2013年四川省高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 26 页）2013 年四川省高考数学试卷（文科）年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A=1，2，3，集合 B=2，2，则 AB=（ ）AB2 C2，2 D2，1，2，32 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）A棱柱B棱台C圆柱D圆台3 （5 分）如图，在复平面内，点 A 表示复数 z 的共轭复数，则复数 z 对应的点是（ ）AABBCCDD4

2、 （5 分）设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集若命题p：xA，2xB，则（ ）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB5 （5 分）抛物线 y2=8x 的焦点到直线的距离是（ ）AB2CD16 （5 分）函数 f（x）=2sin（x+） （0，）的部分图象如图所第 2 页（共 26 页）示，则 ， 的值分别是（ ）ABCD7 （5 分）某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示以组距为 5 将数据分组成0，5） ，5，10） ，30，35） ，35，40时，所作的频率分布直方图是（ ）ABCD8 （5 分）

3、若变量 x，y 满足约束条件且 z=5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是（ ）A48B30C24D16第 3 页（共 26 页）9 （5 分）从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且ABOP（O 是坐标原点） ，则该椭圆的离心率是（ ）ABCD10 （5 分）设函数 f（x）=（aR，e 为自然对数的底数） 若存在b0，1使 f（f（b） ）=b 成立，则 a 的取值范围是（ ）A1，e B1，1+eCe，1+eD0，1二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题

4、 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）lg+lg的值是 12 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，+=，则 = 13 （5 分）已知函数 f（x）=4x+（x0，a0）在 x=3 时取得最小值，则 a= 14 （5 分）设 sin2=sin，（，） ，则 tan2 的值是 15 （5 分）在平面直角坐标系内，到点 A（1，2） ，B（1，5） ，C（3，6） ，D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤

5、16 （12 分）在等比数列an中，a2a1=2，且 2a2为 3a1和 a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前 n 项和17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos（AB）cosBsin（AB）sin（A+C）=（）求 sinA 的值；第 4 页（共 26 页）（）若 a=4，b=5，求向量在方向上的投影18 （12 分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率Pi（i=1，2，3） ；（）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，

6、各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录了输出 y 的值为 i（i=1，2，3）的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表（部分） 运行次数n输出 y的值为 1 的频数输出 y的值为 2 的频数输出 y的值为 3 的频数301461021001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n输出 y的值为 1 的频数输出 y的值为 2 的频数输出 y的值为 3 的频数301211721001051696353当 n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为第 5 页（共 26 页）i（i=1，2，3）的频率（用分数表示） ，并判断两位同学中哪一位

7、所编写程序符合算法要求的可能性较大19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面ABC，AB=AC=2AA1=2，BAC=120，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 上异于端点的点（）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（）设（）中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC1D 的体积 （锥体体积公式：，其中 S 为底面面积，h 为高）20 （13 分）已知圆 C 的方程为 x2+（y4）2=4，点 O 是坐标原点直线 l：y=kx与圆 C 交于 M，N 两点

8、（）求 k 的取值范围；（）设 Q（m，n）是线段 MN 上的点，且请将 n 表第 6 页（共 26 页）示为 m 的函数21 （14 分）已知函数，其中 a 是实数设A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2） ）为该函数图象上的两点，且 x1x2（）指出函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，证明：x2x11；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围第 7 页（共 26 页）2013 年四川省高考数学试卷（文科）年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、

9、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A=1，2，3，集合 B=2，2，则 AB=（ ）AB2 C2，2 D2，1，2，3【分析】找出 A 与 B 的公共元素即可求出交集【解答】解：集合 A=1，2，3，集合 B=2，2，AB=2故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）A棱柱B棱台C圆柱D圆台【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、

10、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台故选：D【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空第 8 页（共 26 页）间想象能力方面的考查3 （5 分）如图，在复平面内，点 A 表示复数 z 的共轭复数，则复数 z 对应的点是（ ）AABBCCDD【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点 A 表示复数 z 的共轭复数的点即可【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于 x 轴对称所以点 A 表示复数 z 的共轭复数的点是 B故选：

11、B【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查4 （5 分）设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集若命题p：xA，2xB，则（ ）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB【分析】 “全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题 p：xA，2xB 的否定是：p：xA，2xB故选：C【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识属于基础题命题的否定即命题的对立面 “全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相第 9 页（共 26 页）反的表述如“对所有的都成立”

12、与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， “存在性命题”的否定一定是“全称命题”5 （5 分）抛物线 y2=8x 的焦点到直线的距离是（ ）AB2CD1【分析】由抛物线 y2=8x 得焦点 F（2，0） ，再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离【解答】解：由抛物线 y2=8x 得焦点 F（2，0） ，点 F（2，0）到直线的距离 d=1故选：D【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键6 （5 分）函数 f（x）=2sin（x+） （0，）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）ABCD【分析】根据函数在

