AE第五讲 二次函数与幂函数.doc

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1、 高考数学一轮第五讲 第 1 页共 10 页 第五讲 二次函数与幂函数考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、二次函数的图象与性质1二次函数的解析式一般式：2( )f xaxbxc(0)a 顶点式：2( )()f xa xmn(0)a 双根式：12( )()()f xa xxxx(0)a 2二次函数的图象和性质解析式2yaxbxc(0)a 2yaxbxc(0)a 图象xyOxyO定义域R值域24,)4acbya24(,4acbya 对称轴2bxa 顶点坐标24(,)24bacb aa奇偶性是偶函数0b 2yaxbxc(0)a 单调性时是减函数；(,)2bxa 时是增函数(,)2bx

2、a 时是减函数；(,)2bxa 时是增函数(,)2bxa 最值当时，2bxa 当时，2bxa 高考数学一轮第五讲 第 2 页共 10 页 2min4 4acbya2max4 4acbya二、幂函数的图象与性质(1)定义：形如(R)的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数yxx(2)五种常见幂函数的图象与性质yx2yx3yx1 2yx1yx图象xyOxyOxyOxyOxyO定义域R0,)(,0)(0,)值域R0,)R0,)(,0)(0,)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增减，(,0增0,)增增减，(,0)增(0,)定点，(0,0)(1,1)(1,1)【提示】若，在上是增函数；若，在上是

3、0yx(0,)0yx(0,)减函数【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、二次函数图象与性质的应用1求二次函数最值的类型及解法二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；高考数学一轮第五讲 第 3 页共 10 页 常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得2二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降及对称轴进行分析讨论求解如果二次函数满足，那么函数的图象关于( )yf x12()()f xf x( )yf x对称，12

4、2xxx二次函数使成立的充要条件是函数的图象( )yf x()()f axf ax( )yf x关于直线(为常数)对称，xaa3求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，灵活在三种形式中选择4有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点5二次函数的闭区间上的最值由二次函数图象可知，二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得二次函数在闭区间上的最值讨论：当时在区间上的最大值为，最小值为，令0a ( )f x

5、 , p qMm01()2xpq(1)若，则，；2bpa( )f pm( )f qM(2)若，则，；02bpxa()2bfma( )f qM(3)若，则，；02bxqa( )f pM()2bfma(4)，则，2bqa( )f pM( )f qm当时在区间上的最大值与上述最小值讨论一致，而最小值类似上述0a ( )f x , p q最大值讨论二、幂函数的图象、性质及应用1对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即高考数学一轮第五讲 第 4 页共 10 页 ，分区域根据，的取值确定位置后，1x 1y yx00111其余象限部分由奇偶性决定2在比较幂值的大小时，必须结合幂

6、值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较3幂函数的性质和图象由于的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：yx的正负：时图象经过点和点，在第一象限的部分“上升” ；0(0,0)(1,1)时图象不过点，经过点，在第一象限的部分“下降” 0(0,0)(1,1)曲线在第一象限的凹凸性：时曲线下凹，时曲线上凸，时曲1010线下凹，函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性3幂函数的定义是一个形式化的定义，其要求非常严格，它是一个幂的形式，幂的底数是单个的自变量，幂的指数是一个常数，可以取任意实数，幂的前边的系数等于 1，x所有不具备这种形式的函数

7、都不是幂函数，例如：函数，23yx5(3)yx等都不是幂函数41yx4如果幂函数的幂指数是分数或负数，在研究其有关图象、性质等问题时，可以先将幂函数的解析式化为根式的形式再进行研究【提示】(1)幂函数的图象与性质虽然较为复杂，但也有一些规律，我们可以借助一些简单的、常见的幂函数的图象与性质得到一般幂函数的图象特征与性质，所以应加强对简单幂函数的学习与记忆(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下：当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较：当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与 1 的大

