2013年辽宁省高考数学试卷（理科）.doc-得力文库

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1、第 1 页（共 28 页）2013 年辽宁省高考数学试卷（理科）年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数的模长为（）ABCD22 （5 分）已知集合 A=x|0log4x1，B=x|x2，则 AB=（）A （0，1）B （0，2 C （1，2） D （1，23 （5 分）已知点 A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD4 （5 分）下列关于公差 d0

2、的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列；其中真命题是（）Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p45 （5 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D60第 2 页（共 28 页）6 （5 分）在ABC，内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且 ab，则B=（）AB

3、CD7 （5 分）使得（3x+）n（nN+）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（）A4B5C6D78 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的 S=（）ABCD9 （5 分）已知点 O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若OAB 为直角三角形，则必有（）Ab=a3BCD10 （5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球 O 的半径为（）ABCD11 （5 分）已知函数 f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），

4、g（x），H2（x）=minf（x），g（x），（maxp，q）表示 p，q 中的较大值，minp，q表示 p，q 中的较小值），记 H1（x）的最小值第 3 页（共 28 页）为 A，H2（x）的最大值为 B，则 AB=（）A16B16 C16a22a16D16a2+2a1612 （5 分）设函数 f（x）满足 x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则 x0 时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）某几何体的三视图如图

5、所示，则该几何体的体积是 14 （5 分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前 n 项和若 a1，a3是方程 x25x+4=0 的两个根，则 S6= 15 （5 分）已知椭圆的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，则 C 的离心率 e= 16 （5 分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出

6、文字说明、证明过程或演算步骤.第 4 页（共 28 页）17 （12 分）设向量，（1）若，求 x 的值；（2）设函数，求 f（x）的最大值18 （12 分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点（）求证：平面 PAC平面 PBC；（）若 AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角 CPBA 的余弦值19 （12 分）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3道题解答（）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；（）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用

7、X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望20 （12 分）如图，抛物线 C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点 M（x0，y0）在抛物线 C2上，过 M 作 C1的切线，切点为 A，B（M 为原点 O 时，A，B 重合于O），当 x0=1时，切线 MA 的斜率为（）求 P 的值；（）当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程（A，B 重合于 O 时，中点为 O）第 5 页（共 28 页）21 （12 分）已知函数 f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若 f（x）g（x）恒成立，求实数

8、a 的取值范围请考生在请考生在 21、22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （10 分）选修 41：几何证明选讲如图，AB 为O 直径，直线 CD 与O 相切与 E，AD 垂直于 CD 于 D，BC 垂直于 CD 于 C，EF 垂直于 F，连接 AE，BE证明：（I）FEB=CEB；（II）EF2=ADBC23在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 =4sin，cos（）=2（）求 C1与 C2交点的极坐标；（）设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1

10、目要求的项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）复数的模长为（）ABCD2【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【解答】解：复数，所以=故选：B【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力2 （5 分）已知集合 A=x|0log4x1，B=x|x2，则 AB=（）A （0，1）B （0，2 C （1，2） D （1，2【分析】求出集合 A 中其他不等式的解集，确定出 A，找出 A 与 B 的公共部分即可求出交集【解答】解：由 A 中的不等式变形得：log41log4xlog44，解得：1x4，即 A=（1，4），B=（，2，AB=（1，2故选：D【点评】此题考查了交集及其

11、运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3 （5 分）已知点 A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）第 8 页（共 28 页）ABCD【分析】由条件求得 =（3，4），|=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果【解答】解：已知点 A（1，3），B（4，1），=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5，则与向量同方向的单位向量为 =，故选：A【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题4 （5 分）下列关于公差 d0 的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列

12、an+3nd是递增数列；其中真命题是（）Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4【分析】对于各个选项中的数列，计算第 n+1 项与第 n 项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论【解答】解：对于公差 d0 的等差数列an，an+1an=d0，命题 p1：数列an是递增数列成立，是真命题对于数列nan，第 n+1 项与第 n 项的差等于（n+1）an+1nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，故 p2不正确，是假命题对于数列，第 n+1 项与第 n 项的差等于 =第 9 页（共 28 页），不一定是正实数，故 p3不正确，是假命题对于数列an+3nd，第 n+1 项与第

