P第十四讲 热点聚焦 三个创新热点.doc

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1、名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 1 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk第十四讲第十四讲 热点聚焦热点聚焦 三个创新热点三个创新热点【名师高考导航名师高考导航】近几年随着高考对考生的创新意识和创新能力的要求逐渐提高，每年的真题都会推出一些背景新颖、构思精巧、情境别致，具有相当深度和明确导向的创新型题目，使高考数学试卷充满活力和魅力它要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段，灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决

2、问题” 我们要坚信一个原则：千变万变，方法不变创新题只是对以前的问题稍加“化妆” ，以一个“新面目”出现在我们面前，乍看其脱俗超群，但只要我们努力揭开题目的“面纱” ，便可识别其“真面目” 创新热点一创新热点一 新定义型试题新定义型试题定义新的概念定义新的概念试题特点：先给出一个定义，然后根据定义提出一系列问题，解题技巧：解决此类问题，要先认真理解题目给出的定义，把握定义的实质，在此基础上按定义处理问题，此类问题多以集合、函数、平面向量、数列等问题为背景，解决的关键是准确转化定义中的相关条件【创新题 1】(2017 山东)若函数(e=2.71828，是自然对数的底数)在的定义( )xe f x

3、( )f x域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是( )f xMM( )2xf x2( )f xx( )3xf x( )cosf xx【解析】在上单调递增，故具有性质；( )2( )2xxxxee f xeR( )2xf x在上单调递减，故不具有性质；( )3( )3xxxxee f xeR( )3xf x，令，则，3( )xxe f xex3( )xg xex322( )3(2)xxxg xexexx ex当时，当时，2x 0gx2x 0gx在上单调递减，在上单调递增，3( )xxe f xex, 2 2,故不具有性质； 3f xx，令，2( )(2)xxe f xex 22

4、xg xex名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 2 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk则，22( )(2)2(1)10xxxg xexexex在上单调递增，故具有性质2( )(2)xxe f xexR2( )2f xx【创新题 2】设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那AkA1kA 1kA 么称是的一个“孤立元” ，给定 S=1，2，3，4，5，6，7，8，由 S 的 3 个元素kA构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个【解析】依题意可知，不含“孤立元”是指在集合中有与相邻的

5、元素，因此符合题意的k集合是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7，6,7,8，共 6 个集合【方法技巧】破解新定义型集合问题的关键是运用集合的性质（如元素的性质、运算性质等） 在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质【易错指导】集合中的新定义问题以考查元素与集合之间的关系为主，注意集合中元素互异性的检验关于集合之间的关系的新定义问题应注意子集与真子集的区别，关于集合运算的新定义问题应注意元素所在集合的选取与元素互异性的检验【创新题 3】对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有( )f x0a

6、x，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )(2)f xfax( )f xA B ( )f xx2( )f xxC D ( )tanf xx( )cos(1)f xx【解析】由题意可得准偶函数的图象关于直线对称，即准偶函数的图象存在xa(0)a 不是轴的对称轴选项A、C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对y称轴为轴，只有选项D中函数的图象存在不是轴的对称轴选Dyy【点评】本题新定义了“准偶函数”(像“准妈妈”一样)这样一个比较时髦的词汇，其实就是函数图象的对称性解题的关键在于理解满足“准偶函数”所具备的条件本题利用新定义考查了函数的图象与性质由此看来，此题是来源于( )(2)

7、f xfax课本上的基本概念、基础知识，但在表述上却是一个新亮点【创新题 4】若直线 与曲线满足下列两个条件：lC直线 在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线 的两侧，则)(il00, yxPC)(iiCPl称直线 在点处“切过”曲线lPC名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 3 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线在点处“切过”曲线：0:yl0 , 0PC3yx直线在点处“切过”曲线：1:xl0 , 1PC2) 1( xy直线在点处“切过”曲线

