专题训练--二次函数图象及其性质含答案23600.pdf

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1、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 专题 二次函数图象及其性质 二次函数的图象与系数的关系 一、考点扫描 二次函数)0(2acbxaxy的图象与系数的关系如下：1、a决定抛物线的开口方向：当a0 时，抛物线开口向上；当a0 时，抛物线开口向下。2、a决定抛物线的开口大小：a越大，则开口越小；a越小，则开口越大。3、a、b的符号决定抛物线的对称轴：当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧。特别地，若抛物线的对称轴是直线 x1，则ab21，即 b2a；若抛物线的对称轴是直线 x1，则ab21，即 b2a 4、c是抛物线与y轴交点的纵坐标：当0c时，抛物线经过原点

2、；当c0 时，抛物线与y轴交于正半轴；当c0 时，抛物线与y轴交于负半轴。5、acb42决定图象与x轴是否相交：当acb420 时，抛物线与x轴有两个交点；当042 acb时，抛物线与x轴只有一个交点；当acb420 时，抛物线与x轴没有交点。6、根据抛物线与 x 轴的位置关系可以确定 b24ac 的符号因为当 y0 时 ax2bxc0，所以抛物线与 x 轴有两个交点时，方程 ax2bxc0 有两个不相等的实数根，此时 b24ac0；抛物线与 x轴只有一个交点时，方程 ax2bxc0 有两个相等的实数根，此时 b24ac0；抛物线与 x 轴没有交点时，方程 ax2bxc0 没有实数根，此时 b

3、24ac0 7、根据直线 x1 与抛物线交点的位置可以确定 abc 的符号。交点在 x 轴上，abc0；交点在第一象限 abc0；交点在第四象限 abc0同样根据直线 x1 与抛物线交点的位置可以确定 abc 的符号（自己探索）反过来，可以由系数 a、b、c 的符号可确定抛物线 yax2bxc 的大致形状应用上述关系，便能简洁明快地根据a、b、c的符号判断抛物线的位置，或者根据抛物线的位置确定a、b、c的符号。典题精析：例 1（浙江省金华市中考题）二次函数 yax2bxc（a0）的图象如图1所示，则下列结论：a0；c0；b24ac0其中正确的个数是（）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个

4、（D）3 个 析解：由抛物线开口向下，得 a0；由抛物线 y 轴的交点在正半轴上，得 c0；由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b24ac0正确的结论有 2 个，故应选 C 例 2（浙江省中考题）如图 2，二次函数yaxbxc2的图象开口向上，图象经过点（1，2）和（1，0），且与 y 轴交于负半轴。x y O 图 1 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（1）给出四个结论：a 0，b 0，c 0，abc 0。其中正确结论的序号是_。（2）给出四个结论：abc 0，20ab，ac 1，a 1。其中正确结论的序号是_。（只需选答一题）析解：（1）由抛物线开口向上，可知a0，由对称轴在y轴的右侧

5、可知a、b异号，所以b0，由抛物线与y轴交于负半轴，可知c0，由当1x时，y0，知cba0，所以正确；（2）由（1）知a0，b0，c0，所以abc0，由对称轴abx21，可知ba20，当1x时，cba0，当1x时，cba2，两式相加得222 ca，所以1ca，由和c0 可知)(1ca1，所以正确。二、考点训练 1、（天津市）已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，有下列 5 个结论：0abc；cab；024cba；bc32；)(bammba，（1m的实数）其中正确的结论有（）B A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2、（南充）如图是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，

6、图象过点 A（3，0），对称轴为 x1 给出四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab 其中正确结论是（）B（A）（B）（C）（D）3、（广州市）二次函数221yxx与 x 轴的交点个数是（）B A0 B1 C2 D3 4、（云南双柏县）在同一坐标系中一次函数yaxb和二次函数 2yaxbx的图象可能为（）A 5、（四川资阳）已知二次函数2yaxbxc(a0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0).下列结论正确的是()D A.当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大 B.当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小 C.存在一个负数 x0，使得当 x x0时，函数值

