AN第十三讲 三角函数的图象与性质.doc

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1、 高考数学一轮第十三讲 第 1 页共 13 页 第十三讲 三角函数的图象与性质考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、三角函数的图象函数sinyxcosyxtanyx图象xy-Oxy-Oxy2-2O对称性对称轴，2xk对称中心，(,0)kkZ对称轴，xk对称中心，(,0)2kkZ对称中心，(,0)2kkZ【提示】三角函数图象的对称性是三角函数的一个重要性质，因而它常出现在高考试题之中二、三角函数图象的作法1 “五点”作图法用“五点法”作()的简图时，五点的取法是：设sin()yAx0,0A，由取 0、来求相应的值，及对应的值，再描点作XxX23 22xy图类似地也可用“五点”作图法

2、作出函数及函数cos()yAx的图象，其中在取中的五点时，可取为tan()yAxtan()yAxXx、0、即可，渐近线与，当时，无意义44 2x2x 2x y2变换作图法用变换作图法作()的图象的基本变换是：sin()yAx0,0A(1)振幅变换：sinyxsinyAx将的图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） ；sinyxA高考数学一轮第十三讲 第 2 页共 13 页 (2)相位变换：sinyAxsin()yAx将的图象上所有点向左（）或向右（）平移个单位；sinyAx00|(3)周期变换：sin()yAxsin()yAx将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） sin()yAx

3、1 (4)由的图象变换到的图象，一般先作相位变换，再作周sinyxsin()yAx期变换，最后作振幅变换，即sinyxsinyAxsin()yAx如果先作周期变换，再作相位变换，则左右平移时不是个单sin()yAx|位，而是个单位即，是将左右平移| sin()yxsin()yxsin()yx个单位长度| 【提示】作函数，的图象，同样可用上述类似的变换作cos()yAxtan()yAx图法作图【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、三角函数性质1一般地，如果为函数的周期，则(且)也是，的周期，T( )f xnTnZ0n ( )f x即有()( )f xnTf x2三角函数的奇偶性的判断步骤为

4、：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足定义域关于原点对称的条件下，再看与的关系常见的奇函数有( )f x()fx和，偶函数有sinyAxtanyAxcosyAxb3三角函数的图象，可以用三角函数线或几何法作出，在精确度要求不高时，常用五点作图法作出4三角函数的定义域是研究三角函数一切性质的前提，求三角函数的定义域其实就是解最简单的三角不等式（组） ，可利用图象或三角函数线求解，通常要考虑周期的影响比如：的解集为，1sin2x 5(2,2)66kkkZ5三角函数的值域问题，实质上大多是三角函数与其他初等函数的复合函数的值域问高考数学一轮第十三讲 第 3 页共 13 页 题常用方法有：

5、利用换元法、配方法等方法转化为二次函数在某个区间上的值域；利用单调性及三角函数的有界性求解【提示】正切函数的图象是由直线（）隔开的无穷多支曲线组成的，单调区2xkkZ间是，不能说它在整个定义域内是增函数，如，但是(,)22kkkZ3 44，当然，正切函数不存在减区间3tantan44二、求三角函数的性质的常用方法1基本函数法：对照基本函数，、的性质求相关函数的sinyxcosyxtanyx性质如求的对称中心时，由于的对称中心为，由3sin(2)3yxsinyx(,0)k=得()，故所求的对称中心为()23xk26kxkZ(,0)26kkZ2恒等变换法：先对函数解析式化简，一般要化简到所含自变量

6、只有一个角的三角函数，再利用基本函数法求相关的性质在化简时，应注意下述恒等变换思想的运用：切割化弦、 “l”的代换、收缩、和差与积的互化、降幂、角的变换、换元等考点分类精讲考点考点 1 1 三角函数图象三角函数图象1三角函数图象特征的把握2利用变换作图法作三角函数的图象3利用三角函数图象的形象直观解题【例 1】(1)已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )a( )1sinf xaax A B C D(2)将函数)22)(2sin()(xxf的图象向右平移)0(个单位长度后得到函数)(xg的图象，若)(),(xgxf的图象都经过点)23, 0(P，则的值可以是A35B65C2D6高考数学一轮第十

7、三讲 第 4 页共 13 页 (3)定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为， 20,6cosyx5tanyxP过点作轴于点，直线与的图像交于点，则线段的长P1PPx1P1PPsinyx2P12PP为 【解析】(1)当时，图象即为 C；当时，三角函数的周期为0a ( )1f x 01a，图象即为 A；当时，三角函数的周期为，图象即22T1a 22T为 B故选 D(2)把)23, 0(P代入)22)(2sin()(xxf，解得3，所以)232sin()(xxg，把)23, 0(P代入得，k或6 k，观察选项，故选 B(3)线段的长即为的值，且其中的满足，解得12PPsin xx6cos5tanx

