BJ第三十四讲 双曲线.doc

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1、 高考数学一轮第三十四讲 第 1 页共 13 页 第三十四讲 双曲线考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、双曲线的定义1定义：平面上到两定点的距离之差的绝对值为常数（小于两定点间距离）的动点轨迹叫做双曲线2双曲线的定义用代数式表示为，其中12| 2MFMFa122|aFF3当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当12| 2MFMFa2F时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，12|2MFMFa 1F122|aFF轨迹为分别以、为端点的两条射线；当时，动点轨迹不存在1F2F122|aFF二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程22221xy ab(0,0)ab22221(0

2、,0)yxabab图形xyA1B2B1A2 OF1F2xyA2 B1B2A1OF2F1范围|xa|ya焦点，1(,0)Fc2( ,0)F c，1(0,)Fc2(0, )Fc顶点，1(,0)Aa2( ,0)A a，1(0,)Aa2(0, )Aa对称性关于、轴对称，关于原点对称xy实虚轴长实轴长为，虚轴长为2a2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比cea准线方程2axc 2ayc 高考数学一轮第三十四讲 第 2 页共 13 页 渐近性方程byxa ayxb 【提示】不要忘记双曲线中，而椭圆中是222cab222abc双曲线的几何性质应从以下两方面关注：a “六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；b “四

3、线”：两对称轴（实、虚轴） 、两渐近线【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、双曲线的定义双曲线的定义的应用主要有以下两个方面：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点与两焦点的距离的差 (其中)，与正、P12| 2MFMFa1202|aFF余弦定理结合，解决焦点三角形问题在双曲线中，求最值时经常考虑双曲线的两个定义，利用三角形两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短这个几何性质求解，注意考虑共线时的情况双曲线定义的应用技巧(1)利用动点与两定点距离差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题，充分应用定义可以使解答过程简化【提示】(1)

4、定义中特别要注意当时，动点的轨迹是双曲线：22ac当时，动点的轨迹是以、为端点的两条射线；22ac1F2F当时，动点的轨迹不存在22ac(2)由双曲线的定义()可知，双曲线有两支若12| 2MFMFa22ac()，则为双曲线的一支12| 2MFMFa22ac二、双曲线的标准方程1定义法求双曲线的标准方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定、或，从而求出2a2b2c、，写出双曲线方程2a2b2待定系数法求双曲线的标准方程高考数学一轮第三十四讲 第 3 页共 13 页 先确定焦点在轴还是轴，设出标准方程，再由条件确定、的值，即“先定xy2a2b型，再定量” 3双曲线的标准方程辅设(

5、1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为22 1xy mn，这样可避免讨论及复杂的计算；也可设为，这种形式(0)mn 221AxBy(0)AB 在解题时更简便(2)当已知双曲线的渐近线方程，求双曲线方程时，可设双曲线方程为0bxay，据其他条件确定的值2222b xa y(0)(3)与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为，22221xy ab2222xy ab(0)据其他条件确定的值(4)已知的双曲线设为ab22xy(0)(5)已知过两点的双曲线可设为.221AxBy(0)AB (6)已知离心率为的双曲线方程可设为或e222221(1)xy aea222221(1)yx

6、aea【提示】(1)双曲线的标准方程必须满足焦点在坐标轴上，且中心为坐标原点；或双曲线的对称轴在坐标轴上(2)双曲线的方程中，且（注意与椭圆的区别） 0ca0cb222cab三、双曲线的几何性质1求双曲线离心率的基本思路求双曲线的离心率就是要找双曲线中与的关系，常将题目中的条件与ac相结合，转化为关于，的等式（或不等式） ，进而化成关于的方程（或222cabace不等式）求解2求双曲线离心率的常用方法直接求出，当已知双曲线方程或者，易求时，直接利用离心率公式计acac高考数学一轮第三十四讲 第 4 页共 13 页 算由与的关系可以求离心率：离心率公式还有一个变形，所ab21 ( )cbeaa以

7、由与的关系可以求离心率，相反，由离心率也可以得出与的关系abab离心率的求解中可以不求出，的具体值，而是得出与的关系，从而求eacac得e3双曲线渐近线与离心率综合问题的求法已知双曲线的离心率求渐近线方程要注意及判断焦点的位置；e21 ( )bea已知渐近线方程()求离心率时，若焦点不确定时，或，ymx0m bmaamb因此离心率有两种可能【提示】双曲线中、之间的关系为，不要和椭圆之间的关系混abc222cab淆4由双曲线的标准方程求渐近线的方法求双曲线的渐近线的方法是令，即得两渐近线22221(0,0)xyabab22220xy ab方程或0xy abbyxa 5双曲线焦点（焦距） 、实虚轴