13、同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值，求出函数的周期 T=，解得 =2由函数当 x=时取得最大值 2，得到+=+k（kZ） ，取 k=0 得到 =由此即可得到本题的答案【解答】解：在同一周期内，函数在 x=时取得最大值，x=时取得最小值，函数的周期 T 满足=，第 10 页（共 26 页）由此可得 T=，解得 =2，得函数表达式为 f（x）=2sin（2x+）又当 x=时取得最大值 2，2sin（2+）=2，可得+=+2k（kZ），取 k=0，得 =故选：A【点评】本题给出 y=Asin（x+）的部分图象，求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数 y=Asin（x+）的图象变换等

14、知识，属于基础题7 （5 分）某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示以组距为 5 将数据分组成0，5） ，5，10） ，30，35） ，35，40时，所作的频率分布直方图是（ ）ABCD【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图第 11 页（共 26 页）【解答】解：根据题意，频率分布表可得：分组频数频率0，5）10.055，10）10.0510，15）40.2030，35）30.1535，40）20.10合计1001.00进而可以作频率直方图可得：故选：A【点评】本题考

15、查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用8 （5 分）若变量 x，y 满足约束条件且 z=5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是（ ）A48B30C24D16【分析】先根据条件画出可行域，设 z=5yx，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点 B（8，0）时的最小值，过点 A（4，4）时，5yx 最大，从而得到 ab 的值第 12 页（共 26 页）【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示在坐标系中画出可行域，平移直线 5yx=0，经过点 B（8，0）时，5yx 最小，最小值为：8，则目标

16、函数 z=5yx 的最小值为8经过点 A（4，4）时，5yx 最大，最大值为：16，则目标函数 z=5yx 的最大值为 16z=5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是：24故选：C【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9 （5 分）从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且ABOP（O 是坐标原点） ，则该椭圆的离心率是（ ）ABCD【分析】依题意，可求得点 P 的坐标 P（c，） ，由 ABOPkAB=kO

17、Pb=c，从而可得答案【解答】解：依题意，设 P（c，y0） （y00） ，第 13 页（共 26 页）则+=1，y0=，P（c，） ，又 A（a，0） ，B（0，b） ，ABOP，kAB=kOP，即=，b=c设该椭圆的离心率为 e，则 e2=，椭圆的离心率 e=故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点 P 的坐标（c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题10 （5 分）设函数 f（x）=（aR，e 为自然对数的底数） 若存在b0，1使 f（f（b） ）=b 成立，则 a 的取值范围是（ ）A1，e B1，1+eCe，1+eD0，1【分析】根据题意，问题转化为“存在 b0，1，使 f

18、（b）=f1（b） ”，即y=f（x）的图象与函数 y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标 b0，1由y=f（x）的图象与 y=f1（x）的图象关于直线 y=x 对称，得到函数 y=f（x）的图象与 y=x 有交点，且交点横坐标 b0，1因此，将方程化简整理得 ex=x2x+a，记 F（x）=ex，G（x）=x2x+a，由零点存在性定理建立关于 a 的不等式组，解之即可得到实数 a 的取值范围【解答】解：由 f（f（b） ）=b，可得 f（b）=f1（b）第 14 页（共 26 页）其中 f1（x）是函数 f（x）的反函数因此命题“存在 b0，1使 f（f（b） ）=b 成立”，转化为“存

19、在 b0，1，使 f（b）=f1（b） ”，即 y=f（x）的图象与函数 y=f1（x）的图象有交点，且交点的横坐标 b0，1，y=f（x）的图象与 y=f1（x）的图象关于直线 y=x 对称，y=f（x）的图象与函数 y=f1（x）的图象的交点必定在直线 y=x 上，由此可得，y=f（x）的图象与直线 y=x 有交点，且交点横坐标 b0，1，根据，化简整理得 ex=x2x+a记 F（x）=ex，G（x）=x2x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，可得，即，解之得 1ae即实数 a 的取值范围为1，e故选：A【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在 b0，1使f（f（b） ）=b

20、 成立的情况下，求参数 a 的取值范围着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）lg+lg的值是 1 【分析】直接利用对数的运算性质求解即可第 15 页（共 26 页）【解答】解：=1故答案为：1【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查12 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，+=，则 = 【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形