8、x=线段的长为sin x2 312PP2 3点拨：要善于从三角函数图象上读出有关信息，这是解题的重要依据和切入点，同时三角函数图象的形象直观地为我们解题提供又一途径【例 2】用五点作图法画出函数的图象，3sincos22xxy 【解析】(1)列表：将函数解析式化简为，列表如下：2sin()26xy26x023 22x32 35 38 311 32sin()26xy02020(2)描点：描出点(，0)、 （，2） 、 （，0） 、 （，） 、 （，0） 32 35 38 3211 3(3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后将其向两端伸展，得到图象如图所示高考数学一轮第十三讲 第 5 页共

9、 13 页 xy1138353233 O考点考点 2 2 三角函数的性质三角函数的性质1探求三角函数性质2已知三角函数性质，求有关参数的取值范围3利用三角函数性质解决有关问题【例 3】(1)函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )cos()f xx( )f xA， B，13(,)44kkkZ13(2,2)44kkkZC， D，13(,)44kkkZ13(2,2)44kkkZ(2)已知，函数在单调递减，则的取值范围是0)4sin()(xxf),2(AB C D45,2143,2121, 0(2 , 0(3)已知函数，其中为实数，若对 恒成立，( )sin(2)f xx( ) |()|6f

10、 xfxR且，则的单调递增区间是()( )2ff( )f xA B,36kk()kZ,2kk()kZC D2,63kk()kZ,2kk()kZ(4)设=，其中，若对一切( )f xsin2cos2axbx, a bR0ab ( ) |()|6f xf恒成立，则xR11()012f高考数学一轮第十三讲 第 6 页共 13 页 7|()|10f|()|5f既不是奇函数也不是偶函数( )f x的单调递增区间是( )f x2,63kk()kZ存在经过点的直线与函数的图像不相交( , )a b( )f x以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号） 【解析】(1)由图象可知，242m+=+pp32425

11、mmZ所以，,2,4 mmZ所以函数的单调递减区间为，( )cos(2)cos()44f xxmx，即，224kxkppppp+132244kxk-+kZ(2)函数的图像可看作是由函数的图像先向左平移)4sin()(xxf( )sinf xx个单位得的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的4( )sin()4f xx倍，纵坐标不变得到的，而函数的减区间是，所以要使1 ( )sin()4f xx5,44函数在上是减函数，需满足，解得)4sin()(xxf),2(1 42 51 4 15 24(3)因为当时，恒成立，所以，可得xR( )()|6f xf|()sin()163f 或，26k526

12、kkZ因为()sin()sin( )sin(2)sin2ff 故，所以，所以，sin0526k5( )sin(2)6f xx由（） ，5222262kxkkZ得（） ，2 63kxkkZ故的单调递增区间是（） ( )f x2,63kkkZ高考数学一轮第十三讲 第 7 页共 13 页 (4)（其中） ，因此对一22( )sin2cos2sin(2)f xaxbxabxtanb a切，恒成立，所以，xR( )|()|6f xfsin()13 可得，故()6kkZ22( )sin(2)6f xabx而，所以正确；221111()sin(2)012126fab ，222274717|()| |sin|

13、 |sin|123030fabab，所以，故错；明显正确；错2217|()| |sin|530fab7|()| |()|105ff误：由函数和的图象（图略）22( )sin(2)6f xabx22( )sin(2)6f xabx 可知，不存在经过点的直线与函数的图象不相交，故错误( , )a b( )f x点拨：研究三角函数的单调性的基本方法是基本函数法，也就是对照基本三角函数得出相应的单调区间，再用代替基本三角函数的，解其不等式即可xx研究三角函数的单调性问题易错地方有二：一是当时，则应考虑单调性相反的0区间如求的单调递增区间，则应考虑的单调递减区间这是sin(2 )3yxsinyx因为用基

14、本函数法解决这类三角函数单调性问题，实质上是复合法，即令，则23tx因而只有递减且也递减，才有递增；二是sinyt23txsinytsin(2 )3yx研究三角函数的单调性必须坚持“定义域优先”的原则【例 4】已知函数.( )4tan cos cos()33f xxxx(1)求的定义域与最小正周期；( )f x(2)讨论在区间上的单调性( )f x,4 4 【解析】(1)的定义域为( )f x |,2x xkkZ( )4tan cos cos()33f xxxx4sin cos()33xx134sin ( cossin )322xxx高考数学一轮第十三讲 第 8 页共 13 页 22sin c

15、os2 3sin3xxxsin23(1cos2 )3xxsin23cos2xx2sin(2)3x所以的最小正周期( )f x2 2T(2)令函数的单调递增区间是，2,3zx2sinyz2,222kkkZ由,得222232kxk5,.1212kxkkZ设，,4 4A 5 |,1212BxkxkkZ易知.,12 4AB 所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间,4 4x ( )f x,12 4上单调递减.412，点拨：三角函数的周期问题是高考的热点问题，解决周期问题的常用方法有：(1)结论法，即利用结论函数和的最小正周期均为，函sin()yAxcos()yAx2 | 数的最小正周期为寻求最小正周

