BD第二十九讲 直线 平面平行的判定及其性质.doc

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1、 高考数学一轮第二十九讲 第 1 页共 9 页 第二十九讲 直线 平面平行的判定及其性质考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、直线与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行aa a判定平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（即线线平行线面平行）ba，ab且aba性质一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（即线面平行线线平行）ba,aabab二、平面与平面平行的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行Pba

2、，,ab，abPa ，b判定如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行PPabab，,ab，abPaa ，bbabP ，ab 高考数学一轮第二十九讲 第 2 页共 9 页 垂直于同一条直线的两个平面平行a,aa两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面a，a a性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab，a ，bab【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】1判定直线与平面平行的三种方法利用定义（常用反证法） 利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形

3、的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线【提示】用该定理判断线面平行，必须满足三个条件：第一，直线在已知平面外；a第二，直线在已知平面内；第三，两直线平行这三个条件是缺一不可的b利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面2判定平面与平面平行的方法方法一利用定义，常用反证法完成方法二利用面面平行的判定定理方法三利用面面平行的判定定理的推论方法四面面平行的传递性（，）高考数学一轮第二十九讲 第 3 页共 9 页 方法五利用线面垂直的性质（，）ll方法六用向量证明平面与平面平行【提示】利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：在一个平面内有两条直线平行

4、于另一个平面，这两条直线必须相交，这两个条件缺一不可，此定理常常表述为“线面平行，则面面平行” ，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面3线线平行证明的常用方法公理：、.abacbc利用平面几何知识也可证线线平行，线面平行的性质：aaabb 面与面平行的性质：，abab直线与平面垂直的性质：aabb 4线面平行证明中应注意的几个问题线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面欲利用判定定理证明线面平行，就是根据题中的条件在这个平面内去寻找这条“目标直线” ，构成平行关系的桥梁，从而完成过渡寻找途径一是将线段平移到已知平面；寻找途径二是

5、通过一点作为投影中心，作出该直线在平面内的投影若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线5面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用6证面面平行时，应防止出现直接由一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线得到，因为没有这样的定理和直接作为命题的说明考点分类精讲考点考点 1 直线与平面平行直线与平面平行高考数学一轮第二十九讲 第 4 页共 9 页 1判定直线与平面平行2由直线与平面平行解决相关问题【例 1】如图(1)，正方体中，点在上，点在上，且1

6、111ABCDABC DNBDM1BC，求证：平面CMDNMN11AAB B【解析】证法一：如图(1)所示，作，交于，作，交于，MEBC1BBENFADABF连接，则平面EFEF 11AAB B，11B MME BCBCNFBN ADBD在正方体中，1111ABCDABC DCMDN1B MNB又，又，1BCBDMEBNNF BCBDADBCADMENF又，四边形为平行四边形，MEBCADNFMEFN，又平面，平面，MNEFEF 11AAB BMN 11AAB B平面MN11AAB BA1B1C1D1FENMDCBAMN PABCDD1C1B1A1MNP ABCDD1C1B1A1图(1) 图(

7、2) 图(3)证法二：如图(2)所示，连接并延长交所在直线于点，连接，CNBAP1B P则平面1B P 11AAB B，NDCNBP:DNCN NBNP又，,，,CMDN1BCBD1B MNB1CMDNCN MBNBNP1MNB P平面，平面，平面1B P 11AAB BMN 11AAB BMN11AAB B高考数学一轮第二十九讲 第 5 页共 9 页 解法三：如图(3)所示，作，交于点，连接1MPBBBCPNP，1MPBB1CMCP MBPB，1BDBCDNCM1B MNB1CMDN MBNBCPDN PBNB，平面平面，NPCDABMNP11AAB B平面，平面MN MNPMN11AAB

8、B点拨：(1)欲利用判定定理证明线面平行，就是根据题中的条件在这个平面内去寻找这条“目标直线” ，构成平行关系的桥梁，从而完成过渡寻找方法一是将线段平移到已知平面（如证法一） ；寻找方法二是通过一点作为投影中心，作出该直线在平面内的投影（如证法二） (2)若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线(如证法三） 【例 2】已知：平面平面，、夹在、之间，、，、ABCDACB，、分别为、的中点，求证：，DEFABCDEFEF【解析】当和共面时，经过、的平面与、分别交于、ABCDABCDACBD，又，ACBDAE

9、EBCFFDEFAC，同理ACEFEF当和异面时，如图，在与所确定的平面内，过点作与ABCDCDEEC DCD 、分别交于点、CDABCDCD经过相交直线和作平面分别交、于、ABC D ACBD高考数学一轮第二十九讲 第 6 页共 9 页 ，又，易得ACBDAEEBC EED，经过和作平面与、分别交于和C DCD C D CDC CD D，在平行四边形中，C CD DC D DC ，C EEDCFFDEFD D，同理D DEFEF点拨：解答此题要防止把、看成同一平面内的线段而直接采用平面几何知识ABCD证明的错误考点考点 2 平面与平面平行平面与平面平行1判定平面与平面平行2利用平面与平面平行

