示曲线方程2曲线方程的在不同坐标系互化【例 1】若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段x的极坐标为101yxx A B1,0cossin21,0cossin4C Dcossin ,02cossin ,04【解析】由题意得，所以，sin1cos (sincos )1，又，所以，1 s

8、incos01x01y所以点都在第一象限即坐标轴的正半轴上，则( , )x y02【例 2】在极坐标系中，点到直线的距离为23cos3sin6【解析】点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为(2)3(1, 3)cos3sin6，所以点到直线的距离360xy+-=(1, 3)|1336|11 3d+-=+【例 3】已知直线 的极坐标方程为，点的极坐标为，l2 sin()2472 2,)4A则点到直线 的距离为 l【解析】 由得，所以，故直2 sin()24-=22(sincos )22-=1yx-=线 的直角坐标方程为，而点对应的直角坐标为，l10xy-+ =7(2 2,)4A(2, 2)A-高考数

9、学一轮第三十七讲 第 5 页共 7 页 所以点到直线 ：的距离为(2, 2)A-l10xy-+ =|22 1|5 2 22+ +=考点考点 2 参数方程与普通方程互化参数方程与普通方程互化1把参数方程化为普通方程2普通方程化为参数方程【例 4】在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程为，椭圆xOyl11,2 3,2xt tyt 为参数的参数方程为，设直线 与椭圆相交于两点，求线段Ccos , 2sin ,x y 为参数lC,A B的长AB【解析】椭圆的普通方程为，将直线 的参数方程，C2 214yx l112 3 2xtyt 代入，得，即，2 214yx 223()12(1)124t t271

10、60tt解得，.10t 216 7t 所以.1216|7ABtt【例 5】在直角坐标系中，曲线：（ 为参数， 0）其中xOy1Ccos , sin,xt yt tt，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：0Ox2C，：2sin3C2 3cos(1)求与交点的直角坐标；2C3C(2)若与相交于点，与相交于点，求的最大值1C2CA1C3CB|AB【解析】(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为2C2220xyy3C高考数学一轮第三十七讲 第 6 页共 7 页 联立解得或222 30xyx222220,2 30,xyyxyx0, 0,x y 3,2 3,2xy 所以与交点的直角坐标为

11、和2C1C(0,0)3 3(, )22(2)曲线的极坐标方程为，其中1C(,0)R 0因此得到极坐标为，的极坐标为A(2sin, ) B(2 3cos , ) 所以，2sin2 3cosAB4in()3s当时，取得最大值，最大值为5 6AB4【例 6】已知曲线：，直线 ：（ 为参数） C22 149xyl2 22xt yt t(1)写出曲线的参数方程，直线 的普通方程；Cl(2)过曲线上任一点作与 夹角为的直线，交 于点，求的最大值与最CPlo30lA|PA小值【解析】(1)曲线的参数方程为（为参数）C2cos . 3sin .x y 直线 的普通方程为l260xy(2)曲线上任意一点到 的距离为C(2cos ,3sin )Pl54cos3sin6 .5d则，其中为锐角，且，2 5|5sin()6|sin305dPA4tan3当时，取得最大值，最大值为sin()1 |PA22 5 5当时，取得最小值，最小值为sin()1|PA2 5 5本专题试题训练高考数学一轮第三十七讲 第 7 页共 7 页 详见试题精练