21、，对角线 AC 与 BD 交于点 O，+=，又 O 为 AC 的中点，=2，+=2，+=，=2故答案为：2【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题13 （5 分）已知函数 f（x）=4x+（x0，a0）在 x=3 时取得最小值，则 a= 36 【分析】由题设函数在 x=3 时取得最小值，可得 f（3）=0，解此方程即可得出 a 的值【解答】解：由题设函数在 x=3 时取得最小值，x（0，+） ，得 x=3 必定是函数的极值点，f（3）=0，第 16 页（共 26 页）f（x）=4，即 4=0，解得 a=36故答案为：36【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，

22、解题的关键是理解“函数在 x=3 时取得最小值”，将其转化为 x=3 处的导数为 0 等量关系14 （5 分）设 sin2=sin，（，） ，则 tan2 的值是 【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据 sin 不为 0 求出cos 的值，由 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin 的值，进而求出 tan 的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将 tan 的值代入计算即可求出值【解答】解：sin2=2sincos=sin，（，） ，cos=，sin=，tan=，则 tan2=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，

23、熟练掌握公式是解本题的关键15 （5 分）在平面直角坐标系内，到点 A（1，2） ，B（1，5） ，C（3，6） ，D（7，1）的距离之和最小的点的坐标是 （2，4） 【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点 P，利用三角形中两边之和大于第三边得 PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD 对角线的交点 Q 即为所求距离之和最小的点再利用两点式方程求解对第 17 页（共 26 页）角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点 P，P 到点 A（1，2） ，B（1，5） ，C（3，6） ，D（7

24、，1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PCBD+AC=QA+QB+QC+QD，故四边形 ABCD 对角线的交点 Q 即为所求距离之和最小的点A（1，2） ，B（1，5） ，C（3，6） ，D（7，1） ，AC，BD 的方程分别为：，即 2xy=0，x+y6=0解方程组得 Q（2，4） 故答案为：（2，4） 【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算

25、步骤16 （12 分）在等比数列an中，a2a1=2，且 2a2为 3a1和 a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前 n 项和【分析】等比数列的公比为 q，由已知可得，a1qa1=2，4，解方程可求 q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求第 18 页（共 26 页）【解答】解：设等比数列的公比为 q，由已知可得，a1qa1=2，4联立可得，a1（q1）=2，q24q+3=0或 q=1（舍去）=【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos（AB）cosBsin（AB）si

26、n（A+C）=（）求 sinA 的值；（）若 a=4，b=5，求向量在方向上的投影【分析】 （）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出 A的余弦值，然后求 sinA 的值；（）利用，b=5，结合正弦定理，求出 B 的正弦函数，求出 B 的值，利用余弦定理求出 c 的大小，然后求解向量在方向上的投影【解答】解：（）由，可得，即，即，因为 0A，所以（）由正弦定理，所以=，由题意可知 ab，即 AB，所以 B=，第 19 页（共 26 页）由余弦定理可知解得 c=1，c=7（舍去） 向量在方向上的投影：=ccosB=【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数

27、的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想18 （12 分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率Pi（i=1，2，3） ；（）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录了输出 y 的值为 i（i=1，2，3）的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表（部分） 运行次数n输出 y的值为 1 的频数输出 y的值为 2 的频数输出 y的值为 3 的频数301461021001027376697乙的频数统计表（部分）运行次数输

28、出 y的值为 1 的频数输出 y的值为 2 的频数输出 y的值为 3 的频数第 20 页（共 26 页）n301211721001051696353当 n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示） ，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大【分析】 （I）由题意可知，当 x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，当 x 从 6，12，18，

29、24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，从而得出输出 y 的值为 1 的概率为；输出 y 的值为 2 的概率为；输出 y 的值为 3 的概率为；（II）当 n=2100 时，列出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大【解答】解：（I）当 x 从 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这 12第 21 页（共 26 页）个数中产生时，输出 y 的值为 1，故 P1=；当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 P

30、2=；当 x 从 6，12，18，24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，故 P3=；输出 y 的值为 1 的概率为；输出 y 的值为 2 的概率为；输出 y 的值为 3 的概率为；（II）当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i（i=1，2，3）的频率如下：输出 y 的值为 1的频率输出 y 的值为 2的频率输出 y 的值为 3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面A

31、BC，AB=AC=2AA1=2，BAC=120，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 上异于端点的点（）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（）设（）中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1QC1D 的体积 （锥体体积公式：，其中 S 为底面面积，h 为高）第 22 页（共 26 页）【分析】 （）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线 l 与平面 A1BC 平行等腰三角形 ABC 中，根据等腰三角形中线的性质可得 ADBC，故 l