8、：xyl:0 , 0PCxysin直线在点处“切过”曲线：xyl:0 , 0PCxytan直线在点处“切过”曲线：1: xyl 0 , 1PCxyln【解析】 对于，所以是曲线在点2 03,|0xyxy:0l y 3:C yx处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线 的两侧，(0,0)P3:C yx(0,0)Pl正确；对于，因为，所以不是曲线：12(1),|0xyxy:1l x C在点处的切线，错误；对于，在点2) 1( xy0 , 1P0cos ,|1xyx y处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线0 , 0Pxyl:Cxysin0 , 0P的两侧，正确；对于，在点处的切线l21 cosy

9、x 021|1cos 0xy0 , 0P为，画图可知曲线：在点附近位于直线 的两侧，正确；xyl:Cxytan0 , 0Pl对于，在点处的切线为，令1yx 1|1xy 0 , 1P1: xyl，可得，所以，故( )1 ln (0)h xxx x 11( )1xh xxx min( )(1)0h xh，1lnxx 可知曲线：在点附近位于直线 的下侧，错误Cxyln 0 , 1Pl【点评】本题是一道凸显目前中学数学教学现状的新定义题，是命题专家针对中学“切线”教学或理解中出现的一些问题而精心设计的一道好题！通过定义“切过”，让考生在短时间内理解定义，了解其几何意义，较全面地通过图形特征考查了高中阶

10、段一些重要而基础的函数知识【创新题 5】在平面直角坐标系中，两点间的“距离”定义为111222,P x yP xyL则平面内与轴上两个不同的定点的“距离”之121212.PPxxyyx12,F FL和等于定值（大于）的点的轨迹可以是12|FF名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 4 页共 14 页 微信公众号：sxgkzkxyAOF2F1xyBOF2F1xyCF1OF2xyDOF2F1【解析】设，则，依题意，得( , )P x y12(,0),( ,0),0FcF cc12|2FFc（为常数且）

11、 ，所以12|2PFPFdddc，即，002xcyxcyd22xcyxcd当时，即；cxc ()2| 2xccxyd ()ydc 当时，即；xc ()2| 2xccxyd 0xyd当时，即xc()2| 2xcxcyd 0xyd由以上三种情况，可知选项 A 正确【点评】本题需先理解“距离”的定义，并搜索已有的知识，进而解决试题考查L的新定义与动点的轨迹等基础知识，意在考查考生处理新定义问题的能力、转化与化归能力、数形结合能力定义新的运算定义新的运算试题特点：定义一种新的运算，然后根据新运算的定义法则求解相关问题解题技巧：在给出新定义或新运算的问题中要摒弃原有的运算法则，避免造成运算的紊乱面对这类

12、问题只需按给定的法则进行运算，虽然给出的条件信息比较多，但是实质很简单，只需用简单的数学知识即可解决，解决此类问题，关键是把握新定义运算的法则，将其转化为我们比较熟悉的加、减、乘、除等运算问题来解决，求解过程必须严格按照定义的运算法则实施此类问题多以集合、函数、向量的坐标运算等问题为背景【创新题 1】(2016 四川)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”( , )P x yP为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，平面曲线2222(,)yxPxyxyPPC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线 C 的“伴随曲线” 现有下列命C题：若点 A 的“伴随点”是点，则点的“伴随点

13、”是点 AAA名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 5 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”关于 y 轴对称；C一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是_（写出所有真命题的序列） 【解析】对于，取点，则，点的“伴随点”为，所以错误；(1,1)A11( ,)22AA( 1, 1) 对于，设单位圆上任意一点，则其“伴随点”为，显然(cos ,sin )Att(sin , cos )Att在单位圆上，所以正确；对于，

