2016年四川省高考数学试卷（理科）.doc

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1、第 1 页（共 27 页）2016 年四川省高考数学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A=x|2x2，Z 为整数集，则 AZ 中元素的个数是（ ）A3B4C5D62 （5 分）设 i 为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含 x4的项为（ ）A15x4B15x4C20ix4D20ix43 （5 分）为了得到函数 y=sin（2x）的图象，只需把函数 y=sin2x 的图

2、象上所有的点（ ）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度4 （5 分）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）A24B48C60D725 （5 分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A2018 年 B2019 年 C2020 年 D2021 年6 （5 分

3、）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（ ）第 2 页（共 27 页）A9B18C20D357 （5 分）设 p：实数 x，y 满足（x1）2+（y1）22，q：实数 x，y 满足，则 p 是 q 的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件8 （5 分）设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px（p0）上任意一点，M 是线段 PF 上的点，

4、且|PM|=2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）ABCD19 （5 分）设直线 l1，l2分别是函数 f（x）=图象上点 P1，P2处的切线，l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB的面积的取值范围是（ ）A （0，1）B （0，2）C （0，+）D （1，+）第 3 页（共 27 页）10 （5 分）在平面内，定点 A，B，C，D 满足=，=2，动点 P，M 满足=1，=，则|2的最大值是（ ）ABCD二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）= 12 （5 分）

5、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 13 （5 分）已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 14 （5 分）若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）=4x，则 f（）+f（2）= 15 （5 分）在平面直角坐标系中，当 P（x，y）不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P（，） ；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C定义为曲线 C 的“伴随曲线”现有下列命题：若

6、点 A 的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”是点 A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”C关于 y 轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是 （写出所有真命题的序列） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤第 4 页（共 27 页）16 （12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x（吨） ，一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费

7、，超出 x 的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图（）求直方图中 a 的值；（）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；（）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨） ，估计 x的值，并说明理由17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若 b2+c2a2=bc，求 tanB18 （12 分

8、）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADE 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90（）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值第 5 页（共 27 页）19 （12 分）已知数列an的首项为 1，Sn为数列an的前 n 项和，Sn+1=qSn+1，其中 q0，nN*（）若 2a2，a3，a2+2 成等差数列，求 an的通项公式；（）设双曲线 x2=1 的离心率为 en，且 e2=，证明：e1+e2+en20 （13

9、分）已知椭圆 E：+=1（ab0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线 l：y=x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T（）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；（）设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P证明：存在常数 ，使得|PT|2=|PA|PB|，并求 的值21 （14 分）设函数 f（x）=ax2alnx，其中 aR（）讨论 f（x）的单调性；（）确定 a 的所有可能取值，使得 f（x）e1x在区间（1，+）内恒成立（e=2.718为自然对数的底数） 第 6 页（共 27 页）2016 年四川省高考数

10、学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A=x|2x2，Z 为整数集，则 AZ 中元素的个数是（ ）A3B4C5D6【分析】由 A 与 Z，求出两集合的交集，即可作出判断【解答】解：A=x|2x2，Z 为整数集，AZ=2，1，0，1，2，则 AZ 中元素的个数是 5，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关

11、键2 （5 分）设 i 为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含 x4的项为（ ）A15x4B15x4C20ix4D20ix4【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案【解答】解：（x+i）6的展开式中含 x4的项为x4i2=15x4，故选：A【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题3 （5 分）为了得到函数 y=sin（2x）的图象，只需把函数 y=sin2x 的图象上所有的点（ ）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度第 7 页（共 27 页）C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数 y=Asin（x+）的

12、图象变换规律，可得结论【解答】解：把函数 y=sin2x 的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x）=sin（2x）的图象，故选：D【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题4 （5 分）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）A24B48C60D72【分析】用 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填 5 个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从 3 个奇数中任选 1 个填入，其它 4 个数在 4 个位置上全排列即可【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 1，3，5 中的一个

