专题12 空间的平行与垂直（教学案）-2018年高考理数二轮复习精品资料（解析版）.doc

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1、1以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现1点、线、面的位置关系(1)平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线在此平 面内Error!l公理 2过不在一条直线上的三点有且 只有一个平面若 A、B、C 三点不共 线，则 A、B、C 在同 一平面 内且 是唯 一的公理 3如果两个不重合的平面有一个 公共点，

2、那么它们有且只有一 条过该点的公共直线.平面 与 不重合， 若 P，且 P，则a，且 Pa(2)平行公理、等角定理公理 4：若 ac，bc，则 ab.等角定理：若 OAO1A1，OBO1B1，则AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180.2直线、平面的平行与垂直定理名称文字语言图形语言符号语言线面平行 的判定定 理平面外一条直线与平面内的 一条直线平行，则这条直线 与此平面平行Error!a线面平行 的性质定 理一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任何一个平 面与此平面的交线与该直线 平行a，a， b，ab面面平行 的判定定 理如果一个平面内有两条相交 的直线都平行于另一个平面， 那么这

3、两个平面平行a，b，ab P，a，b面面平行 的性质定 理如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的 交线平行 且 a 且 bab线面垂直 的判定定 理一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，则该直 线与此平面垂直a，b，ab A，la，lbl线面垂直 的性质定 理垂直于同一平面的两条直线 平行a，bab面面垂直 的判定定 理一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直a，a， 面面垂直 的性质定 理两个平面垂直，则一个平面 内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直，b， a，bab3.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的

4、计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础. 学科.网【误区警示】1应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件2作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化3若 a、b、c 代表直线或平面，代表平行或垂直，在形如Error!bc 的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的例如 a、b、c 中有两个为平面，一条为直线，命题Error! 是成立的.Er

5、ror! 是不成立的考点一考点一 空间中点、线、面的位置空间中点、线、面的位置例 1已知 m，n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面答案 D【变式探究】已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面下列说法正确的是( )A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 n答案 B考点二考点二 空间中平行的判定与垂直空间中平行的判定与垂直例 2 【20

6、17 江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD， BCBD， 平面ABD平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD. 求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC.(第 15 题)ADBCEF【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面内，因为ABAD， ，所以.ABDEFADEFABA又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF平面ABC.EF AB （2）因为平面ABD平面BCD，平面平面BCD=BD， ABD平面BCD， ，BC BCBD所以平面.BC ABD因为平面，所以 .AD ABDBC AD又ABAD， ， 平面ABC， 平面A

7、BC，BCABBAB BC 所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC.【变式探究】 【2016 高考江苏卷】(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且11B DAF ，1111ACAB.求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F. 【答案】 （1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱111ABCABC中，1111AA 平面ABC因为11AC 平面111ABC，所以111AA AC又因为111111111111111,ACABAAABB A ABABB A

8、ABAAA，平面平面所以11AC 平面11ABB A因为1B D 平面11ABB A，所以111ACB D又因为1111111111111C F,C F,B DAACAAFAACAFAF，平面平面所以111C FB DA平面因为直线11B DB DE 平面，所以1B DE平面11.AC F平面【变式探究】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1. 学科

9、.网【举一反三】 【2016 高考新课标 2 理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，5 4AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD （）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值【答案】 （）详见解析；（）2 95 25.【变式探究】如图，已知ABC，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将ACD 翻折成ACD，所成二面角ACDB 的平面角为 ，则( )AADB BADB CACB DACB解析 极限思想：若 ，则ACB，排除 D；若 0，如图，则ADB，ACB 都可以大于0，排除 A，C.故选

10、 B.答案 B考点三考点三 平面图形的折叠问题平面图形的折叠问题例 3、(2016全国甲卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE ，OD2，求五棱锥 DABCFE 的体积542由(1)知，ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD.又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由得 EF .EFACDHDO92五边形 ABCFE 的面积 S 68 3.121292694所

11、以五棱锥 DABCFE 的体积 V 2.13694223 22【方法技巧】平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形【变式探究】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点 H，点G，R 分别在线段 DH，HB 上，且.将AED，CFD，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点DGGHBRRHA，B，C 重合于点 P，如

12、图 2 所示(1)求证：GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径(2)正方形 ABCD 边长为 4.由题意知，PEPF2，PD4，EF2，DF2.25SPEF2，SDPFSDPE4.SDEF 26.1222 52 22设三棱锥 PDEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 VPDEF 224 (SPEF2SDPFSDEF)r，解得 r .13121312三棱锥 PDEF 的内切球的半径为 .学科.网121(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面