8、小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；高考数学一轮第五讲 第 5 页共 10 页 比较多个幂值的大小，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与 0，1 等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系考点分类精讲考点考点 1 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质1考查二次函数的图象问题2性质与图象的综合应用【例 1】设，二次函数的图象可能是0abc 2( )f xaxbxcxyOyxOxyOyxOA B C D【解析】A 项，由图象开口向下，由对

9、称轴位置知，所以若0a 02b a0b ，则，而由题图知，所以 A 项不符；B 项，由题意知0abc 0c (0)0fc，所以若，则，而由题图知，0a 02b a0b 0abc 0c (0)0fc所以 B 项不符；C 项，由题图知，所以若，则0a 02b a0b 0abc ，而由题图知，所以 C 项不符；D 项，由题图知，0c (0)0fc0a ，所以若，则，而由题图知，所以 D 项02b a0b 0abc 0c (0)0fc正确【例 2】(1)已知，函数若，则, ,a b cR2( )f xaxbxc(0)(4)(1)fffA， B，0a 40ab0a 40abC， D，0a 20ab0a

10、20ab(2)已知函数, 1)(2mxxxf若对于任意 1,mmx，都有0)(xf成立，则实数m的取值范围是 【解析】(1)由知，函数的对称轴是， 由(0)(4)ff2bxa 40ba高考数学一轮第五讲 第 6 页共 10 页 知函数在对称轴的左边递减，所以开口向上；所以选 A(0)(1)ff(2)由题意可得对于上恒成立，即，( )0f x ,1xm m22( )210 (1)230f mm f mmm 解得202m考点考点 2 二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题1求二次函数在闭区间上的最值2求含有参数的二次函数在闭区间上的最值3二次函数在闭区间的最值的应用【例 3】已知

11、，求的最小值2( )2f xaxx(01)x( )f x( )g a【解析】(1)当时，在上递减，所以.0a ( )2f xx 0,1min( )( )(1)2g af xf (2)当时，的图象的开口方向向上，且对称轴为0a 2( )2f xaxx1xa当，即时，2( )2f xaxx的图象对称轴在内，11a1a0,1所以在上递减，在上递增( )f x10,a1,1a所以min1121( )( )( )g af xfaaaa 当，即时，的图象对称轴在的右侧，所以11a01a2( )2f xaxx0,1在上递减，所以( )f x10,amin( )( )(1)2g af xfa(3)当时，的图象

12、的开口方向向下，且对称轴，在轴的0a 2( )2f xaxx1xay左侧，所以在上递减，所以2( )2f xaxx0,1min( )( )(1)2g af xfa综上所述2,1 ( )1,1aa g aaa【例 4】已知函数满足条件：，且方程2( )f xaxbx(0)a (5)(3)fxf x 有等根( )f xx(1)求的解析式；( )f x高考数学一轮第五讲 第 7 页共 10 页 (2)是否存在实数、，使的定义域和值域分别是和？mn()mn( )f x , m n3 ,3 mn如果存在，求出、的值；若不存在，说明理由mn【解析】(1)满足，则函数的图象关于直线对称，故( )f x(5)

13、(3)fxf x ( )f x1x ，12b a2ba 又有等根，即有等根，则，( )f xx2(1)0axbx1b 所以，1 2a 21( )2f xxx (2)由=，在区间上有值域，则21( )2f xxx 211(1)22x , m n3 ,3 mn，故，所以函数在上为增函数132n1 6n1 6mn( )f x , m n，且，、是方程的两个不等根( )3f mm( )3f nnmn( )3f xx，即，2132xxx240xx10x 24x mn4m 0n 【例 5】已知函数（） ，记是在区间上2( )f xxaxb, a bR( , )M a b|( )|f x 1,1的最大值(1

14、)证明：当时，；|2a ( , )2M a b (2)当满足，求的最大值, a b( , )2M a b |ab【解析】(1)由，得对称轴为直线2 2( )()24aaf xxb=+ -2ax =-由，得，故在上单调，|2a |12a-( )f x 1,1-所以( , )max|(1)|,|( 1)|M a bff=-当时，由，2a(1)( 1)24ffa-=得，即max (1),( 1)2ff-( , )2M a b 当时，由2a-( 1)(1)24ffa-=-得，即max ( 1),(1)2ff-( , )2M a b 高考数学一轮第五讲 第 8 页共 10 页 综上，当时，|2a ( ,

