AB第二讲 简易逻辑.doc

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1、 高考数学一轮第二讲 第 1 页共 14 页 第二讲 简易逻辑考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、命题的定义及四种命题1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系二、充分条件与必要条件1充分条件与必要条件(1)如果，则是的充分条件，是的必要条件pqpqqp(2)如果，那么与互为充要条件pqpq(3)如果，且，则是的既不充分也不必要条件pqqpp

2、q2集合与充要条件设集合|满足条件，|满足条件，则有：Ax xpBx xq(1)若，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件ABpqA Bpq(2)若，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件BApqB Apq(3)若，则是的充要条件ABpq三、逻辑联结词1不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或” “且” “非”构高考数学一轮第二讲 第 2 页共 14 页 成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：或()；且()；非(pqpqpqpqp)p2逻辑联结词“或” “且” “非”的含义的理解在集合中学习的“并集” “交集” “补集”与逻辑联结词中的“或” “且” “非”关系十分密切

3、，对于理解逻辑联结词“或” “且” “非”很有用处，命题，的真假判断pqpqppqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真四、全称量词与存在量词1全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“对中任意一个，有成立”简记为，Mx( )p xxM( )p x(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在中的一个元素M，使成立”，简记为，0x0()p x0xM0()p x2含有一

4、个量词的命题的否定命题命题的否定，xM( )p x，0xM0()p x，0xM0()p x，xM( )p x【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、命题高考数学一轮第二讲 第 3 页共 14 页 判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有这两个条件都具备的语句才是命题【提示】一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假陈述句、反问句都是命题，而祈使句、疑问句、感叹句都不是命题二、四种命题判断命题的真假要以真值表为依据，原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，一真俱真，一假俱假当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假【提

5、示】(1)注意四种命题的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有它的“逆命题”“否命题” “逆否命题” (2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是说大前提不动三、充分条件、必要条件、充要条件判定充要条件的常用方法有：1定义法：即(1)定条件：用缩写方法确定命题中哪是条件，哪是结论；(2)找推式：是，还是；(3)下结论：根据定义下结论ABBA2等价法：即利用与非非；与非非；与非ABB ABAABAB非的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价B A法3利用集合间的包含关系判断，若，则是的充分条件或是的必要条ABABBA件；若，则是的充要条件

6、ABAB【提示】(1)注意与之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆pq(2)依据多个命题间的关系，判断其中两个命题之间的关系时，需要注意明确两者之间的关系，可先用推出符号“”作运载工具，将各命题之间的联系找出来，最后找到所求命题之间的关系四、逻辑联结词“或” “且” “非”高考数学一轮第二讲 第 4 页共 14 页 1命题且一般地，用联结词“且”把命题和联结起来，就得到一个新命pqpq题，记作注意“且”与自然语言中的“并且” “及” “和”相当 “”的真pqpq假判定，只有当、都为真时，才为真，其他三种情况都为假pqpq2命题或一般地，用联结词“或”把命题和联结起来，就得到

7、一个新命pqpq题，记作注意数学中的“或”与生活中的“或”不同，数学中仅研究可兼“或” ，pq命题“”的真假判定，只有当、都为假时，才为假，其他三种情况都为pqpqpq真3 “非” （否定） 逻辑联结词“非”是由日常用语中的“不是” “全盘否定” “问题的反面”抽象而来的，正确了解其意义有利于解决数学问题一般地，对命题加以否定，p就得到一个新的命题，记作，与的真假不同，一个为真，另一个必定为假，可ppp类比集合中的补集加以理解【提示】(1)逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或” “或者”相近，但二者有区别生活用语中，许多场合用“或者”是指从联结的几部分中选一，如“我去打乒乓球或去踢足球”（两

8、者不兼有） (2)在数学中“” “”就是表述“或”形式的命题，防止出错(3)一个命题的否定与否命题的区别，否命题与命题的否定不是同一概念，否命题是对原命题“若则”既否定其条件，pq又否定其结论；而命题的否定即非，只是否定命题的结论命题的否定与原命题的真pp假总是相对立的，即一真一假；而否命题与原命题的真假无必然联系五、全称量词与存在量词1要判定全称命题是真命题，需对集合中每个元素，证明成立；如果在集Mx( )p x合中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题M0x0()p x2要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个，M0xx使成立即可；否则，这一特称命题就是假