7、 y 随 x 的增大而增大 D.存在一个正数 x0，使得当 xx0时，函数值 y 随 x 的增大而增大 6、（山东日照）已知二次函数 y=x2-x+a(a0)，当自变量 x 取 m 时，其相应的函数值小于 0，那么下列结论中正确的是（）B(A)m-1 的函数值小于 0 (B)m-1 的函数值大于 0 (C)m-1 的函数值等于 0 (D)m-1 的函数值与 0 的大小关系不确定 O x y O x y O x y O x y A B C D 图 7 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 二、填空题 1、（湖北孝感）二次函数 y=ax2bxc 的图象如图 8 所示，且 P=|abc|2ab|

8、，Q=|abc|2ab|，则 P、Q 的大小关系为 .PQ 2、（四 川 成 都）如 图9所 示 的 抛 物 线 是 二 次 函 数2231yaxxa的图象，那么a的值是 1 3、（江西省）已知二次函数22yxxm 的部分图象 如 图 所 示，则 关 于x的 一 元 二 次 方 程220 xxm的解为 11x ，23x；4、（广西南宁）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点()P abc，在第 象限 三 抛物线对称性的应用 1、二次函数与轴的两交点为（-2，0），（1，0），则对称轴为 2、已知抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图，则抛物线与 x 轴的另一个交点是 已知抛物线2

9、1433yx的部分图象（如图所示），图象再次与x轴相交时3、的坐标是 4、兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y（元/平方米）随楼层数 x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图所示），则 6楼房子的价格为 元/平方米 5、二次函数)5)(1(xxy的对称轴为 6、二次函数)1)(21(xxay的对称轴为 7、初三数学课本上，用“描点法”画 2 次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列了如下表格：X -2-1 0 1 2 图 8 x y O 第 4 题 O y x 图 9 y x O 1 3（第 3 题

10、）word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 y -4 -2 根据表格上的信息回答：（1）对称轴为 （2）顶点坐标为 （3）开口方向 （4）二次函数 y=ax2+bx+c 在 x=3 时，y=，x=4 时，y=.综合练习：一、填空：1、（芜湖课改）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)yaxc a的图象过正方形ABOC的三个顶点A BC，则ac的值是 答案：2 2、（滨州非课改）已知抛物线2(1)(2)yxmxm与x轴相交于AB，两点，且线段2AB，则m的值为 答案：15，3、（滨州非课改）已知二次函数不经过第一象限，且与x轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 答案：2

11、yxx 答案不唯一 二、解答题：4、（荆州课改）已知y关于x的函数：22211ykxkxk中满足3k （1）求证：此函数图象与x轴总有交点（2）当关于z的方程2233zkzz有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标 答案：（1）当2k 时，函数为23yx，图象与x轴有交点 当2k 时，241421412kkkk 当3k 时，0，此时抛物线与x轴有交点 因此，3k 时，y关于x的函数22211ykxkxk的图象与x轴总有交点 （2）关于z的方程去分母得：226zkz，4kz 由于原分式方程有增根，其根必为3z 这时1k（6 分）这时函数为22yx 它与x轴的交点是2 0，和2 0，6、（安徽课改

12、）抛物线2(1)yxmxm 与y轴交于(0 3)，点（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？【解】答案：解：（1）由抛物线2(1)yxmxm 与y轴交于(0 3)，得：3m 抛物线为223yxx 图象略 Oxy CAOBy x word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（2）由2230 xx，得1213xx，抛物线与x轴的交点为(10)(3 0)，2223(1)4yxxx ，抛物线顶点坐标为(14)，（3）由图象可知：当13x 时，抛物线在x轴上方（4）由图象可知：当1x 时，

13、y的值随x值的增大而减小 7、（枣庄非课改）已知关于x的二次函数2212myxmx与2222myxmx，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；（2）若A点坐标为10，试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？答案：解：（1）对于关于x的二次函数2212myxmx，由于22214 1202mmm ，所以此函数的图象与x轴没有交点 对于关于x的二次函数2222myxmx，由于22224 13402mmm ，所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点 故图象经过A，B两点的二

