AM第十二讲 任意角的三角函数.doc

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1、 高考数学一轮第十二讲 第 1 页共 14 页 第十二讲 任意角的三角函数考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、三角函数的概念1角的概念的推广定义：一条射线由原来的位置，绕着它的端点按一定方向旋转到另一位置OAO，就形成了角，角分为正角、零角、负角OB按终边位置不同产生象限角和轴线角，终边与角相同的角，可写成360k()kZ2弧度制换算公式，23601801801rad = ()57181rad180弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 ，圆心角大小为()(rad)，半径为又，则扇l02rlr形的面积为211 22Slrr3三角函数的定义及三角函数值的符号定义：设是一个任意角，是角

2、终边上任意一点，它与原点的距离( , )P x y，那么角的正弦，余弦，正切，余切分别是，22|POrxysiny r， （如图所示）cosx rtany xcotx yxy P(x,y)O三角函数的符号：高考数学一轮第十二讲 第 2 页共 14 页 各三角函数的值在各象限的符号示意图如图所示xysin-+-+OxyO+-+-cosxy-+-+OtanxyO +-+- cot二、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1同角三角函数的基本关系式,22sincos1sintancos【提示】常被称为平方关系式；常被称为商数关系式22sincos1sintancos2诱导公式()kZ公式一二三四五六角2

3、k22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【提示】记忆规律是奇变偶不变，符号看象限，其中奇变偶不变中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍（如为偶数倍，为奇数倍） ，变与不变指的是函2223322 数名称的变化，若是奇数倍，则正、余弦互变，如：；若是偶数倍，则sin()cos2函数名称不变，符号看象限【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、根据三角函数的定义解三角函数问题包括下面几种类型：1根据三角函数的定义，判断函数的图象，首先建立平面直角坐标系，求出函数的解析式，根据函数的

4、解析式判断函数的图象2根据三角函数的定义，求三角函数的值（或参数的值） 关键是在角的终边上任取一点，求出，根据三角( , )P x y22|0OPxyr高考数学一轮第十二讲 第 3 页共 14 页 函数的定义进行求解；或取单位圆上的点（点为角的终边上的一点） ，(cos ,sin)PP根据三角函数的定义求解直线的斜率为直线的倾斜角的正切值，根据该角的正切值，可以求二倍角的正弦、余弦值根据角的终边上一点的坐标，确定角的大小时，首先确定角所在的象限，再求角的三角函数值，从而确定角3象限角和终边相同角的判断及表示方法若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为（2k）的形式，然后再根据所在

5、的象限予以判断02()kZ利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需角k二、利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简、求值1公式的变形：；22sin1 cos sincostan22cos1 sin 2在应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限，进一步确定三角函数值的符号【提示】(1)正确理解“同角”的含义：只要是“同一个角” ，那么基本关系式就成立，不拘泥于“角的形式” ，例如：，等都是成立的，但22sincos144tan4cot41就不一定成立22sincos1(2)同角三角函数的基本

6、关系式及其等价形式，对于使等式两边都有意义的角来说都成立，也就是说在角的自变量允许的范围里，不论角取什么值等式都成立，所以它们都是三角恒等式3诱导公式可概括为一句话：“奇变偶不变，符号看象限” 即诱导公式的左边为()的正弦和余弦函数，当为奇数时，右边的函数名称正余互变；当为90kkZkk偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义再把“看做”是锐角，然后再看()是第几象限角，公式左边的这个三角函数在这个象限的符号便90kkZ是公式右边的符号高考数学一轮第十二讲 第 4 页共 14 页 三、三角函数线段表示三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用如图所示的有向线段 MP、OM、AT

7、分别表示角的正弦、余弦、正切即正弦线、余弦线、正切线，要注意的是当在第二、三象限时，角的终边与过 A 的切线不相交，因而正切线中的是其终边的反向延长线与过TA 的切线交点xy-11MPTPA O考点分类精讲考点考点 1 任意角的概念任意角的概念1终边相同的角的应用2判定有关角是第几象限角【例 1】(1)如图，点在半径为 1 且圆心在原点的圆上，且点从点出A45AOxPA发，依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转已知在 l 秒钟内转过的角度为（P） ，经过 2 秒钟到达第三象限，经过 14 秒钟后又回到出发点，求0180AxyPAO(2)已知是第三象限角，则是第 象限2【解析】(1)先把实际语言转化为