9、命题0()p x3全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题【提示】高考数学一轮第二讲 第 5 页共 14 页 (1)常见的全称量词有：“所有的” “任意一个”“一切”“每一个” “任给” ；常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个” “有些” “有一个” “某个” “有的”等(2)同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择命题全称命题“”, ( )xA p x 特称命题“”00, ()xA p x表述方法对所有的，成xA( )p x立对一切，成立xA( )p x对每一个，成xA( )

10、p x立任选一个，成xA( )p x立凡，成立xA( )p x存在，使成立0xA0()p x至少有一个，使成立0xA0()p x对有些，使成立0xA0()p x对某个，使成立0xA0()p x有一个，使成立0xA0()p x(3)一些常用的正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：+等于(=)大于()小于()是都是否定词语不等于()不大于()不小于()不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定另外：或的否定为：非且非；且的否定为：非或非pqpqpqpq考点分类精讲考点考点 1 命题与四种命题命题与四种命题1判定一个语句是否为命题2确定命题的条件

11、和结论3由一个命题写出它的逆命题、否命题、逆否命题4判定命题的真假【例 1】命题“若函数在其定义域内是减函数，则”( )logaf xx(0,1)aalog 20a的逆否命题是( )高考数学一轮第二讲 第 6 页共 14 页 A若，则函数在其定义域内不是减函数log 20a( )logaf xx(0,1)aaB若，则函数在其定义域内不是减函数log 20a( )logaf xx(0,1)aaC若，则函数在其定义域内是减函数log 20a( )logaf xx(0,1)aaD若，则函数在其定义域内是减函数log 20a( )logaf xx(0,1)aa【解析】若函数在其定义域内是减函数，则的逆

12、否( )logaf xx(0,1)aalog 20a命题是：若，则函数在其定义域内不是减函log 20a( )logaf xx(0,1)aa数故选 B点拨：写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论【例 2】有下列四个命题：“若，则，互为相反数”的逆命题；“若，则”的逆0xyxyab22ab否命题；“若，则”的否命题；“若是无理数，则、3x260xxbaa是无理数”的逆命题，b其中真命题的个数是( )A0 B1 C2 D3【解析】逆命题为“若，互为相反数，则”是真命题，xy0xy原命题为假，其逆否命题为假否命题为“若，则” ，假如，3x 260xx 43x 但，故

13、为假，26140xx逆命题“若、是无理数，则也是无理数” ，假如，abba2( 2)a 2b 则 是有理数，故为假故选 B2ba 点拨：给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定例如：原命题与其逆否命题是等价的，否命题和逆命题也是等价的，在直接判断一个命题不易入手时，可通过这种关系得到相应的结论高考数学一轮第二讲 第 7 页共 14 页 考点考点 2 充要条件充要条件1判定充分条件、必要条件、充要条件2给出若干条件与结论之间的关系，判定充要条件3给出命题之间的充要性、求有关参数的取值范围【例 3】设，则“”

14、是“”的（ ）, a bRaba ab bA充要不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充要也不必要条件【解析】法一 （分类讨论法）当，时，由可得，0a0bab22ab即，反之由也可得，进而22|aa abb ba ab b22abab当，时，由可得，0a 0b ab22ab即，22|aa abb b 于是，反之由也可得，a ab ba ab b22ab 即，进而得()()0ab abab当，时，显然且有0a0b aba ab b所以“”是“”的充要条件aba ab b法二 设，则在定义域上为奇函数因为，( )f xx x=( )f xR220(0),xxxf xx=-a ab b【例

15、4】如图，已知，是三个相互平行的平面，平面，之间的距离12312为平面，之间的距离为直线 与，分别相交于，1d232dl1231P2P那么“”是“”的( )3P1223PPP P12dd高考数学一轮第二讲 第 8 页共 14 页 321BAP3P2P1lA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不允许也不必要条件【解析】(1)当直线 与三个平行平面，垂直时，显然l1231223PPP P12dd(2)当直线 与，斜交时，过点作直线分别交，于点，l1231P12PA23A，则，故，显然，相交直线 与直线确定一个平B13PA11PAd2ABdl1PA面，故综上知，12323P APB1