13、数，共有 3 种排法，然后还剩 4 个数，剩余的 4 个数可以在十位到万位 4 个位置上全排列，共有=24 种排法由分步乘法计数原理得，由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有 324=72 个故选：D【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题5 （5 分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11

14、，lg2=0.30）A2018 年 B2019 年 C2020 年 D2021 年第 8 页（共 27 页）【分析】设第 n 年开始超过 200 万元，可得 130（1+12%）n2015200，两边取对数即可得出【解答】解：设第 n 年开始超过 200 万元，则 130（1+12%）n2015200，化为：（n2015）lg1.12lg2lg1.3，n2015=3.8取 n=2019因此开始超过 200 万元的年份是 2019 年故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人

15、，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（ ）第 9 页（共 27 页）A9B18C20D35【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 i，v 的值，当i=1 时，不满足条件 i0，跳出循环，输出 v 的值为 18【解答】解：初始值 n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=12+2=4i=1 v=42+1=9i=0 v=92+0=18i=1 跳出循环，输出 v 的值为 18故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程

16、序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的 i，v 的值是解题的关键，属于基础题7 （5 分）设 p：实数 x，y 满足（x1）2+（y1）22，q：实数 x，y 满足第 10 页（共 27 页），则 p 是 q 的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】画出 p，q 表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案【解答】解：（x1）2+（y1）22 表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界） ；满足的可行域如图有阴影部分所示，故 p 是 q 的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档8

17、（5 分）设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px（p0）上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）ABCD1【分析】由题意可得 F（，0） ，设 P（，y0） ，要求 kOM的最大值，设第 11 页（共 27 页）y00，运用向量的加减运算可得=+=（+，） ，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值【解答】解：由题意可得 F（，0） ，设 P（，y0） ，显然当 y00，kOM0；当 y00，kOM0要求 kOM的最大值，设 y00，则=+=+=+（）=+=（+，） ，可得 kOM=，当且仅当 y02=2p

18、2，取得等号故选：C【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题9 （5 分）设直线 l1，l2分别是函数 f（x）=图象上点 P1，P2处的切线，l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB的面积的取值范围是（ ）A （0，1）B （0，2）C （0，+）D （1，+）【分析】设出点 P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线 l1与 l2的斜率，由两直线垂直求得 P1，P2的横坐标的乘积为 1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得 A，B 两点的纵坐标，得到|AB|，联

19、立两直线方程求得 P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB 的面积的取值范围【解答】解：设 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） （0x11x2） ，第 12 页（共 27 页）当 0x1 时，f（x）=，当 x1 时，f（x）=，l1的斜率，l2的斜率，l1与 l2垂直，且 x2x10，即 x1x2=1直线 l1：，l2：取 x=0 分别得到 A（0，1lnx1） ，B（0，1+lnx2） ，|AB|=|1lnx1（1+lnx2）|=|2（lnx1+lnx2）|=|2lnx1x2|=2联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x=，|AB|xP|=函数 y=x+在（0

20、，1）上为减函数，且 0x11，则，PAB 的面积的取值范围是（0，1） 故选：A【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题10 （5 分）在平面内，定点 A，B，C，D 满足=，=2，动点 P，M 满足=1，=，则|2的最大值是（ ）ABCD【分析】由=，可得 D 为ABC 的外心，又=，可得可得 D 为ABC 的垂心，则 D 为ABC 的中心，即ABC 为正三角第 13 页（共 27 页）形运用向量的数量积定义可得ABC 的边长，以 A 为坐标原点，AD 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy，求得 B，C 的

21、坐标，再设 P（cos，sin） ，（02） ，由中点坐标公式可得 M 的坐标，运用两点的距离公式可得 BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值【解答】解：由=，可得 D 为ABC 的外心，又=，可得（）=0，（）=0，即=0，即有，可得 D 为ABC 的垂心，则 D 为ABC 的中心，即ABC 为正三角形由=2，即有|cos120=2，解得|=2，ABC 的边长为 4cos30=2，以 A 为坐标原点，AD 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy，可得 B（3，） ，C（3，） ，D（2，0） ，由=1，可设 P（cos，sin） ， （02） ，由=，可得