16、期；(2)图象法，即作出函数的图tan()yAx| 象，利用图象的形象直观来确定其最小正周期；(3)定义验证法，即验证存在非零常数，T使得对于定义域内任意的值，都有恒成立，则为函数的一个周x()( )f xTf xT( )f x期（但不一定是最小正周期） 【例 5】设函数2( )sin()2cos1468xxf x(1)求的最小正周期( )f x(2)若函数与的图像关于直线对称，求当时( )yg x( )yf x1x 40, 3x的最大值( )yg x【解析】(1)=( )f xsincoscossincos46464xxx高考数学一轮第十三讲 第 9 页共 13 页 =33sincos242

17、4xx=3sin()43x故的最小正周期为=8( )f xT 24 (2)解法一：在的图象上任取一点，它关于的对称点( )yg x( , ( )x g x1x 由题设条件，点在的图象上，从而(2, ( )x g x(2, ( )x g x( )yf x=( )(2)3sin(2)43g xfxx3sin243x3cos()43x当时，304x2 3433x因此在区间上的最大值为( )yg x40, 3max33cos32g解法二：因区间关于的对称区间为，且与的图40, 31x 2 ,23( )yg x( )yf x象关于对称，故在上的最大值为在上的最大1x ( )yg x40, 3( )yf

18、x2 ,23值由（）知( )f x3sin()43x当时，223x6436因此在上的最大值为 .( )yg x40, 3max33sin62g点拨：将复杂的三角函数式化为“统一”的形式，从而探求其周期sin()yAx性、单调性、最值等性质，这是近几年高考对三角函数考查的重要形式，尽管转化的途径不同，有的是与向量综合，用向量运算来转化，有的是用三角恒等变换来转化，有的则在三角形中进行转化，但是实质上都是考查模型的应用sin()yAx考点考点 3 3 图象性质综合图象性质综合1利用三角函数解决有关综合问题2在实际问题中建立三角函数模型【例 6】若方程在上有两个不同的实数解、，求的3sincosxx

19、a0,2 x1x2xa高考数学一轮第十三讲 第 10 页共 13 页 取值范围，并求此时的值12xx【解析】利用方程的思想，的值即为函数在上与轴有a3sincosyxx0,2 xx两个交点时的值域，因此作出函数的图象，数形结合即得设=，3sincosyxx2sin()6x0,2 x令，则，且，6xt2sinyt13,66t在同一坐标系中作出与的图象如图所示2sinytyaxy136261212O从图象可看出，当和时两图象有两个交点，12a21a 即方程在有两个解，此时或.3sincosxxa0,2 12a21a 由图象的对称性，当时，12a12tt即，；1266xx122 3xx当时，21a

20、123tt即，12366xx128 3xx的取值范围是a(1,2)( 2,1)当时，；(1,2)a122 3xx当时，( 2,1)a 128 3xx【例 7】如图，函数的图象与y轴交于点(03)，2cos()yx(,0)2xR且在该点处切线的斜率为2高考数学一轮第十三讲 第 11 页共 13 页 (1)求和的值；(2)已知点，点P是该函数图象上一点，点00()Q xy，是PA的中点，当(,0)2A03 2y ，时，求0x的值0, 2x【解析】(1)将0x ，3y 代入函数2cos()yx得3cos2，因为02，所以6又因为2 sin()yx ，02xy ，6，所以2，因此2cos(2)6yx(

21、2)因为点，00()Q xy，是PA的中点，03 2y ，(,0)2A所以点P的坐标为0(2, 3)2x又因为点P在的图象上，所以2cos(2)6yx053cos(4)62x因为02x，所以075194666x，从而得0511466x或0513466x即02 3x或03 4x【点拨】利用三角函数图象的形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确地把握三角函数“形”的特征【例 8】如图，某市拟在长为 8km 的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分OP为曲线段，该曲线段为函数,的图象，且OSMsinyAx(0,0)A0,4x图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运

22、动员的(3,2 3)SMNP高考数学一轮第十三讲 第 12 页共 13 页 安全，限定120MNPxy843PNMS2 3O(1)求，的值和，两点间的距离；AMP(2)应如何设计，才能使折线段赛道最长？MNP【解析】解法一 (1)依题意，有，又，2 3A 34T2T ，62 3sin6yx当 是，4x 22 3sin33y又，(4,3)M(8,3)p22435MPxy843PNMS2 3O(2)在中，MNP120MNP5MP 设，则PMN060由正弦定理得00sin120sinsin(60)MPNPMN ,10 3sin3NP010 3sin(60)3MN故010 310 310 3 13si

23、nsin(60)( sincos )33323NPMN010 3sin(60 )3高考数学一轮第十三讲 第 13 页共 13 页 ，当时，折线段赛道最长06030MNP亦即，将设计为时，折线段道最长PMN30MNP解法二：(1)同解法一(2)在中，MNP120MNP5MP 由余弦定理得，2222cosMNNPMN NPMNPMPAA即2225MNNPMN NPA故22()25()2MNNPMNNPMN NPA从而，即23()254MNNP10 3 3MNNP当且仅当时，折线段道最长MNNPMNP注：本题第(2)问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；123 94 3(26N，）；123 94 3(26N，）点在线段的垂直平分线上等NMP本专题试题训练详见试题精练