14、若曲线 C 关于轴对称，则曲线 C 上任意一Ax点关于轴的对称点为，点的“伴随点”为，( , )A x yx1( ,)A xyA2222(,)yxAxyxy点的“伴随点”为，显然点与点关于轴对称，1( ,)A xy12222(,)yxAxyxyA1Ay则“伴随曲线”关于轴对称，正确；对于，取直线上任意一点Cy1yx，则其“伴随点”为，令，( ,1)A t t 22221(,)(1)(1)ttAtttt22221 (1)(1)txtt tytt消去参数 ，得，所以直线的“伴随曲线”为圆，错误t220xyxy1yx故填【创新题 2】对任意复数，定义1212, 其中2是2的共轭复数，对任意12复数1

15、23,z z z有如下四个命题：1231323()()();zzzzzzz1231213()()()zzzzzzz；123123()();zzzzzz1221zzzz；则真命题的个数是A1 B2 C3 D4【解析】由于1212, 对于，1231231 323()()zzzzzzz zz z名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 6 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk，显然成立；对于，1323()()zzzz1231231 21 3()()zzzz zzz zz z显然成立；对于，而1213(

16、)()zzzz123123123()()zzzz zzz z z，显然不成立；对于由于，而123123123()()zzzzz zz z z1212zzz z显然不一定成立故选 B1221zzz z【点评】本题是复数的新定义题，对于这类问题，只要读懂题意，认真观察类比，即可解决，试题主要考查复数、共轭复数的定义及运算，意在考查考生对新知识的理解能力及推理论证能力【创新题 3】记，的代数式为，且满足下列关系：xy( , )f x y；( , )f x yx；(,)( , )f mx mymf x y；12121122(,)( ,)(,)f xxyyf x yf xy=( , )f x y2(,)

17、33y xyf则= (1,3)f【解析】由，得，令，(1,1)1f(3,3)3f1x 3y 代入，得4(1,3)(2, )3ff由，得由，得46 41(2, )( , )(6,4)33 33fff，(6,4)(33,1 3)(3,1)(3,3)ffff综上，1(1,3) (3,1)(3,3)3fff同理，令，得3x 1y 1(3,1) (1,3)(1,1)3fff故，1 1111(1,3) (1,3)(1,1)(3,3)(1,3)(1,1)(3,3)3 3993fffffff即，所以811(1,3)3993f105(1,3)84f【方法技巧】本题的难点在于新定义的运算中涉及多个变量，没有具体的

18、运算式，仅给出了该种运算的一些性质，但所求的结果为一组具体数值，解决此类问题的关键在于根名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 7 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk据运算性质准确进行赋值，显然，是解决求值的基础，然后根据定义的运算(1,1)f(3,3)f法则逐步进行推理，构造和的方程组进行求解，这也是解决此类问题的通性(1,3)f(3,1)f通法创新热点二创新热点二 知识交汇型试题知识交汇型试题试题特点：试题在知识点交汇处命题，与高考常规考查的试题不同，但所运用的知识却是需要掌握的解题技巧

19、：解决此类试题的关键就是灵活调用所学知识，准确求解即可【创新题 1】不等式组的解集记为有下面四个命题：124xyxy D：， ：,1p( , ),22x yD xy2p( , ),22x yD xy：， ：3p( , ),23x yD xy4p( , ),21x yD xy其中真命题是A， B， C， D，2p3p1p4p1p2p1p3p【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数经过可行域2zxy内的点时，取得最小值 0，故，因此是真命题，选 C(2, 1)A20xy12,p p【点评】本题把线性规划问题融入到全称命题和特称命题的真假判断之中，让入耳目一新，体现了在知识交汇处命

20、题的重要思路试题主要考查线性规划知识，考查考生的作图、识图能力及计算能力【创新题 2】设函数若存在的极值点满足( )3sinxf xm( )f x0x，则的取值范围是222 00 ()xf xmm名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 8 页共 14 页 微信公众号：sxgkzkA B , 66, , 44, C D , 22, , 14, 【解析】由正弦型函数的图象可知：的极值点满足， f x0x0()3f x 则，从而得022xkm()kZ01() ()2xkm kZ所以不等式，即为，变形得