22、 M 为 PC 的中点，即有 M（，） ，则|2=（3）2+（+）2=+=，当 sin（）=1，即 =时，取得最大值，且为故选：B第 14 页（共 27 页）【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）= 【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值【解答】解：cos2sin2=cos（2）=cos=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函

23、数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键12 （5 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在 2 次试验中成功次数 XB（2，） ，由此能求出在 2 次试验中成功次数 X 的均值E（X） 【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，第 15 页（共 27 页）这次试验成功的概率 p=1（）2=，在 2 次试验中成功次数 XB（2，） ，在 2 次试验中成功次数 X 的均值 E（X）=故答案为：

24、【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用13 （5 分）已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为 1，棱锥的高为 1，进而得到答案【解答】解：三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为 2，高为 1，棱锥的高为 1，故棱锥的体积 V=（21）1=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关

25、键14 （5 分）若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）=4x，则 f（）+f（2）= 2 【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可【解答】解：函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，第 16 页（共 27 页）f（x）=4x，f（2）=f（0）=0，f（）=f（+2）=f（）=f（）=2，则 f（）+f（2）=2+0=2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键15 （5 分）在平面直角坐标系中，当 P（x，y）不是原点时，定义 P 的“伴随点

26、”为 P（，） ；当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C定义为曲线 C 的“伴随曲线”现有下列命题：若点 A 的“伴随点”是点 A，则点 A的“伴随点”是点 A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线”C关于 y 轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是 （写出所有真命题的序列） 【分析】利用新定义，对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若点 A（x，y）的“伴随点”是点 A（，） ，则点A（，）的“伴随点”是点（x，y） ，故不正确；由可知，单位圆的“伴随曲线”是它自

27、身，故正确；若曲线 C 关于 x 轴对称，点 A（x，y）关于 x 轴的对称点为（x，y） ， “伴随点”是点 A（，） ，则其“伴随曲线”C关于 y 轴对称，故正确；第 17 页（共 27 页）设直线方程为 y=kx+b（b0） ，点 A（x，y）的“伴随点”是点 A（m，n） ，则点 A（x，y）的“伴随点”是点 A（，） ，x=，y=m=，代入整理可得n1=0 表示圆，故不正确故答案为：【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证

28、明过程或演算步骤算步骤16 （12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x（吨） ，一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图（）求直方图中 a 的值；（）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；（）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准

29、 x（吨） ，估计 x的值，并说明理由第 18 页（共 27 页）【分析】 （）根据各组的累积频率为 1，构造方程，可得 a 值；（）由图可得月均用水量不低于 3 吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于 3 吨的人数；（）由图可得月均用水量低于 2.5 吨的频率及月均用水量低于 3 吨的频率，进而可得 x 值【解答】解：（）0.5（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，a=0.3；（）由图可得月均用水量不低于 3 吨的频率为：0.5（0.12+0.08+0.04）=0.12，由 300.12=3.6 得：全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数约为 3

30、.6 万；（）由图可得月均用水量低于 2.5 吨的频率为：0.5（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.7385%；月均用水量低于 3 吨的频率为：0.5（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.8885%；则 x=2.5+0.5=2.9 吨【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；第 19 页（共 27 页）（）若 b2+c2a2=bc，求 tanB【分析】 （）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整

31、理，利用正弦定理，即可证明（）由余弦定理求出 A 的余弦函数值，利用（）的条件，求解 B 的正切函数值即可【解答】 （）证明：在ABC 中，+=，由正弦定理得：，=，sin（A+B）=sinC整理可得：sinAsinB=sinC，（）解：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得 cosA=sinA=，=+=1，=，tanB=4【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADE 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD

32、 所成的角为 90（）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由；（）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值第 20 页（共 27 页）【分析】 （I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，由点 E 为 AD 的中点，可得AE=ED=AD，由 BC=CD=AD，可得 ED=BC，已知 EDBC可得四边形 BCDE为平行四边形，即 EBCD利用线面平行的判定定理证明得直线 CM平面PBE 即可（II）如图所示，由ADC=PAB=90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90ABCD=M，可得 AP平面 ABCD由 CDPD，PA

33、AD因此PDA 是二面角PCDA 的平面角，大小为 45PA=AD不妨设 AD=2，则 BC=CD=AD=1可得P（0，0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出【解答】解：（I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，点 E 为 AD 的中点，AE=ED=AD，BC=CD=AD，ED=BC，ADBC，即 EDBC四边形 BCDE 为平行四边形，即 EBCDABCD=M，MCD，CMBE，BE平面 PBE，CM平面 PBE，MAB，AB平面 PAB，M平面 PAB，故在平面 PAB 内可以找到一点 M（M=ABCD） ，使得直线CM平

34、面 PBE（II）如图所示，ADC=PAB=90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90，ABCD=M，AP平面 ABCDCDPD，PAAD因此PDA 是二面角 PCDA 的平面角，大小为 45PA=AD第 21 页（共 27 页）不妨设 AD=2，则 BC=CD=AD=1P（0，0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ，=（1，1，0） ，=（0，1，2） ，=（0，0，2） ，设平面 PCE 的法向量为 =（x，y，z） ，则，可得：令 y=2，则 x=2，z=1， =（2，2，1） 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ，则 sin=【点评】本题考查了空间位置关系、空间角

35、计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题19 （12 分）已知数列an的首项为 1，Sn为数列an的前 n 项和，Sn+1=qSn+1，其中 q0，nN*（）若 2a2，a3，a2+2 成等差数列，求 an的通项公式；（）设双曲线 x2=1 的离心率为 en，且 e2=，证明：e1+e2+en【分析】 （）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列an为首项等于1、公比为 q 的等比数列，再根据 2a2，a3，a2+2 成等差数列求得公比 q 的值，可得an的通项公式第 22 页（共 27 页）（）利用双曲线的定义和简单性质求得 en=，根据 e2=，求得 q

36、的值，可得an的解析式，再利用放缩法可得en=，从而证得不等式成立【解答】解：（）Sn+1=qSn+1 ，当 n2 时，Sn=qSn1+1 ，两式相减可得 an+1=qan，即从第二项开始，数列an为等比数列，公比为 q当 n=1 时，数列an的首项为 1，a1+a2=S2=qa1+1，a2 =a1q，数列an为等比数列，公比为 q2a2，a3，a2+2 成等差数列，2a3 =2a2+a2+2，2q2=2q+q+2，求得 q=2，或 q=根据 q0，故取 q=2，an=2n1，nN*（）证明：设双曲线 x2=1 的离心率为 en，en=由于数列an为首项等于 1、公比为 q 的等比数列，e2=

37、，q=，an=，en=e1+e2+en1+=，原不等式得证【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，双曲线的简单性质，属于难题20 （13 分）已知椭圆 E：+=1（ab0）的两个焦点与短轴的一个端点第 23 页（共 27 页）是直角三角形的 3 个顶点，直线 l：y=x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T（）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；（）设 O 是坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于点 P证明：存在常数 ，使得|PT|2=|PA|PB|，并求 的值【分析】 （）根据椭圆的短轴端点 C 与左右焦点

38、F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线 l 与椭圆 E 只有一个交点，利用判别式=0，即可求出椭圆 E 的方程和点 T 的坐标；（） 【解法一】作伸缩变换，令 x=x，y=y，把椭圆 E 变为圆 E，利用圆幂定理求出 的值，从而证明命题成立【解法二】设出点 P 的坐标，根据 lOT 写出 l的参数方程，代入椭圆 E 的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=|PA|PB|求出 的值【解答】解：（）设短轴一端点为 C（0，b） ，左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ，其中 c0，则 c2+b2=a2；由题意，F1F2C 为直角三角