13、 n 项的差等于 an+1+3（n+1）dan3nd=4d0，故命题 p4：数列an+3nd是递增数列成立，是真命题故选：D【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题5 （5 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D60【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于 60 分的频率，结合已知中的低于 60 分的人数是 15 人，结合频数=频率总体容量，即可得到总体容量【解答】

14、解：成绩低于 60 分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为 0.005，0.01，每组数据的组距为 20，则成绩低于 60 分的频率 P=（0.005+0.010）20=0.3，又低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是=50故选：B第 10 页（共 28 页）【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键6 （5 分）在ABC，内角 A，B，C 所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且 ab，则B=（）ABCD【分析】利用正弦定理化简已

15、知的等式，根据 sinB 不为 0，两边除以 sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出 sinB 的值，即可确定出 B 的度数【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B 为锐角，则B=故选：A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7 （5 分）使得（3x+）n（nN+）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（）A4B5C6D7【分析】利用二项展开式的通项公式 Tr+1=3nr

16、，令 x 的幂指数 nr=0即可求得展开式中含有常数项的最小的 n【解答】解：设（nN+）的展开式的通项为 Tr+1，则：Tr+1=3nrxnr=3nr，第 11 页（共 28 页）令 nr=0 得：n=r，又 nN+，当 r=2 时，n 最小，即 nmin=5故选：B【点评】本题考查二项式系数的性质，求得 nr=0 是关键，考查分析与运算能力，属于中档题8 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的 S=（）ABCD【分析】框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2，在输入 n 的值为10 后，对 i 的值域 n 的值大小加以判断，满足 in，执行，i=

17、i+2，不满足则跳出循环，输出 S【解答】解：输入 n 的值为 10，框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值0 和 2，判断 210 成立，执行，i=2+2=4；判断 410 成立，执行=，i=4+2=6；判断 610 成立，执行，i=6+2=8；判断 810 成立，执行，i=8+2=10；判断 1010 成立，执行，i=10+2=12；第 12 页（共 28 页）判断 1210 不成立，跳出循环，算法结束，输出 S 的值为故选：A【点评】本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题9 （5 分）已知点 O（0，0），A

18、（0，b），B（a，a3），若OAB 为直角三角形，则必有（）Ab=a3BCD【分析】利用已知可得=（a，a3b），=（a，a3），且ab0分以下三种情况：，利用垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：=（a，a3b），=（a，a3），且 ab0若，则=ba3=0，a=0 或 b=0，但是 ab0，应舍去；若，则=b（a3b）=0，b0，b=a30；若，则=a2+a3（a3b）=0，得 1+a4ab=0，即综上可知：OAB 为直角三角形，则必有故选：C【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键10 （5 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球

19、 O 的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球 O 的半径为（）ABCD【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径【解答】解：因为三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若第 13 页（共 28 页）AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面 B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为 AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：故选：C【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力11 （5 分）已知函数 f（x）=x22（

20、a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x），（maxp，q）表示 p，q 中的较大值，minp，q表示 p，q 中的较小值），记 H1（x）的最小值为 A，H2（x）的最大值为 B，则 AB=（）A16B16 C16a22a16D16a2+2a16【分析】先作差得到 h（x）=f（x）g（x）=2（xa）28分别解出 h（x）=0，h（x）0，h（x）0画出图形，利用新定义即可得出 H1（x），H2（x）进而得出 A，B 即可【解答】解：令 h（x）=f（x）g（x）=x22（a+2）x+a2

21、x2+2（a2）xa2+8=2x24ax+2a28=2（xa）28由 2（xa）28=0，解得 x=a2，此时 f（x）=g（x）；由 h（x）0，解得 xa+2，或 xa2，此时 f（x）g（x）；由 h（x）0，解得 a2xa+2，此时 f（x）g（x）综上可知：（1）当 xa2 时，则 H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x）=x（a+2）24a4，H2（x）=minf（x），g（x）=g（x）=x（a2）24a+12，第 14 页（共 28 页）（2）当 a2xa+2 时，H1（x）=maxf（x），g（x）=g（x），H2（x）=minf（x），g（x）=f（x