21、222 00xf xm2221()32kmm，其中211 ()32mkkZ由题意，存在整数使得不等式成立当且时，k211 ()32mk1k 0k 必有，此时不等式显然不能成立，故或，21()12k 1k 0k 此时，不等式即为，解得或2334m 2m 2m 【方法技巧】对于综合性问题，要善于对其进行“分解” ，将其转化为多个基本问题，本题首先要解决的是“正弦型函数的极值点问题” ，可以通过观察函数的图象求解，也可利用导数求解；其次是“不等式的明确与变形” ，变形中的重要方向为“相同的字母集中”“分离参数” ；最后是“不等式能成立的转化” ，对于不等式的恒成立与能成立问题，常用到“分离参数”思想

22、，本题中分离参数时需考虑符号，从中确定的取值，进而解得的km取值范围【点评】本题融函数的极值、三角函数的性质与不等式能成立问题于一体，考查考生对知识的综合应用能力，设计巧妙，体现了在知识交汇处命题的原则【创新题 3】如图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点1111ABCDABC DABAD1AA从顶点 A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理） ，将第4 312E，次到第 次反射点之间的线段记为，将线段1ii2,3,4iL i 1LAE竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是1234,L L L L名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资

23、料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 9 页共 14 页 微信公众号：sxgkzkAL4L3L2L1BL1L2L3L4CL1L2L3L4DL1L2L3 L4【解析】根据反射的对称性，质点是在过的平面内运动，因为，所以过1,A E A73 114作长方形的截面如图所示1,A E A1AANM设点关于平面的对称点为，易知它在轴上，且，连A1111ABC DAz1112A AAA接并延长交平面于点，因为，所以，且到，A EABCD1E15AE 110AE 1EAB的距离分别为 6，8，即，而它在线段上，从而知AD1(8,6,0)EAM；事实上，只需要在内，过作的平行线交于112LA

24、EEEL1AANM1EAEMN点，再过作的平行线交于点，可知，2E2E1E E1AN3E1234123EEE ELE EL名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 10 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk故，故选 C1243LLLL【方法技巧】求解此类问题，建立数学模型的关键在于寻找其中的等量关系和变量关系，在观察实际问题的图象时，先得到坐标系中点的坐标的实际意义，然后分析变量的相互关系，结合题意寻找出对应的现实情境【点评】本题是图象题，问题情境新颖，考查考生的看图、辨图能力，空间想象能力以及

25、动手实践能力，是一道很好的能力测试题【创新题 5】已知集合，且下列三个关系：有且 2 , 1 , 0,cba2a2b0c只有一个正确，则_10100cba【解析】可分下列三种情形：(1)若只有正确，则，所以2a2b 0c 与集合元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；1ab(2)若只有正确，则，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只2b 2a 0c 有正确是不可能的；(3)若只有正确，则，所以，0,2,2cab0,1bc所以10010100 2 10 0 1201abc 【易错点拨】此类题的易错点：一是分类不严谨，导致结果出错；二是审题不认真，如本题，若对“有且只有”这四个字不敏感，解题过程会

26、相当复杂因此，解决此类题一定要认真审题，分类做到不重不漏，就不会陷入命题人所设计的陷阱【点评】本题以最原始的集合概念为背景，考查集合、合情推理等基础知识，意在考查考生的推理能力、运算求解能力创新热点三创新热点三 背景新颖型试题背景新颖型试题试题特点：通过新的立意、新的背景、新的表述、新的设问等创设试题的新颖背景解题技巧：认真理解题意，透过“现象”把握问题的本质，运用相应的数学知识求解【创新题 1】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是xyzO（0，0，2） ， （2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为名校名

27、师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 11 页共 14 页 微信公众号：sxgkzkzxyO21 2112 A和 B和 C 和 D和 【解析】在空间直角坐标系 O-xyz 中作出棱长为 2 的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为，俯视图为选 D【方法技巧】视图的识别要把握好“长对正，宽平齐，高相等”这一原则，注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线【点评】本题在空间直角坐标系中考查三视图，难度并不大，但很新颖【创新题 2】yx,满足约束条件 02