39、形，=+，解得 b=c=a，椭圆 E 的方程为+=1；代入直线 l：y=x+3，可得 3x212x+182b2=0，又直线 l 与椭圆 E 只有一个交点，则=12243（182b2）=0，解得 b2=3，椭圆 E 的方程为+=1；由 b2=3，解得 x=2，则 y=x+3=1，所以点 T 的坐标为（2，1） ；（） 【解法一】作伸缩变换，令 x=x，y=y，第 24 页（共 27 页）则椭圆 E 变为圆 E：x2+y2=6，设此时 P、A、B、T 对应的点分别为 P、A、B、T，如图所示；则=，=，两式相比，得：=，由圆幂定理得，|PT|2=|PA|PB|，所以=，即 =，原命题成立【解法二】

40、设 P（x0，3x0）在 l 上，由 kOT=，l平行 OT，得 l的参数方程为，代入椭圆 E 中，得+2=6，整理得 2t2+4t+4x0+4=0；设两根为 tA，tB，则有 tAtB=；而|PT|2=2，|PA|=|tA|，第 25 页（共 27 页）|PB|=|tB|，且|PT|2=|PA|PB|，=，即存在满足题意的 值【另解】 ，判断出 c=b，e=，经仿射变换=EO：x2+y2=a2；lPTlPT：x+y3=0；=a=，b=a=，E：+=1；设 T（x0，y0） ，PT 为切线也是极线方程：+=1x0x+2y0y6=02x+2y6=0，T（2，1） ；证明：由图知，根据圆幂定理：|

41、PT|2=|PA|PB|，KOT=，KOT=，KPT=1，KPT=，|PT|2=|PA|PB|，=，又=，对比 =，原命题成立第 26 页（共 27 页）【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题21 （14 分）设函数 f（x）=ax2alnx，其中 aR（）讨论 f（x）的单调性；（）确定 a 的所有可能取值，使得 f（x）e1x在区间（1，+）内恒成立（e=2.718为自然对数的底数） 【分析】 （I）利用导数的运算法则得出 f（x） ，通过对 a 分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；

42、（）令 g（x）=f（x）+e1x=ax2lnx+e1xa，可得 g（1）=0，从而 g（1）0，解得得 a，又，当 a时，F（x）=2a+e1x，可得 F（x）在 a时恒大于 0，即 F（x）在 x（1，+）单调递增由 F（x）F（1）=2a10，可得 g（x）也在 x（1，+）单调递增，进而利用 g（x）g（1）=0，可得 g（x）在 x（1，+）上恒大于 0，综合可得 a 所有可能取值【解答】解：（）由题意，f（x）=2ax=，x0，当 a0 时，2ax210，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减当 a0 时，f（x）=，当 x（0，）时，f（x）0，当 x（，+）时，f（x）0，

43、故 f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增（）原不等式等价于 f（x）+e1x0 在 x（1+）上恒成立，一方面，令 g（x）=f（x）+e1x=ax2lnx+e1xa，第 27 页（共 27 页）只需 g（x）在 x（1+）上恒大于 0 即可，又g（1）=0，故 g（x）在 x=1 处必大于等于 0令 F（x）=g（x）=2ax+e1x，g（1）0，可得 a另一方面，当 a时，F（x）=2a+1+=+e1x，x（1，+） ，故 x3+x20，又 e1x0，故 F（x）在 a时恒大于 0当 a时，F（x）在 x（1，+）单调递增F（x）F（1）=2a10，故 g（x）也在 x（1，+）单调递增g（x）g（1）=0，即 g（x）在 x（1，+）上恒大于 0综上，a【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键