8、数学语言，即 14 秒钟后在角的终边上，由此P1445可得到等量关系，再注意到角的范围便可确定的值由题意有=()，144536045kkZ高考数学一轮第十二讲 第 5 页共 14 页 ()180 7k kZ又，即18024527067.5112.5，且，或18067.5112.57k kZ3k 4k 故所求的值为或540 7720 7点拨：解答这类问题，关键在于抓住终边相同的角的一般表示，即与角终边相同的角的一般形式为()另外，对于角的概念，还要注意区分几个易混360kkZ淆的概念：(1)正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转；其顶点都在原点，始边为轴的正半轴，所不

9、同的是终边的旋转方向不同一个角是第几x象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限；(2)“小于的角” “锐角” “第一象限角”90的根本区别在于其范围的不同，它们的范围分别是：“” “” “（） ” 9009036036090kkkZ(2)法一：是第三象限角，（） ，3222kkkZ ()，3 224kkkZ当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，故是第二、k2k2 2四象限角法二：将各象限均分成两等份，再从轴正向的上方起，依次将各区域标上xI、，则标号为的区域即为角所在区域如图，故为第二、四象限角，2 2xyIIO高考数学一轮第十二讲 第 6 页共 14 页 【点拨】当已知角所在的

10、象限，要确定()所在的象限，常用方法有二：一n*nN是分类讨论（如本例解法一） ；二是几何法，即把各象限均分为等份，再从轴的正向的nx上方起，依次将各区域标上 I、，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为()的终边所在的区域n*nN【例 2】已知角的终边上一点()，且，则(3,)Pm0m sin2 4mcostan的值为 【解析】因为由题设知，所以（为原点） ，3x ym2222|(3)rOPm O得23rm从而，所以，于是，2sin42 2mmm r232 2rm238m解得5m 当时，所以，5m 2 2r 3x 36cos42 2 ，所以；15tan3 615costan43 当时，所以，

11、5m 2 2r 3x 36cos42 2 15tan3所以615costan43 考点考点 2 弧度制弧度制1弧度制与角度制的互化2求扇形的弧长或面积【例 3】已知个四分之一圆的扇形的弧长等于 50cm，求这个扇形的内切圆的面积【解析】如图，设扇形半径为，内切圆半径为，C 为与的切点，D 为与Rr1OAAAB1OA高考数学一轮第十二讲 第 7 页共 14 页 的切点，则，所以，OA1O Dr14OOD1122OOO Dr且又，112( 21)OCOOOCrrrR2AOB50 2R所以，即，所以，100R100( 21)r100100( 21) ( 21)r故内切圆的面积2210000(32 2

12、)cmSrO1ODCBA点拨：(1)弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多，因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式(2)用弧度制表示角比用角度制表示角具有更大的优越性，那么如何将角度制表示的角化为弧度制呢？其关键在于抓住两种表示下的周角相等，即，进而可得2360，1801rad = 1180考点考点 3 任意角的三角函数任意角的三角函数1任意角三角函数的定义2求终边给定的角的某些三角函数值3三角函数符号的判断4三角函数线的应用【例 4】(1)已知，那么角是costan0A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第三或第四象限角 D

13、第一或第四象限角(2) 已知是第四象限角，且，则= .3sin()45tan()4【解析】(1)，即，得，所以为第三或第costan0sincos0cossin02k 四象限角故选 C高考数学一轮第十二讲 第 8 页共 14 页 (2)通法 因为，所以，3sin()453cos()sin()sin()42445因为为第四象限角，所以，222kkkZ所以，322444kkkZ所以，所以=234sin()1 ( )455 tan()4sin()44 3cos()4 光速解法 因为是第四象限角，且，所以为第一象限角，3sin()454所以，所以=4cos()45tan()4sin()cos()424

