AY第二十四讲 基本不等式.doc

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1、 高考数学一轮第二四讲 第 1 页共 6 页 第二十四讲 基本不等式：2abab考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、基本不等式1算术平均数如果，那么叫做这两个正数的算术平均数*, a bR2ab2几何平均数如果，那么做这两个正数的几何平均数*, a bRab3定理如果，那么（当且仅当时取“=” ） , a bR222ababab推论：如果，那么（当且仅当时取“=” ） *, a bR2ababab4两个基本不等式的推论和常见结论()222abab, a bR()22 2()22ababab, a bR（） ，2abab*, a bR(同号，时取“=”)；2ba ab, a ba

2、b（） ；222 1122abababab*, a bR.222abcabbcca【提示】当，时，、分别叫做这两个正数的算术平均数、几何0a 0b 2abab平均数二、基本不等式与最值1两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，为正实数，且，ababM高考数学一轮第二四讲 第 2 页共 6 页 为定值，则，等号当且仅当时成立 （简记：和定积最大）M24Mab2Mab2两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，为正实数，且，ababP为定值，则，等号当且仅当时成立 （简记：积定和最小）P2abab abP【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、基本不等式1基本不等式2abab(1)注

3、意不等式成立的条件，.0a 0b 当，时，、分别叫做这两个正数的算术平均数、几何平均数，0a 0b 2abab因此，该不等式又可记作两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用2创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅

4、是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法3最值的求法“和定积最大，积定和最小” ，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值应用此结论需注意以下三点：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、二定、三相等4基本不等式的几种变形公式对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：22 2()22ababab( ,)a bR高考数学一轮第二四讲 第 3 页共 6 页 2222ababab(0,0)ab【提示】注意不等式成立的条件和等号成立

5、的条件考点分类精讲考点考点 1 基本不等式及其应用基本不等式及其应用1利用基本不等式判定不等式成立2利用基本不等式证明不等式【例 1】设、是正实数，以下不等式：，ab2ababab|aabb，恒成立的序号为22243ababb22ababA B C D【解析】，不恒成立，2abab 2ababab、是正实数，即，恒成立ab|abab|aabb，不恒成立，2244abab22243ababb，恒成立，故选 D2222 22abababab【例 2】(1)下列不等式一定成立的是A B21lg()lg(0)4xxx1sin(,)sinxxkkZxC D2()xx xR+12211()xRx+1(2)

6、设，若，( )lnf xx0ab()pfab()2abqf，则下列关系式中正确的是1 ( )( )2rf af bA B C Dqrpqrpprqprq【解析】(1)，即，当时，21lg()lg4xx21 4xx(0)x 24410xx 1 2x A 错；当时，B 错；211441022 sin1x 1sin22sinxx ，C 正确；当时，D 错2212|(| 1)0xxx0x 2111x(2)，又在上单调递增，0ab( )lnf xx=(0,)+高考数学一轮第二四讲 第 4 页共 6 页 故，即，()()2abfabf+，11 ( )( )(lnln ) ln()22rf af bababfabp=+=+=prq=(1,1)111ab+=所以(当且仅当时去等号)，所以111 1212aba bab=+=2ab=2ab又(当且仅当时去等号)，所以(当且仅当2abab+ 2ab=4ab+ 时去等号)2ab=解法二过点，所以，1xy ab+=(0,0)ab(1,1)111ab+=所以(当且仅当时去等11()()2224aba babababbab a+ =+=+=2ab=号)点拨：应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件，即成立的条件是，而成立的条件是222abababR2abab且0a0b本专题试题训练详见试题精练