AT第十九讲 等差数列及其前n项和.doc

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1、 高考数学一轮第十九讲 第 1 页共 8 页 第十九讲 等差数列及其前 项和n考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、等差数列的相关概念1一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义的d表达式为(，2)或()1nnaadn*Nn1nnaadn*N2等差中项任意两个数有且只有一个等差中项，即，是、成等, a b2abA2abAaAb差数列的充要条件，因此，两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的

2、等差中项3等差数列的通项公式若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，na1ad1(1)naandn*N【提示】从函数的观点来看，当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，0d n其图象是直线上均匀排开的一列孤立点，因此，给出一个等差数列的任1()nadnad意两项，等差数列就被唯一确定了二、等差数列的前项和公式n等差数列的前项和公式：，n1() 2n nn aaS1(1) 2nn nSnad由于，可整理得设，1(1) 2nn nSnad2 1()22nddSnan2dA ，上式可写成，当(即)时，是关于的二次函数12dBa2 nSAnBn0A 0d nSn式(其中常数为 0)，那么在二次函

3、数的图象上，因此，当时，( ,)nn S2yAxBx0d 数列，的图象为抛物线上的一群孤立的点1S2SnS2yAxBx【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、等差数列相关概念的理解高考数学一轮第十九讲 第 2 页共 8 页 1等差数列的定义，强调“从第 2 项起”和“同一个常数”这两个条件，即d(是与值无关的常数)1nnaaddn2等差数列的通项公式1(1)naand此公式反映了通项、首项、公差三者之间的关系其中注意na1ad这一变形形式，它表明等差数列的通项是关于的一个一次函1()nadnadnanan数（或常数函数） 3三数成等差数列时，一般设为，；四数成等差数列时，一般设为addad

4、，3adadad3ad二、等差数列的判定方法1定义法：即证明(是与值无关的一个常数，)1nnaaddn*nN2中项法：即证明（） 122nnnaaa*nN三、等差数列的前项和公式n1等差数列的前项和，该公式的推导过程是倒序相加，应注意这n1() 2n nn aaS种思想方法在数列求和中的应用2等差数列的通项公式，前项和公式1(1)naandn1() 2n nn aaS=，两个公式给出了，五个量，知三求二，用方程的1(1) 2n nnad1anadnnS思想即可解决问题3是关于的二次函数，由此我们可用函数2 11(1)()222nn nddSnadnann的知识求的最大值或最小值nS【提示】若为

5、数列的前项和，则,是数列成等差数列的充要条nSnan2 nSAnBnna件四、等差数列的性质等差数列的常用性质有：1若公差，则此数列为递增数列；若，则此数列为递减数列；若，0d 0d 0d 则此数列为常数列高考数学一轮第十九讲 第 3 页共 8 页 2若，且，则，其中，mnpk*Nmnpkmnpkaaaama，是数列中的项，特别地，当时，有napaka2mnp2mnpaaa这条性质，还可以推广到有三项、四项等情形使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多3在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列4等差数列的连续项的和，仍

6、组成等差数列nammS2mmSS32mmSS【提示】(1)等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广n与变形，熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题(2)要注意不同性质适用的条件和注意事项等差数列的性质适用于不同的数列结构，总结起来就是项数关系和数列的项之间的关系特征考点分类精讲考点考点 1 等差数列及通项公式等差数列及通项公式1考查对等差数列的概念的理解2等差数列的判定3求等差数列的通项公式4利用等差数列的通项公式解决问题【例 1】已知，成等差数列，求证：，也成等差数列2a2b2c1 bc1 ca1 ab【解析】，成等差数列，2a2b

7、2c2222bab=1 bc1 ab2222 1()()()2acbacb ab bcabbcacac =，成等差数列2(2 )2 ()(2)acb acbacac 1 bc1 ca1 ab点拨：要判断三个数、成等差数列的常用途径有：一是定义法，即验证abc是否成立；二是中项法，即验证是否成立bacb2acb【例 2】已知数列中，且，数列满足na13 5a 112n naa*(2,)nnN nb高考数学一轮第十九讲 第 4 页共 8 页 1 1n nba*()nN(1)求证：数列是等差数列； nb(2)求数列中最大项和最小项，并说明理由na【解析】(1)证明：，112n naa*(2,)nnN

8、1 1n nba当时，2n1 1111111 1111(2) 1nn nnnnbbaaa a 又1111111nnna aa1 115 12ba 数列是以为首项，1 为公差的等差数列 nb5 2(2)由(1)知，则=由函数，7 2nbn11n nab 2127n2( )127f xx 易知在区间和内为减函数( )f x7(, )27( ,)2所以当时，取得最小值；当时，取得最大值 33n 14n na考点考点 2 等差数列的前等差数列的前项和项和n1求等差数列的前项和n2给出等差数列的前项和，求其通项公式n3等差数列的前项和公式推导的思想方法的应用n4等差数列的前项和的最值问题n【例 3】已知

9、等差数列中，求前项和.na, 0,166473aaaanannS【解析】设的公差为，则，nad11112616350adadadad 即，解得22 111812164adadad 118,82,2aadd 或因此819819nnSnn nn nSnn nn n ，或高考数学一轮第十九讲 第 5 页共 8 页 【例 4】设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足1ad1adnannS56150S S (1)若，求及；55S 6S1a(2)求的取值范围d【解析】(1)由题意知，6 5153SS 6658aSS 所以解得，所以，115105,58.adad 17a 63S 17a (2)因

10、为，所以，56150S S 11(510 )(615 ) 150adad即故所以22 11291010adad 22 1(49 )8add28d 故的取值范围为或dd2 2d2 2【例 5】设等差数列满足， na35a 109a (1)求的通项公式； na(2)求的前项和及使得最大的序号的值 nannSnSn【解析】(1)由及，得，解得1(1)naand35a 109a 112599adad 19 2a d 数列的通项公式为 na11 2nan(2)由(1)知=nS1(1) 2n nnad210nn因为2(5)25nSn 所以时，取得最大值5n nS【例 6】一个首项为正数的等差数列，前 3

11、项和与前 11 项和相等，此数列前几项和最大？A前 6 项 B前 7 项 C前 8 项 D前 9 项【解析】解法一：设数列为等差数列，且，由题可知此数列为递减数列，na10a 且，即12312311aaaaaaa， 45110aaa高考数学一轮第十九讲 第 6 页共 8 页 由于，所以可得，由于数列4115106978aaaaaaaa784()0aa为递减的等差数列，且与为相邻两项，所以与必不全为 0，故0，na7a8a7a8a7a0 时，的取值范围为等d10(1)na(10,)点拨：解决这类研究性学习问题，要善于充分利用特例，我们不仅要利用特例归纳猜想一般的结论，更要善于把解决特例的思想方法类比迁移到解决一般问题之中本专题试题训练详见试题精练