16、21232PPd P Pd1223PPP P12dd选 C点拨：掌握充要条件的判断，必须正确理解“推出”的含义， “”是指由经pqp过推理可以得出也就是说“若成立，则一定成立” ，即命题“若则”为真qpqpq充要条件的判断，重在“从定义出发” ，利用命题“若则”的真假进行区分，在pq具体解题中，要注意分清“谁是条件” “谁是结论” ，防止南辕北辙，如“是的什么条AB件”中，是条件，是结论，而“的什么条件是”中，是结论，是条件有ABABAB时还可以通过其逆否命题的真假加以区分，若，则是的必要条件，是pqpqq的充分条件p【例 5】已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，prq

17、rsr是的必要条件，现有下列命题：qs是的充要条件；sq是的充分条件而不是必要条件；pq高考数学一轮第二讲 第 9 页共 14 页 是的必要条件而不是充分条件；rq是的必要条件而不是充分条件；ps是的充分条件而不是必要条件rs则正确命题的序号是（ ）ABCD【解析】由已知得srqp，可知正确，不正确故选 B点拨：解决这类有多个条件的充要条件的判定问题，应先根据题意写出相应的推式，再将推式链接，从而找出目标推式，得出相应的结论有时当推式较复杂时，不妨通过画图来分析【例 6】已知：“” ，：“()，若是p1|1|23xq22210xxm 0m p的必要而不充分条件，求实数的取值范围qm【解析】由可

18、得的范围：，令集合px210x | 210Axx ：，q22(1)xm11mxm令集合=B |11xmxm因为是的必要而不充分条件，所以，且pqqppq由于原命题与逆否命题真假性相同，即是的充分而不必要条件，即集合pqqppqA B且，又，12m110m0m 9m点拨：本题中，由是的必要不充分条件，推出与的关系，从而找到关于pqAB的不等式组，使问题得到解决m考点考点 3 充要条件的证明与探求充要条件的证明与探求1证明某条件是某结论的充要条件2探求某结论的充要条件3利用充要条件进行等价转化4利用结论的必要性寻求解决问题的切入点高考数学一轮第二讲 第 10 页共 14 页 【例 7】已知，非空集

19、合，若2 |8200Px xx |11Sxmxm是的必要条件，则的取值范围为 xPxSm【解析】由，得，28200xx210x 所以， | 210Pxx 由是的必要条件，知，xPxSSP则，所以11 12 110mm m m 03m所以当时，是的必要条件，即所求的取值范围是03mxPxSm0,3【例 8】求证：关于的方程至少有一个负根的充要条件是x2210axx 1a【解析】充分性：当时，方程为，0a 210x 其根为，方程有一个负根，符合题意1 2x 当时，=，方程有两个不相等的实根，且，0a 440a2210axx 10a方程有一正一负两根，符合题意当时，=，01a440a方程有实根，22

20、10axx 且，故方程有两个负根，符合题意2010aa 综上知：当时，方程至少有一个负根1a2210axx 必要性：若方程至少有一个负根，2210axx 当时，方程为，0a 210x 当时，方程应有一正一负两根或两个负根0a 2210axx 高考数学一轮第二讲 第 11 页共 14 页 则或，解得或10a440 2010aaa 0a 01a综上知：若方程至少有一负根则2210axx 1a故关于的方程至少有一个负根的充要条件是x2210axx 1a点拨：(1)思路探究：需证明充分性和必要性，证充分性时，可分，和0a 0a 三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和有两个负根的条件01a(2

21、)误区分析：在证必要性时，易忽视的情况而导致得不到结果，出现这种现象0a 的原因是忽视了一元二次方程对二次项系数的要求(3)规律方法：证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论在这里要注意两种说法：“是的充要条件”与“的充要条件是” ；前者是条件，后者是条件pqpqpq证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写” ，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明考点考点 4 逻辑联接词逻辑联接词1判断含有逻辑联接词的命题的真假2利用含有逻辑联接词命题的真假求某参数的取值范围【例 9】已知命题：，使 tan=1，命题：的解集是px