14、cos()sin()424 cos()44 3sin()4 【点拨】本题易错点是利用同角三角函数的基本关系式求余弦值时，未注意到角的取值范围，或注意到角的取值范围，但因为角在某象限的三角函数值的符号判断出错，导致求解的结果出错【例 5】已知角终边经过点，且，求,的( ,2)P x (0)x 3cos6xsintan值【解析】点，点到原点距离，( ,2)P x (0)x P22rx又，3cos6x 23cos=6+2xx x，0x 10x 2 3r 当时，点坐标为，10x P( 10,2)由三角函数定义，有，；6sin6 5tan5 当时，点坐标为，10x P(10,2)高考数学一轮第十二讲 第

15、 9 页共 14 页 由三角函数定义，有，；6sin6 5tan5点拨：已知角终边上一点，应用定义求三角函数值时，需先求出点到原点的距离P|rOP【例 6】(1)若，试比较、的大小；02sintan(2)若，试比较与的大小02sinsin【解析】(1)如图，连接，则有，APOAPOATQAPSSS扇即，所以2111111222MPAT sintanxy1PMTAOxyNROAQMP1(2)如图，则，sinMPsinNQAAPAAQ过作于，则，APQPPRQNRMPNR，sinsinRQPQsinsin点拨：三角函数线的显著特征是具有几何直观性，利用这种几何直观性，可以使有些问题（特别是三角函数

16、值的大小比较）得到简捷的解决考点考点 4 同角三角函数关系同角三角函数关系1.利用同角三角函数关系式对三角函数式进行化简、求值2利用同角三角函数关系式证明要角恒等式3利用同角三角函数关系式进行三角恒等变换【例 7】(1)已知，则角所在象限为 3sin254cos25 (2)若，则的位置是_sin(cos ) cos(sin )0【解析】法一：由于，24sin2sincos02225 高考数学一轮第十二讲 第 10 页共 14 页 ，所以角在第四象限227coscossin02225法二：由条件知是第二象限角，又由知2323sinsin2524，所以，32242kkkZ34422kkkZ故角在第

17、四象限(2)因为，1cos122 1sin122 所以，要使，应使cos(sin )0sin(cos ) cos(sin )0sin(cos )0所以，则为第二、三象限角或终边在轴的负半轴cos0x点拨：在判断形如“，”等的三角函数问题时，首先应将函数值sin(cos )cos(sin )，看成一个整体，即一个用弧度制的形式表示的角，再设法弄清表示角的函数sincos值，的取值范围，从而进行相关的判断sincos在问题(1)的解法二中，要注意防止出现如下错误：因为，所3sin254cos25 以是第二象限角，因此，22222kkkZ从而，故是第三或第四象限角错误的原因在于442kkkZ题目不仅

18、给出了角的函数值的符号，而且给出了具体的函数值，应结合其具体的函数值2进一步缩小的取值区间，从而确定的范围2【例 8】已知，则tan2(1)= 2sin3cos 4sin9cos (2)=_224sin3sincos5cos【解析】(1)注意到分式的分子与分母均是关于、的一次齐次式，将分子、分sincos母同除以()，然后整体代入的值coscos0tan2=所以应填2sin3cos 4sin9cos 2tan32 2314tan94 29 1(2)要注意到，22sincos1=224sin3sincos5cos22224sin3sincos5cos sincos 高考数学一轮第十二讲 第 11

19、 页共 14 页 =所以应填 1324tan3tan5 tan1 4 43 2514 1 点拨：这是一组在已知的条件下，求关于、的齐次式（即次数tanmsincos相同）的问题，解答这类已知某个三角函数，求其余三角函数值的问题的常规思路是：利用同角间的三角函数关系，求出其余三角函数值，这就需要根据的取值符号，确定角m所在的象限，再对它进行讨论这样计算相当繁琐，而在这里灵活地运用“1”的代换，将所求值的式子的分子、分母同除以，用表示出来，从而简化了解题过程，我cosntann们应熟练掌握这种解法更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证思想方法【例 9】是否存在一个实数，使方程的两实根是一个