13、MNQ 不平行的是( )A B C D答案：A2(2017山东卷)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD.(1)证明：A1O平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.证明：(1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1，由于 ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以 A1O1OC，A1O1OC，因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1OO1C.又 O1C平面 B1CD1，A1O平面 B1CD

14、1，所以 A1O平面 B1CD1.3.【2017 江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD， BCBD， 平面ABD平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD. 求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC.(第 15 题)ADBCEF【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面内，因为ABAD， ，所以.ABDEFADEFABA又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF平面ABC.EF AB 1.【2016 高考浙江理数】已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足,mn， 则（ ）Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C【解析】由题

15、意知, ll ，,nnl故选 C2.【2016 高考新课标 2 理数】 , 是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,/ /mn mn，那么.（2）如果,/ /mn，那么mn.（3）如果/ / ,m，那么/ /m.（4）如果/ / ,/ /mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】【解析】对于，, /mn mn，则, 的位置关系无法确定，故错误；对于,因为/n，所以过直线n作平面与平面相交于直线c，则/nc，因为,mmcmn，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有

16、.3.【2016 高考浙江理数】如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】1 2在PBD中，PDADx，2PBBA.由余弦定理可得2222222(2 34)3cos2222PDPBBDxxxBPDPD PBx ，所以30BPD.由此可得，将ABD 沿 BD 翻折后可与PBD 重合，无论点 D 在任何位置，只要点 D 的位置确定，当平面 PBD平面 BDC 时，四面体 PBCD 的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.EDCBAP过P作直线BD的垂线，垂足为O.设POd，

17、则11sin22PBDSBDdPD PBBPD，即2112 342sin3022xxdx，解得 22 34xd xx .而BCD的面积111sin(2 3) 2sin30(2 3)222SCD BCBCDxx.当平面 PBD平面 BDC 时：四面体PBCD的体积 2111(2 3)3322 34BCDxVSdx xx 21(2 3) 62 34xxxx .观察上式，易得2 3(2 3)2xxxx，当且仅当=2 3xx，即= 3x时取等号，同时我们可以发现当= 3x时，22 34xx取得最小值，故当= 3x时，四面体PBCD的体积最大，为1.24.【2016 高考新课标 1 卷】平面过正方体AB

18、CD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,I平面ABCD=m,I平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)3 2(B B)2 2(C)3 3(D)1 3【答案】A5.【2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB ，8BC ，13AA ，则V的最大值是（ ）（A）4 （B）9 2（C）6 （D）32 3【答案】B6.【2016 高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m） ，则该四棱锥的体积为_m3.【答案】2【解析】由三视图知四棱锥高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，

19、其对应的高为 1，因此所求四棱锥的体积1(2 1) 323V 故答案为 2学科.网1.【2015 高考浙江，理 8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，ABCDABCDACDA CD所成二面角的平面角为，则（ ）ACDBA. B. C. D. A DBA DBA CBA CB【答案】B.在中，Rt A BP2222222(2cos )4cosA PA BBPtt在中，A NP222 coscos2A NNPA PA NPA NNP2222sinsin(4cos) 2sinsint 222222222222cos2cos1coscos2sin2sinsinsinsinttA DB ，210sin

20、 ，22cos0sin ，coscosA DB（当2 时取等号） ，0, A DB，而cosyx在0, 上为递减函数，A DB ，故选 B.【考点定位】立体几何中的动态问题2.【2015 高考湖南，理 10】某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=） （ ）新工件的体积 原工件的体积A. B. C. D.8 916 934( 21) 312( 21) 【答案】A.，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为322162 ()327aaayx 3222aaa，故选 A.98213

21、127162 【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.3.【2015 高考福建，理 7】若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“, l mmlm的 （ ） / /lA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B4.【2015 高考四川，理 14】如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则的最大值为 .cos【答案】2 5【解析】建立坐标系如图所示.设1AB ，则11(1,0),( ,0,0)

22、22AFE.设(0, ,1)(01)Myy，则1(, ,1)2EMy ，由于异面直线所成角的范围为(0,2，所以zyxFMEQPDCBA5.【2015 高考浙江，理 13】如图，三棱锥中，ABCD3,2ABACBDCDADBC点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 ,M N,AD BCANCM【答案】.876.【2015 高考新课标 2，理 19】 （本题满分 12 分）如图，长方体中,，点，分别在，上，1111ABCDABC D=16AB=10BC18AA EF11AB11C D过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形114AED FEFDD1C1A1EFABCB1（）在图