14、次函数为2222myxmx（2）将10A ，代入2222myxmx，得22102mm 整理，得220mm 解之，得0m，或2m 当0m 时，21yx令0y，得210 x 解这个方程，得11x ，21x word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 此时，B点的坐标是10B，当2m 时，223yxx令0y，得2230 xx 解这个方程，得11x ，23x 此时，B点的坐标是30B，（3）当0m 时，二次函数为21yx，此函数的图象开口向上，对称轴为0 x，所以当0 x 时，函数值y随x的增大而减小 当2m 时，二次函数为222314yxxx，此函数的图象开口向上，对称轴为1x，所以当1x 时，函数值

15、y随x的增大而减小 8、（北京非课改）已知：关于x的方程21470mxx有两个实数根1x和2x，关于y的方程222(1)20ynynn有 两 个 实 数 根1y和2y，且1224yy 当2121212262(2)140yyxxx x时，求m的取值范围 解：答案：解：关于x的方程21470mxx有两个实数根1x和2x，210(14)280mm ，解得7m且0m 关于y的方程222(1)20ynynn有两个实数根1y和2y，222 2(1)4(2)4nnn 2(1)21 12nyn 即12yn，2yn 1224yy，224nn 解得04n 由根与系数的关系得1214xxm，127x xm 2121

16、212262(2)140yyxxx x，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 2622(2)14077mmnn 整理，得2246mnn 由二次函数2246mnn的图象可得 当04n 时，810m 由，得m的取值范围是710m且0m 9、(烟台非课改)已知抛物线2yaxbxc过点312A，其顶点E的横坐标为2，此抛物线与x轴分别交于10B x，20C x，两点12xx，且221216xx（1）求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；（2）若D是y轴上一点，且CDE为等腰三角形，求点D的坐标 答案：解：（1）设所求抛物线为2(2)ya xn 即244yaxaxan 点3(1)2A，在抛物线上，32a

17、n 12xx，是方程2440axaxan的两实根，121244anxxx xa，又22221212124()24216anxxxxx xa，40an 由得 122an，所求抛物线解析式为21(2)22yx，即2122yxx 顶点E的坐标为(2 2)，（2）由（1）知(0 0)(4 0)BC，又(2 2)E，故BCE为等腰直角三角形，如图 由等腰CDE知，CE为腰或CE为底 当CE为腰时，又D在y轴上，则只能有DEEC，显然D点为(0 0)，或(0 4)，（这时DEC，共线，舍去）D点只能取(0 0)，当CE为底时，设抛物线对称轴与x轴交于点F，因CEF为等腰直角三角形，word 专业资料-可复

18、制编辑-欢迎下载 则线段CE的垂直平分线过点F，设交y轴于点D 故45OFD 2ODDF D点坐标为(02)，综上所述，点D的坐标为(0 0)，或(02)，10、(镇江课改)在平面直角坐标系中，已知二次函数2(1)ya xk的图象与x轴相交于点AB，顶点为C，点D在这个二次函数图象的对称轴上 若四边形ACBD是一个边长为 2 且有一个内角为60的菱形求此二次函数的表达式 答案：解：本题共有 4 种情况 设二次函数的图象的对称轴与x轴相交于点E（1）如图，当60CAD 时，因为ACBD是菱形，一边长为2，所以13DEBE，所以点B的坐标为(13 0)，点C的坐标为(11)，解得1k ，13a 所以21(1)13yx （2）如图，当60ACB 时，由菱形性质知点A的坐标为(0 0)，点C的坐标为(13)，解得33ka，所以23(1)3yx 同理可得：221(1)13(1)33yxyx ，所以符合条件的二次函数的表达式有：221(1)13(1)33yxyx，221(1)13(1)33yxyx ，x y 1 1 1 1 O x y D B C E A 图 y x D B C E A 图