22、）；（3）当 xa+2 时，则 H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x），H2（x）=minf（x），g（x）=g（x），故 A=g（a+2）=（a+2）（a2）24a+12=4a4，B=g（a2）=4a+12，AB=4a4（4a+12）=16故选：B【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键12 （5 分）设函数 f（x）满足 x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则 x0 时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值【分析】令 F（

23、x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定 f（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论【解答】解：函数 f（x）满足，第 15 页（共 28 页）令 F（x）=x2f（x），则 F（x）=，F（2）=4f（2）=由，得 f（x）=，令（x）=ex2F（x），则（x）=ex2F（x）=（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，（x）的最小值为（2）=e22F（2）=0（x）0又 x0，f（x）0f（x）在（0，+）单调递增f（x）既无极大值也无极小值故选：D【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大二、填空

24、题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 1616 【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可第 16 页（共 28 页）【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为 2，高为 4 的圆筒，四棱柱的底面是边长为 2 的正方形，高也为 4故其体积为：224224=1616，故答案为：1616【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可14 （5 分）已知等比数列an是递增数

25、列，Sn是an的前 n 项和若 a1，a3是方程 x25x+4=0 的两个根，则 S6= 63 【分析】通过解方程求出等比数列an的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前 n 项和公式求前 6 项和【解答】解：解方程 x25x+4=0，得 x1=1，x2=4因为数列an是递增数列，且 a1，a3是方程 x25x+4=0 的两个根，所以 a1=1，a3=4设等比数列an的公比为 q，则，所以 q=2则故答案为 63【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前 n 项和，是基础的计算题15 （5 分）已知椭圆的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF、B

26、F，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，则 C 的第 17 页（共 28 页）离心率 e= 【分析】设椭圆右焦点为 F，连接 AF、BF，可得四边形 AFBF为平行四边形，得|AF|=|BF|=6ABF 中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得AFB=90，所以 c=|OF|=|AB|=5根据椭圆的定义得到 2a=|BF|+|BF|=14，得 a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆 C 的离心率【解答】解：设椭圆的右焦点为 F，连接 AF、BFAB 与 FF互相平分，四边形 AFBF为平行四边形，可得|AF|=|BF|=6ABF 中，|A

27、B|=10，|AF|=6，cosABF=，由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF，可得 62=102+|BF|2210|BF|，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF|=14，得 a=7ABF 中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2AFB=90，可得|OF|=|AB|=5，即 c=5因此，椭圆 C 的离心率 e=故答案为：【点评】本题给出椭圆经过中心的弦 AB 与左焦点构成三边分别为 6、8、10 的直角三角形，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题16 （5 分）为了考察某校各班参加课外小组的人

28、数，从全校随机抽取 5 个班级，第 18 页（共 28 页）把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 10 【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）5=7；方差 s2=（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）25=4从而有 x1+x2+x3+x4+x5=35，（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x5

29、7）2=20若样本数据中的最大值为 11，不妨设 x5=11，则式变为：（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为 4，6，7，8，10，代入验证知式均成立，此时样本数据中的最大值为 10故答案为：10【点评】本题考查的是平均数和方差的求法计算方差的步骤是：计算数据的平均数；计算偏差，即每个数据与平均数的差；计算偏差的平方和；偏差的平方和除以数据个数三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）设向量，（1）若，求 x 的值；（2）设函数，求 f（x）

30、的最大值【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及 x 的范围，可的sinx 的值，从而求得 x 的值（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数 f（x）的解析式为sin（2x）+结合 x 的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得 f（x）的第 19 页（共 28 页）最大值【解答】解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即 sin2x=x0，sinx=，即 x=（2）函数=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+x0，2x，当 2x=，sin（2