23、中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；（）求直线与平面所成角的正弦值AF【答案】 （）详见解析；（）4 5 157.【2015 江苏高考，16】 （本题满分 14 分）如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，111CBAABC BCAC 1CCBC 1ABD.求证：（1）；EBCCB11CCAADE11/平面（2）.11ABBC ABCDEA1B1C1【答案】 （1）详见解析（2）详见解析【解析】 （1）由三棱锥性质知侧面11BBC C为平行四边形,因此点E为1BC的中点，从而由三角形中位线性质得/ /DEAC，再由线面平行判定定理得CCAADE11/平面（2）因为直三棱柱111CBAABC

24、 中1CCBC ，所以侧面11BBC C为正方形，因此11BCBC，又BCAC ，1ACCC（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得11ACBBC C 平面,从而1ACBC，再由线面垂直判定定理得11BCABC 平面,进而可得11ABBC 试题解析：（1）由题意知，为1C的中点，又D为1A的中点，因此D / C A又因为D 平面11C CAA，CA平面11C CAA，所以D /平面11C CAA又因为平面，所以学科.网1A 1C A11C A8.【2015 高考浙江，理 17】如图，在三棱柱-中，111ABCABC90BAC2ABAC，在底面的射影为的中点，为的中点.14A A 1AAB

25、CBCD11BC（1）证明：D平面；1A1AB C（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.1A1B【答案】 （1）设为的中点，由题意得平面，EBC1AE ABC1AEAEABAC，故平面，由，分别，的中点，得且AEBCAE 1ABCDE11BCBC1/ /DEB B，从而，四边形为平行四边形，故，又1DEB B1/ /DEA A1A AED1/ /ADAEAE 平面，平面；（2）作，且，连结，11ABC1AD 11ABC1AFBD1AFBDF1B F由，得，由，2AEEB1190AEAAEB 114ABA A11ADB D，得，由，得，因此为二面角11ABB B11ADBB DB 1AFBD1

26、B FBD11AFB的平面角，由，得，11ABDB12AD 14AB 190DAB3 2BD ，由余弦定理得，.114 3AFB F111cos8AFB 1. 【2014 高考安徽卷理第 8 题】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有（ ）A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对【答案】C2. 【2014 辽宁高考理第 4 题】已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若/ / ,/ / ,mn则/ /mn B若m，n，则mnC若m，mn，则/ /n D若/ /m，mn，则n【答案】B【解析】若 A若/ / ,/ / ,mn则m

27、与n可能平行、相交、异面，故 A 错误； B若m，n，则mn，显然成立；C若m，mn，则/ /n或n故 C 错误；D若/ /m，mn，则n或/ /n或n与相交.3. 【2014 四川高考理第 8 题】如图，在正方体1111ABCDABC D中，点O为线段BD的中点.设点P在线段1CC上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则sin的取值范围是（ ）A3,13B6,13C6 2 2,33D2 2,13【答案】B4. 【2014 高考湖南理第 19 题】如图 6,四棱柱1111ABCDABC D的所有棱长都相等,11111,ACBDO ACB DO,四边形11ACC A和四边形11BDD B为矩形.

28、(1)证明:1OO 底面ABCD;(2)若060CBA,求二面角11COBD的余弦值.【答案】(1) 详见解析 (2) 2 57 19【解析】(1)证明:四棱柱1111ABCDABC D的所有棱长都相等四边形ABCD和四边形1111ABC D均为菱形11111,ACBDO ACB DO1,O O分别为11,BD B D中点四边形11ACC A和四边形11BDD B为矩形1/ /OO11/CCBB且11,CCAC BBBD11,OOBD OOAC又ACBDO且,AC BD 底面ABCD1OO底面ABCD.又111OCOO且1111OOOCO,111,OO O B 面1OB D11OC面1OB D

29、又1BO 面1OB D111BOOC又11BOO H且1111OCO HO,111,OC O H 面11O HC1BO面11O HC11O HC为二面角11COBD的平面角,则1 11 1cosO HO HCHC060CBA且四边形ABCD为菱形11OCa,113 ,BOa22 111112 ,7OOa BOBOOOa,则1 1111111 122 21sin377OOaO HBOO BOBOaaBOaAAA再由11O HC的勾股定理可得2222 11111219 77HCO HOCaaa,则1 11 1cosO HO HCHC2 21 2 577 1919 7aa,所以二面角11COBD的余弦值为2 57 19.所以22,2 3,3n ,12 12122 57coscos,19n nn n n n A ,故二面角11COBD的余弦值为2 57 19.【考点定位】线面垂直、二面角、勾股定理 。学科.网5、 【2014 高考江苏第 16 题】如图在三棱锥-P ABC中，,D E F分别为棱,PC AC AB的中点，已知,6,8,5PAAC PABCDF，求证（1）直线/PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC 【答案】证明见解析