10、解决相关问题【例 3】如图所示，在正方体中，棱长为1111ABCDABC DAQPNMA1B1C1D1DCBA(1)求证：平面平面；11AB D1C BD(2)求平面和平面间的距离11AB D1C BD【解析】(1)是正方体，又平面,1111ABCDABC D11B DBDBD 1C BD平面.同理平面.11B D1C BD1D A1C BD和是平面内的两条相交直线，因此，平面平面.11B D1D A11AB D11AB D1C BD(2)连接，设、分别是和平面、平面的交点在平面1ACMN1AC11AB D1C BD1AC内的射影，ABCDACBD1ACBD同理.平面.于是平面11ACBC1A

11、C1C BD1AC11AB D因此的长即是两平行平面和间的距离在平面中，MN11AB D1C BD11A ACC高考数学一轮第二十九讲 第 7 页共 9 页 ，11AACCa112ACACa13ACa设平面和平面交于（为的中点） ，则，又平面11AB D11A ACCAPP11B DM AP和平面交于（为的中点） ，且由1C BD11A ACC1C QQBDN 1C QAP1C Q平面几何的知识，知、为的两个三等分点，MN1AC3 3MNa点拨：(1)证明两个平面平行的方法有：用定义，此类题目常用反证法来完成证明用判定定理或推论，通过线面平行来完成证明，根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这

12、一性质进行证明，借助于“传递性”来完成，还可以用向量法来证明直线和平面平行(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用(3)证面面平行时，应防止出现直接由一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线得到，因为没有这样的定理和直接作为命题的说明此题求两平面的距离时，将空间距离转化为平面内两条平行直线的距离的方法，用到了降维的思想，11AAC C值得借鉴考点考点 3 平行关系的综合运用平行关系的综合运用1利用直线与平面、平面平行的性质解决有关计算问题2利用直线与平面、平面与平面平行的性质解决有关的探索、开放问题【例 4】如图所示，在四面体

13、中，截面平行于对棱和，试问截面ABCDEFGHABCD在什么位置时其截面面积最大？FEH GABCD【解析】平面，ABEFGH平面与平面和平面分别交于、.EFGHABCABDFGEH，ABFGABEH高考数学一轮第二十九讲 第 8 页共 9 页 ，同理可证，FGEHEFGH截面是平行四边形EFGH设=，=，（即为异面直线和所成的角或其补角）ABaCDbFGHABCD又设，则由平面几何知识可得，FGxGHyxCG aBCyBG bBC两式相加得，即，1xy ab()byaxasinsin() sin()EFGHbbSFG GHxaxx axaa:，且为定值，0x 0ax()xaxa当且仅当时，此

14、时，xaxsinsin()4babx axa2ax 即当截面的顶点、为棱、的中点时，截EFGHEFGHADACBCBD面面积最大点拨：利用线面平行的性质，可以实现线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决【例 5】如图,在长方体中，,分别是棱，上的点(点与1111ABCDABC DEH11AB11DCE不重合),且过的平面与棱，相交,交点分别为，1BEH11ADEH1BB1CCFG(1)证明：平面；ADEFGH(2)设，在长方体内随机选取一点,记该点取自几122ABAAa1111ABCDABC D何体内的概率为当点，分别在棱，上运11A ABF

15、ED DCGHpEF11AB1BB动且满足，求的最小值EFap【解析】解法一 (1)在长方体中,1111ABCDABC DAD11AD又,.EH11ADADEH平面, 平面,ADEFGHEHEFGH高考数学一轮第二十九讲 第 9 页共 9 页 平面.ADEFGH(2)设,则长方体的体积,BCb1111ABCDABC D2 12VAB BC AAa b几何体的体积11EB FHC G11111111()22bVEB B FBCEB B F,222 11EBB Fa，当且仅当时等号成立11EB B F222 11 22EBB Fa112 2EBB Fa从而214a bV ，当且仅当时等号成立.21 2741128a b VpVa b 112 2EBB Fa所以的最小值等于p7 8解法二 (1)同解法一.(2)设，则长方体的体积，BCb1111ABCDABC D2 12VAB BC AAa b几何体的体积11EB FHC G11111111()22bVEB B FBCEB B F设(),则，1B EF0901cosEBa1sinB Fa故=，当且仅当，即时等11EB B F22 2sincossin222aaasin2145号成立.从而214a bV ，当且仅当,即时等号成立.21 2741128a b VpVa b sin2145所以的最小值等于p7 8本专题试题训练详见试题精练