8、的长依题设条件及、之间的关系求解abc6双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点” （两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点） “四线” （两条对称轴、两条渐近线） “两形” （中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形） ，研究它们之间的相互联系7与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为(且22221xy ab22221xy ab2a)2b 8双曲线的形状与的关系：，越大，即渐e222 2 211bcackeaaa e近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔高考数学一轮第三十四讲 第 5 页共 13 页 【提

9、示】(1)椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性曲线，又双曲线有两支，故在应用时要注意点在哪一支上(2)根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性四、直线与双曲线的综合问题1直线与双曲线的位置关系的判断方法代数法：一般地，设直线方程为()，双曲线方程为ykxm0m 22221xy ab，将代入，消去，并化简，(0,0)abykxm22221(0,0)xyababy得（该方程不一定是一元二次方程） 222222222()20ba kxa mkxa ma ba当，即时，直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共2220ba kbka 点，直线与双曲线相交b当，即时，判别式直线与双曲线相交，有两个公共

10、点；2220ba kbka 0 判别式直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式直线与双曲线相离，0 0 没有公共点几何法（渐近线法）：可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系设此双曲线的渐近线斜率为，当直线的斜率等于时，直线与双曲线相交于一点，如kk图所示直线均与双曲线右支交于一点；当直线过点且斜率在上时，直线与P(, )k k曲线左右两支各交于一点，如直线；当直线过点且斜率在上时，P(,)( ,)kk 直线可能与曲线的右支交于两点，如直线，也可能与曲线右支相切，如直线，还可能与曲线相离，如直线高考数学一轮第三十四讲 第 6 页共 13 页 xyP O【提示】当直线与双曲线只有一个交

11、点时，有两种可能情况：直线与双曲线相切；直线与双曲线的渐近线平行2直线与双曲线相交的弦长问题的求解方法设直线与双曲线相交于，两点，则可结合一元二次方程根与系数11( ,)M x y22(,)N xy关系得到如下弦长公式：222 212121|()()1|MNxxyykxx（其中为直线的斜率，为的系数） 2 12211|1|yykkAkA2x考点分类精讲考点考点 1 双曲线的定义双曲线的定义1利用双曲线的定义判定某动点轨迹为双曲线2把双曲线的定义作为性质运用来考查【例 1】设，分别为双曲线)0, 0( 12222 baby ax的左、右焦点，双曲线上存在1F2F一点P使得,49| ,3|2121

12、abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为A34B35C49D3【解析】由双曲线的定义得，又，12| 2PFPFa12| 3PFPFb所以，即，2222 1212(|)(|)94PFPFPFPFba124| 9PFPFab因此，即，则（） （）=0，解得22949baab299( )40bb aa31b a34b a高考数学一轮第三十四讲 第 7 页共 13 页 舍去） ，则双曲线的离心率41(33bb aa 251 ( )3bea【例 2】设，是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，是上一点，若1F2FPC，且12PFF的最小内角为30，则的离心率为_126PFPFaC【解析

13、】设点在右支上，则，P1| PFm2|PFn6 2mna mna 解得，由题知中的最小角为，4ma2na12PFF12PFF1230PFF由余弦定理得：，22216441 33cos30()2 842acaac acca解得3cea考点考点 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程1求双曲线的标准方程2由双曲线的方程读出有关信息【例 3】已知双曲线 的一条渐近线过点，且双曲线的一222210,0xyabab(2, 3)个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为24 7yxA B C D22 12128xy22 12821xy22 134xy22 143xy【解析】由题意可得，又，解得，故3 2b a

14、=7c =2227cab=+24a =23b =双曲线的方程为22 143xy【例 4】(1)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过 F 的直线 与相交于E(3,0)PElE，两点，且的中点为,则的方程式为ABAB( 12, 15)N EA BC D22 136xy22 145xy22 163xy22 154xy高考数学一轮第三十四讲 第 8 页共 13 页 (2)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点22221(0,0)xyabab22(0)ypx p的距离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲( 2, 1)线的焦距为ABCD2 32 54 34 5【解析】(1)由双曲线的中

15、心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为E(3,0)PE22221xy ab，设，即 22(9)ab1122( ,), (,)A x yB xy2222 1122 22221,1xyxy abab则，则，22 1212 22 1212120 151153 12yyxxbb xxayya2 22 25,5,44bbaa故的方程式为.应选 BE22 145xy(2)双曲线的渐近线为，由双曲线的一条渐近线与22221(0,0)xyababbyxa 抛物线的准线的交点坐标为（2，1）得，即，22p 4p 又，将（2，1）代入得，42pa2a byxa1b ，即225cab22 5c 点拨：求双曲线的标准方

16、程应首先考虑焦点的位置，若确定，即可定类型，设方程，求参数、；若焦点的位置不确定，则可直接设双曲线的方程为ab221AxBy(0)AB 考点考点 3 双曲线的几何性质双曲线的几何性质1求双曲线的有关几何特征量2将双曲线的有关几何性质作为已知条件给出【例 5】设双曲线（）的右焦点为，右顶点为，过作22221xy ab0,0abFAF高考数学一轮第三十四讲 第 9 页共 13 页 的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于AF,B C,B C,AC AB点若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范DDBC22aab围是A B( 1,0)(0,1)(, 1)(1,) C D( 2,0