15、 )2M a b (2)由得，( , )2M a b |1| |(1)|2abf+ +=|1| |( 1)|2abf-+=-故，|3ab+|3ab-由，得|,0|,0ab ababab ab+=-|3ab+当时，且在上的最大值为 2，2,1ab=-| 3ab+=2|21|xx+- 1,1-即所以的最大值为 3(2, 1)2M-=|ab+点拨：二次函数在区间上的最值问题是高考的热点解答这类问题基本方法有二：一是图象法，即利用二次函数的图象的形象直观来确定二次函数在其区间上的单调性，从而确定其最值在何处取得，当二次函数的解析式含有参数或区间含有参数而不确定时，则应抓住图象开口方向以及图象的对称轴是

16、位于区间上，还是左边、右边进行分类讨论，从而确定在其区间上的单调性二是导数法，二次函数的导函数为一次函数，利用它很容易确定在其区间上的符号，进而确定其单调性导数法的好处在于通过精确的计算，容易使人信服，也便于操作求复合函数的值域和最值问题的基本方法是通过换元，转化为求外层函数的值域和最值问题，但应注意由函数的定义域来确定内层函数的值域，从而得到外层函数的定义域考点考点 3 3 幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质1由一个函数为幂函数确定有关参数的值1判断与幂函数的图象和性质有关的命题的真假2利用幂函数的图象与性质分析解决有关问题【例 6】(1)点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，问当( 2

17、,2)( )f x1( 2, )4( )g x为何值时，有，x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f xg x(2)若，则实数的取值范围是_11 22(1)(32 )aaa【解析】(1)设，则由题意得，所以，即，再设( )f xx2( 2)22( )f xx，则有，所以，即，由图象可知( )g xx1( 2)4 2 2( )g xx高考数学一轮第五讲 第 9 页共 10 页 xy y = g(x)y = f(x)1-11O当或时，；当时，；当时，1x 1x ( )( )f xg x1x ( )( )f xg x11x ( )( )f xg x(2)易知函数的定义域为，在

18、定义域内为增函数，所以，1 2yx0,)10 320 132a a aa 解得213a【例 7】已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，32,( ),xxaf xxxab( )( )g xf xb则 的取值范围是 a【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3axbx与方程)(2axbx的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组ababab31有解，从而1a；若方程)(3axbx无解，方程)(2axbx有 2 个根：则可知关于b的不等式组abab31有解，从而0a；综上，实数a的取值范围是), 1 ()0 ,(【例 8】已知函数（）满足22( )kkf xx kZ(2)(3)

19、ff(1)求的值并求出相应的的解析式；k( )f x(2)对于(1)中得到的函数，试判断是否存在，使函数( )f x0q ( )1( )g xqf x 高考数学一轮第五讲 第 10 页共 10 页 在区间上的值域为若存在，求出；若不存在，说明理(21)qx 1.217 4,8q由【解析】(1)，在第一象限是增函数(2)(3)ff( )f x故，解得220kk12k 又，所以或，kZ0k 1k 当或时，0k 1k 222kk2( )f xx(2)假设存在满足题设，由(1)知0q ，2( )(21)1g xqxqx 1.2x ，两个最值点只能在端点和顶点处取得(2)1g ( 1, ( 1)g221 41(,)24qq qq而，2224141(41)( 1)(23 )0444qqqgqqqq，2max4117( )48qg xqmin( )( 1)234g xgq 解得所以存在满足题意2q 2q 点拨：由于幂函数的形式各种各样，其图象和性质较为复杂，但我们可以通过对几个常见的幂函数的分析与研究，得到一般幂函数的有关性质，记住这些结论，就可以帮助我们对一些命题作出判断本专题试题训练详见试题精练