28、202202yxyxyx，若axyz取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A121或B212或C2 或 1 D12或【解析】画出约束条件表示的平面区域如图，可知，则(0,2)A(2,0)B( 2,2)C ，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要2Az 2Bza 22cza，或，或，解得或选 DABCzzzACBzzzBCAzzz1a 2a 名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 12 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk解法二 目标函数可化为，令：，平移，则当zyaxyaxz0lyax0

29、l或时符合题意，故或选 D0lAB0lAC1a 2a 【点评】本题命题角度新颖，逆向考查线性规划的基本思想，考查考生通过数形结合分析问题、解决问题的能力，本题对线性规划的考查有所突破，凝聚了命题专家的心血与智慧【创新题 3】设点，若在圆上存在点 N，使得，则0(,1)M x22:=1O xy45OMN的取值范围是0xA B C D1,11 1 2 2，2,222 22 ，【解析】当点的坐标为时，圆上存在点，使得，所以M(1,1)(1,0)N45OMN符合题意，排除 B、D；当点的坐标为时，过点作01x M( 2,1)3OM M圆的一条切线，连接，则在中，OMNONRt OMN32sin32OM

30、N则，故此时在圆上不存在点，使得，45OMNON45OMN即不符合题意，排除 C，故选 A02x 【点评】本题以圆为背景，考查存在性问题，设问巧妙，比较新颖，有一定难度和很好的选拔功能【创新题 4】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，三个城市时，ABC甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过城市；C名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 13 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为 【解析】由乙的回答可知，乙可能去过城市和城市，

31、但由甲的回答推断出乙只能去过AB，中的一个，结合丙的回答，可判断乙去过的城市为ABA【点评】本题从应用性角度考查逻辑推理，综合性和应用性都很强，试题新颖，具有创新性【创新题 5】平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离(1,0)F1x 相等，若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是 ( 1,0)P kk【解析】由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为，过点且24yx( 1,0)P 斜率为的直线方程为，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去k(1)yk xy得，则，所以，2222(24)0k xkxk222(24)40kk 21k 得或1k 1k 【点评】本题以实际应

32、用问题为载体，考查抛物线方程、直线方程以及直线与抛物线的位置关系，结合方程思想、数形结合思想和转化思想求解实际问题，是一个全新的题型【创新题 6】设是定义在上的函数，且，对任意，若经 xf, 0 0xf0, 0ba过点，的直线与轴的交点为，则称为关于函数( ,( )a f a( ,( )bf bx0 , ccba,的平均数，记为，例如，当时，可得 xf),(baMf )0( 1xxf，即为的算术平均数2),(bacbaMf),(baMfba,（1）当时，为的几何平均数； )0_( xxf),(baMfba,（2）当时，为的调和平均数； )0_( xxf),(baMfba,baab 2（以上两空

33、各只需写出一个符合要求的函数即可）【解析】过点，的直线的方程为，( ,( )a f a( ,( )bf b( )( )( )()f af byf axaab令得0y ( )( ) ( )( )af bbf acf af b名校名师讲义，二轮冲刺专题考点解读，对考点从知识到方法系统归纳提炼，培优复习精品资料QQ：1185941688 高考数学二轮第十四讲 第 14 页共 14 页 微信公众号：sxgkzk（1）令几何平均数，( )( ) ( )( )af bbf aabf af b( )( )( )( )ab f aab f bbf aaf b可取( )(0)f xx x（2）令调和平均数，得，2( )( ) ( )( )abaf bbf a abf af b( )( ) ( )( )abbaaf bbf a abf af b可取( )(0)f xx x【点评】透彻理解几种平均数是顺利求解本题的关键，所求的函数有一定的开放性，需要足够的知识储备，试题主要考查函数与方程、几何平均数和调和平均数，意在通过直线的方程考查考生对基本初等函数的理解与运用