22、R xq2320xx，下列结论：命题“”是真命题；命题“”是假命题； |12xxpqpq命题“”是真命题；命题“”是假命题其中正确的是 pqpq（填所有正确命题的序号）【解析】命题：，使 tan=1 正确，命题：的解集是pxR xq2320xx，也正确，命题“”是真命题；命题“”是假命题； |12xxpqpq命题“”是真命题；命题“”是假命题pqpq点拨：正确理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义是解题的关键，应根据组成各个高考数学一轮第二讲 第 12 页共 14 页 复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中简单命题的

23、真假；(3)根据其真值表判断复合命题的真假【例 10】已知：函数在内单单调递增，：函数p21yxmx( 1,) q24yx大于零恒成立，若或为真，且为假，求的取值范围4(2)1mxpqpqm【解析】设，都为真则由：函数在内单调递增pqp21yxmx( 1,) ，解得12m2m由：函数大于零恒成立q244(2)1yxmx，解得24(2)4 4 10m 13m“或”为真；“且”为假，pqpq，中只有一个为假，另一个为真pq(1)当真，假时，根据命题与集合之间的对应关系，pq得真时，假时，或.p2mq1m3m真假时，,所以，pq2 13m mm或 3m(2)当假，真时，根据命题与集合之间的对应关系，

24、pq得假时，真时，p2m q13m假真时，所以pq2 13m m12m综合(1)(2)可得，的取值范围为m(1,2)3,)点拨：由“或”为真， “且”为假判断出和一真一假后，再根据命题与pqpqpq集合之间的对应关系求的范围，逻辑联结词与集合的运算具有一致性，命题的“且”m“或” “非”恰好分别对应集合运算的“交” “并” “补” 考点考点 5 全称命题与特称命题全称命题与特称命题1判断一个命题是否含有全称量词与存在量词2判定一个命题是否为全称命题、特称命题3写出一个全称命题（或特称命题）的否命题高考数学一轮第二讲 第 13 页共 14 页 4利用全称命题和特称命题来叙述有关命题5命题的否定与

25、否命题的区分【例 11】判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假(1)有一个实数，；22sincos1(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数，方程恰有唯一解；ab0axb(4)存在实数，使得x2121xx【解析】(1)是一个特称命题，用符号表示为：，是一个假命R22sincos1题(2)是一个全称命题，用符号表示为：直线 ， 存在斜率，是一个假命题ll(3)是一个全称命题，用符号表示为：，方程恰有唯一解，是abR0axb一个假命题(4)是一个特称命题，用符号表示为：，是一个假命题xR 2121xx点拨：短语“所有” “任意” “凡是” “每一个”等在陈述句中

26、都表示事物的全体，这些词语都可以理解为全称量词，相应的命题是全称命题短语“有一个” “有些” “至少有一个”在陈述句中都表示事物的个体或部分，可以理解为存在量词，相应的命题是特称命题【例 12】已知当时，不等式恒成立，求实数的xRcos254sin54axxaa取值范围【分析】在不等式中含有两个变量及，其中的范围已知()，另一个变量的范axxxRa围即为所求，故可考虑将与分离ax【解析】原不等式可变形为：，4sincos2545xxaa要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转545aa4sincos2xx化成求的最值问题( )4sincos2f xxx=( )4sincos2f xxx2

27、2sin4sin1xx，22(sin1)33x 高考数学一轮第二讲 第 14 页共 14 页 ，即，5453aa542aa上式等价于，或，解得22054054(2)aaaa 20 540a a 485a 点拨：在数学中，经常利用全称命题和特称命题来叙述有关条件和结论，我们必须准确把握它们需要注意的是，对于有些全称命题或特称命题，表面上不含全称量词和存在量词，我们必须认真审题，领悟命题的本质，从而确定它是否为全称命题或特称命题解决与全称命题或特称命题有关的参数取值范围问题，分离参数法是其有效方法，如本例中将与分离，从而转化为求的最大值及解不等式xa( )4sincos2f xxx的问题，简化了解题的过程5453aa本专题试题训练详见试题精练