20、直角三角形k286210xkxk 的两个锐角的正弦值【解析】假设存在一个实数满足题意，不妨设、是 RtABC 的两锐角，则kAB，于是，所以与是方程 90ABsincosBAsin Acos A286210xkxk 的两实根，则3sincos4 21sincos8kAAkAA 由于，所以，22sincos1AA29211164kk 整理得，解得，298200kk12k 210 9k 当时，原方程变为，此时，方程无解，不合题意，舍去；2k 281250xx0 而时，虽有，但代入得，这与、均为锐角10 9k 0 11sinsin072AB AB即0 相矛盾，故不合题意，舍去sinsin0AB10

21、9k 因此，不存在实数，使方程的两实根是一个直角三角形的两k286210xkxk 锐角的正弦值，点拨：对于、这三个式子，若已知其中某sincossincossincos高考数学一轮第十二讲 第 12 页共 14 页 一个式子的值，可利用平方关系“” ，灵活地运用方程思想，求出另两22sincos1个式子的值，即；2(sincos)12sincos ；+=2因此，我们2(sincos)1 2sincos 2(sincos)2(sincos)把、称为三角函数中的“三剑客” ，若出现某一sincossincossincos个，则可挖掘出另两个，以便顺利地解题本题容易陷入两个误区：一是利用根与系数的关

22、系建立起关于实数的方程，求得k的值后，不对方程是否有实数根进行检验，误认为所得两个值均是符合要求的；二是只k对方程是否有实根进行检验而忽视方程有解时根的符号问题以及根是否在内(0,1)考点考点 5 诱导公式诱导公式1利用诱导公式求特殊角的三角函数值2利用诱导公式化简三角函数式【例 10】已知，则的值为_. 3cos()6325cos()sin ()66【解析】，5cos()63cos()cos()663 =，2sin ()62sin ()62sin ()621 cos ()62321 ()33=25cos()sin ()663223 333 【例 11】(1)已知 是第四象限角，且，则_.3s

23、in()45tan()4(2)已知，则的值为_cos()2sin()223sin ()cos() 575cos()3sin()22 【解析】(1)由题意知，是第四象限角，所以，3sin()45cos()04所以24cos()1 sin ()445tan()41tan()42tan()4 cos()44 3sin()4 高考数学一轮第十二讲 第 13 页共 14 页 (2)，cos()2sin()22，则，sin2cos sin2cos代入，得.22sincos121cos53sin ()cos() 575cos()3sin()22 3sincos 5sin3cos 3 28coscos813c

24、os7cos7735【例 12】已知函数求值：( )sin6nf n()nZ(1)；(1)(2)(3)(102)ffff(2)(1)(3)(101)fffAA A【解析】(1)由诱导公式可知：，(12)sinsin(2 )66nn，且=0，(12)( )f nf n(1)(2)(3)(12)ffff1028 126 =(1)(2)(3)(102)ffff(1)(2)(3)(4)(5)(6)ffffff=23456sin+sin+sin+sin+sin+sin666666=133110232222 (2)，其周期为 6，(21)(21)sin6nfn411111(1)(3)(11)1() ( 1

25、) ()( )22222fff AA A从 1 到 101 有 51 个奇数，而 51=68+3原式=4 8341 ( ) (1)(3)(5)22fffA【点拨】(l)在使用诱导公式时，可为任意角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它看做是锐角而已(2)“奇变偶不变，符号看象限”同样适用于正切和余切(3)利用诱导公式化简三角函数的程序是：“负化正，大化小，化到锐角就行了” 但这样做需要多次运用诱导公式，思维链过长，计算繁琐，也就容易出错，而活用“奇变偶高考数学一轮第十二讲 第 14 页共 14 页 不变，符号看象限” ，即“一步到位”法来化简，就能快而准地直达目的地本专题试题训练详见试题精练