31、x）+取得最大值为 1+=【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18 （12 分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点（）求证：平面 PAC平面 PBC；（）若 AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角 CPBA 的余弦值【分析】（）要证平面 PAC平面 PBC，只要证明平面 PBC 经过平面 PAC 的一条垂线 BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC平面 PAC；（）因为平面 PAB 和平面 ABC 垂直，只要在平面 ABC 内过 C 作两面的交线AB 的垂线，然后

32、过垂足再作 PB 的垂线，连结 C 和后一个垂足即可得到二面角CPBA 的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面第 20 页（共 28 页）角 CPBA 的余弦值【解答】（）证明：如图，由 AB 是圆的直径，得 ACBC由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC又 PAAC=A，PA平面 APC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC因为 BC平面 PBC，所以平面 PAC平面 PBC；（）解：过 C 作 CMAB 于 M，因为 PA平面 ABC，CM平面 ABC，所以 PACM，故 CM平面 PAB过 M 作 MNPB 于 N，连接 NC由三垂线定理得 C

33、NPB所以CNM 为二面角 CPBA 的平面角在 RtABC 中，由 AB=2，AC=1，得，在 RtABP 中，由 AB=2，AP=1，得因为 RtBNMRtBAP，所以故 MN=又在 RtCNM 中，故 cos所以二面角 CPBA 的余弦值为【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，第 21 页（共 28 页）“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题19 （12 分）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3道题解答（）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；（）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类

34、题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望【分析】（I）从 10 道试题中取出 3 个的所有可能结果数有，张同学至少取到 1 道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（I）设事件 A=“张同学至少取到 1 道乙类题”则 =张同学至少取到的全为甲类题P（A）=1P（）=1=（II）X 的所有可能取值为 0，1，2，3P （X=0）=

35、P（X=1）=P（X=2）=+=P（X=3）=X 的分布列为 X0123PEX=第 22 页（共 28 页）【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力20 （12 分）如图，抛物线 C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点 M（x0，y0）在抛物线 C2上，过 M 作 C1的切线，切点为 A，B（M 为原点 O 时，A，B 重合于O），当 x0=1时，切线 MA 的斜率为（）求 P 的值；（）当 M 在 C2上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程（A，B 重合于 O 时，中点为 O）【分析】

36、（）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由 M 在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出 p 值（）由题意，可先设出 A，B 两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点 N 的轨迹方程【解答】解：（）因为抛物线 C1：x2=4y 上任意一点（x，y）的切线斜率为y=，且切线 MA 的斜率为，所以设 A 点坐标为（x，y），得，解得 x=1，y=，点 A 的坐标为（1，），故切线 MA 的方程为 y=（x+1）+因为点 M（1，y0）在切线 MA 及抛物线 C2上，于是y0=（2）+=y0=第 23 页（共 28 页）解得 p=2（）设 N（x，y

37、），A（x1，），B（x2，），x1x2，由 N 为线段 AB 中点知 x=，y=切线 MA，MB 的方程为 y=（xx1）+，；y=（xx2）+，由得 MA，MB 的交点 M（x0，y0）的坐标满足 x0=，y0=因为点 M（x0，y0）在 C2上，即 x02=4y0，所以 x1x2=由得 x2=y，x0当 x1=x2时，A，B 丙点重合于原点 O，A，B 中点 N 为 O，坐标满足 x2=y因此中点 N 的轨迹方程为 x2=y【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21 （12 分）已知函数 f（x）

38、=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】（I）当 x0，1）时，（1+x）e2x1x（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，利用导数得到 h（x）的单调性即可证明；当 x0，1）时，ex1+x，令 u（x）=ex1x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明（II）利用（I）的结论得到 f（x）1x，于是 G（x）=f（x）g（x）第 24 页（共 28 页）=再令 H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出 a 的取值范围【解答】（I）证明：当 x0，1

39、）时，（1+x）e2x1x（1+x）ex（1x）ex，令 h（x）=（1+x）ex（1x）ex，则 h（x）=x（exex）当 x0，1）时，h（x）0，h（x）在0，1）上是增函数，h（x）h（0）=0，即 f（x）1x当 x0，1）时，ex1+x，令 u（x）=ex1x，则 u（x）=ex1当 x0，1）时，u（x）0，u（x）在0，1）单调递增，u（x）u（0）=0，f（x）综上可知：（II）解：设 G（x）=f（x）g（x）=令 H（x）=，则 H（x）=x2sinx，令 K（x）=x2sinx，则 K（x）=12cosx当 x0，1）时，K（x）0，可得 H（x）是0，1）上的减