32、AD再由AA1底面 ABC，可得 AA1l再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线 l平面 ADD1A1 （）过点 D 作 DEAC，证明 DE平面 AA1C1C直角三角形 ACD 中，求出AD 的值，可得 DE 的值，从而求得 =的值，再根据三棱锥 A1QC1D 的体积 =DE，运算求得结果【解答】解：（）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行，由于直线 l 不在平面 A1BC 内，而 BC 在平面 A1BC 内，故直线 l 与平面 A1BC 平行三角形 ABC 中，AB=AC=2AA1=2，BAC=120，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，ADBC，lAD再由 AA

33、1底面 ABC，可得 AA1l而 AA1AD=A，直线 l平面 ADD1A1 （）设（）中的直线 l 交 AC 于点 Q，过点 D 作 DEAC，侧棱 AA1底面 ABC，故三棱柱 ABCA1B1C 为直三棱柱，故 DE平面 AA1C1C直角三角形 ACD 中，AC=2，CAD=60，AD=ACcos60=1，DE=ADsin60=1，三棱锥 A1QC1D 的体积 第 23 页（共 26 页）=DE=1=【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题20 （13 分）已知圆 C 的方程为 x2+（y4）2=4，点 O 是坐标原点直线 l：y=kx

34、与圆 C 交于 M，N 两点（）求 k 的取值范围；（）设 Q（m，n）是线段 MN 上的点，且请将 n 表示为 m 的函数【分析】 （）将直线 l 方程与圆 C 方程联立消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可得到 k 的取值范围；（）由 M、N 在直线 l 上，设点 M、N 坐标分别为（x1，kx1） ， （x2，kx2） ，利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出 x1+x2与 x1x2，用 k 表示出 m，由 Q 在直线

35、 y=kx 上，将 Q 坐标代入直线 y=kx 中表示出 k，代入得出的关系式中，用 m 表示出 n 即可得出 n 关于 m 的函数解析式，并求出 m 的范围即可【解答】解：（）将 y=kx 代入 x2+（y4）2=4 中，得：（1+k2）x28kx+12=0（*） ，根据题意得：=（8k）24（1+k2）120，即 k23，则 k 的取值范围为（，）（，+） ；（）由 M、N、Q 在直线 l 上，可设 M、N 坐标分别为（x1，kx1） ， （x2，kx2） ，|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，第 24

36、 页（共 26 页）即=+=，由（*）得到 x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即 m2=，点 Q 在直线 y=kx 上，n=km，即 k=，代入 m2=，化简得5n23m2=36，由 m2=及 k23，得到 0m23，即 m（，0）（0，） ，根据题意得点 Q 在圆内，即 n0，n=，则 n 与 m 的函数关系式为 n=（m（，0）（0，） ） 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题21 （14 分）已知函数，其中 a 是实数设A（x1，f（x1） ） ，B（x2，

37、f（x2） ）为该函数图象上的两点，且 x1x2（）指出函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，证明：x2x11；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围【分析】 （I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数 f（x）的单调区间；第 25 页（共 26 页）（II）由导数的几何意义知，点 A 处的切线的斜率为 f（x1） ，点 B 处的切线的斜率为 f（x2） ，再利用 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直时，斜率之积等于1，得出（2x1+2） （2x2+2）=1，最后

38、利用基本不等式即可证得 x2x11；（III）先根据导数的几何意义写出函数 f（x）在点 A、B 处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出 a=lnx2+（）21，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出 a 的取值范围【解答】解：（I）函数 f（x）的单调减区间（，1） ，函数 f（x）的单调增区间1，0） ， （0，+） ；（II）由导数的几何意义知，点 A 处的切线的斜率为 f（x1） ，点 B 处的切线的斜率为 f（x2） ，函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直时，有 f（x1）f（x2）=1，当 x0 时， （2x1+2） （2x2+2）=1，x1

39、x20，2x1+20，2x2+20，x2x1=（2x1+2）+（2x2+2）=1，若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，有 x2x11；（III）当 x1x20，或 0x1x2时，f（x1）f（x2） ，故 x10x2，当 x10 时，函数 f（x）在点 A（x1，f（x1） ）处的切线方程为y（x+2x1+a）=（2x1+2） （xx1） ；当 x20 时，函数 f（x）在点 B（x2，f（x2） ）处的切线方程为 ylnx2=（xx2） ；两直线重合的充要条件是，由及 x10x2得 02，由得 a=lnx2+（）21=ln+（）21，令 t=，则 0t2，且 a=t2tlnt，设 h（t）=t2tlnt， （0t2）第 26 页（共 26 页）则 h（t）=t1=，h（t）在（0，2）为减函数，则 h（t）h（2）=ln21，aln21，若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，a 的取值范围（ln21，+） 【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值