17、)(0,2)(, 1)( 2,) 【解析】由题意22 ( ,0), ( ,),( ,)bbA aB cC caa，由双曲线的对称性知D在x轴上，设( ,0)D x，由BDAC得22 0 1bb aa cxac ，解得42()bcxa ca，所以4 22 2()bcxaabaca ca，所以4 222 2bcaba221b a01b a，而双曲线的渐近性斜率为，b a所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是( 1,0)(0,1)，选 A【例 6】已知是双曲线：上的一点，是的两个焦点，若00(,)M xyC2 212xy12,F FC，则的取值范围是120MFMF0yA B33(,)3333(,)66C

18、 D2 2 2 2(,)332 3 2 3(,)33【解析】由题意知，所以，不妨设，22a =21b =23c =1(3,0)F2( 3,0)F所以，100(3,) MFxy200( 3,)MFxy又在双曲线上，所以，即00(,)M xy2 20 012xy22 0022xy高考数学一轮第三十四讲 第 10 页共 13 页 所以，所以，故选 A222120003310MFMFxyy 033 33y【例 7】已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，0,0ab1C22221xy ab2C22221xy ab与的离心率之积为，则的渐近线方程为1C2C3 22CA B02 yx CD20xy20xy20x

19、y【解析】的离心率为，的离心率为，1C22ab a2C22ab a，得，即，22223 2abab aa424ab2ab的渐近线的方程为，即2C1 2yx 20xy考点考点 4 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的综合问题1直线与双曲线的位置关系的判定2直线与双曲线相交的弦长问题的求解【例 8】如图，已知双曲线：()的右焦点，点分别在的两条C2 2 21xya0a FBA,C渐近线上，轴，(为坐标原点） xAF BFOBAB,OAO(1)求双曲线的方程；C(2)过上一点的直线与直线相交于点，与C)0)(00, 0yyxP1:020yyaxxlAFM直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，

20、并求此23xNPCNFMF定值高考数学一轮第三十四讲 第 11 页共 13 页 【解析】(1)设，因为，所以( ,0)F c1b 21ca直线方程为，直线的方程为，解得OB1yxa BF1()yxca( ,)22ccBa又直线的方程为，则OA1yxa3( ,),.ABcA ckaa又因为，所以，解得，ABOB31()1aa 23a 故双曲线的方程为C2 213xy(2)由(1)知，则直线 的方程为，即，3a l0 001(0)3x xy yy003 3x xyy因为直线的方程为，所以直线 与的交点，AF2x lAF0023(2,)3xMy直线 与直线的交点为l3 2x 003332( ,)23

21、x Ny则，22 0 222 004(23)| |9(2) xMF NFyx因为是上一点，则，代入上式得00(,)P xyC2 20 013xy，所求定值为222 00 2222 2000 04(23)4(23)|4 |9(2) 391(2) 3xxMF xNFyxx |2 3 |3MF NF【例 9】已知双曲线的两条渐近线分别为:，:)0, 0( 1:2222 baby axE1l2yx2l.2yx (1)求双曲线的离心率；E(2)如图，为坐标原点，动直线 分别交直线于两点（分别在第一，Ol21,llBA,BA,高考数学一轮第三十四讲 第 12 页共 13 页 四象限） ，且的面积恒为 8，

22、试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公共OABl点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。EExyl2l1lBAO【解析】(1)因为双曲线的渐近线分别为和，.E2yx2yx 所以,，2b a22 2ca a5ca从而双曲线的离心率.E5e (2)由(1)知,双曲线的方程为. E222214xy aa设直线 与轴相交于点.lxC当轴时,若直线 与双曲线有且只有一个公共点,lxlE则,，OCa4ABa又因为的面积为 8,OAB所以,.182OC AB 1482aa2a 此时双曲线的方程为.E22 1416xy若存在满足条件的双曲线,则的方程只能为.EE22 1416xy以下证明：

23、当直线 不与轴垂直时，双曲线：也满足条件. lxE22 1416xy高考数学一轮第三十四讲 第 13 页共 13 页 设直线 的方程为,依题意,得或.lykxm2k 2k 则，记.(,0)mCk1122( ,), (,)A x yB xy由,得,同理得.由得, 2yx ykxm 12 2myk22 2myk121 2OABSOC yy，即.1228222mmm kkk2224 44(4)mkk由得,.因为,22 1416ykxmxy222(4)2160kxkmxm240k所以,22222244(4)(16)16(416)k mkmkm 又因为.所以,即 与双曲线有且只有一个公共点.224(4)mk0 lE因此,存在总与 有且只有一个公共点的双曲线,且的方程为.lEE22 1416xy本专题试题训练详见试题精练