40、函数，H（x）H（0）=0，故 H（x）在0，1）单调递减，H（x）H（0）=2a+1+H（x）a+3当 a3 时，f（x）g（x）在0，1）上恒成立下面证明当 a3 时，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立第 25 页（共 28 页）f（x）g（x）=x令 v（x）=，则 v（x）=当 x0，1）时，v（x）0，故 v（x）在0，1）上是减函数，v（x）（a+1+2cos1，a+3当 a3 时，a+30存在 x0（0，1），使得 v（x0）0，此时，f（x0）g（x0）即 f（x）g（x）在0，1）不恒成立综上实数 a 的取值范围是（，3【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等

41、价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力请考生在请考生在 21、22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （10 分）选修 41：几何证明选讲如图，AB 为O 直径，直线 CD 与O 相切与 E，AD 垂直于 CD 于 D，BC 垂直于 CD 于 C，EF 垂直于 F，连接 AE，BE证明：（I）FEB=CEB；（II）EF2=ADBC【分析】（1）直线 CD 与O 相切于 E，利用弦切角定理可得CEB=EAB由AB 为O 的直径，可得AEB=90又 EFA

42、B，利用互余角的关系可得FEB=EAB，从而得证第 26 页（共 28 页）（2）利用（1）的结论及ECB=90=EFB 和 EB 公用可得CEBFEB，于是CB=FB同理可得ADEAFE，AD=AF在 RtAEB 中，由 EFAB，利用射影定理可得 EF2=AFFB等量代换即可【解答】证明：（1）直线 CD 与O 相切于 E，CEB=EABAB 为O 的直径，AEB=90EAB+EBA=90EFAB，FEB+EBF=90FEB=EABCEB=EAB（2）BCCD，ECB=90=EFB，又CEB=FEB，EB 公用CEBFEBCB=FB同理可得ADEAFE，AD=AF在 RtAEB 中，EFA

43、B，EF2=AFFBEF2=ADCB【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键23在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 =4sin，cos（）=2（）求 C1与 C2交点的极坐标；（）设 P 为 C1的圆心，Q 为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为（tR 为参数），求 a，b 的值【分析】（I）先将圆 C1，直线 C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交第 27 页（共 28 页）点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，

44、P 与 Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线 PQ 的直角坐标方程为 xy+2=0，由参数方程可得 y=x+1，从而构造关于 a，b 的方程组，解得 a，b 的值【解答】解：（I）圆 C1，直线 C2的直角坐标方程分别为 x2+（y2）2=4，x+y4=0，解得或，C1与 C2交点的极坐标为（4，）（2，）（II）由（I）得，P 与 Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy+2=0，由参数方程可得 y=x+1，解得 a=1，b=2【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属

45、于基础题24已知函数 f（x）=|xa|，其中 a1（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）4|x4|的解集；（2）已知关于 x 的不等式|f（2x+a）2f（x）|2 的解集x|1x2，求 a 的值【分析】（1）当 a=2 时，f（x）4|x4|可化为|x2|+|x4|4，直接求出不等式|x2|+|x4|4 的解集即可第 28 页（共 28 页）（2）设 h（x）=f（2x+a）2f（x），则 h（x）=由|h（x）|2 解得，它与 1x2 等价，然后求出 a 的值【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）4|x4|可化为|x2|+|x4|4，当 x2 时，得2x+64，解得 x1；当 2x4 时，得 24，无解；当 x4 时，得 2x64，解得 x5；故不等式的解集为x|x5 或 x1（2）设 h（x）=f（2x+a）2f（x），则 h（x）=由|h（x）|2 得，又已知关于 x 的不等式|f（2x+a）2f（x）|2 的解集x|1x2，所以，故 a=3【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型

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