全等三角形讲义6800.pdf

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1、全等三角形 全等三角形性质 图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用 表示，读作“全等于”全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEFABC和全等时，点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点，记作DEFABC。FEDABC 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。1.下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等；

2、全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A B C D 2.如图,ABDACE,则 AB 的对应边是_,BAD 的对应角是_ 3.已知:如图,ABEACD,B=C,则AEB=_,AE=_ 4.如图:ABCDCB,AB 和 DC 是对应边,A 和D 是对应角,则其它对应边是_,对应角是_ 5.已知:如图,ABCDEF,BCEF,A=D,BC=EF,则另外两组对应边是_,另外两组对应角是_ 2 题 3 题 4 题 5 题 三角形全等的条件一（SSS）三角形有六个条件：三条边和三个角 如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形全等

3、？满足一个条件：只有一条边对应相等；只有一个角对应相等；ABCDEF ABCDEF 结论：满足两个条件：两角对应相等；两边对应相等；一边一角对应相等 ABCFEDABCEDF 结论：ABCEDF 如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况？两边一角对应相等 ABCEDF 结论：两角一边对应相等 ABCFED 结论：三边对应相等 ABCFED ABCFEDABCFED结论：三个角对应相等 FEDABC 结论：定义：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）。ABCFED 例 1.已知：如图，DE=CE，DF=CF求证：DEF

4、CEF CEFD 例 2.已知：如图，DA=CB，DB=CA求证：DABCBA DABC 例 3.已知：如图 AB=CD,AD=BC，求证：ADBC。例 4.已知：如图，点 A、C、B、D 在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求证：AMBCND 例 6.已知 AB=CD，BF=CE，AE=CF，问 ABCD 吗？例 6.已知：如图,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D 在 BE 边上.求证：CAE=DAB 课堂练习：1.如图，AB=AD，CB=CD，B=30，BAD=46，则ACD 的度数是()A.120 B.125 C.127 D.104 2.如图，线段 AD 与 BC

5、 交于点 O，且 AC=BD，AD=BC，则下面的结论中不正确的是()A.ABCBAD B.CAB=DBA C.OB=OC D.C=D 3.如图，AB=CD，BF=DE，E、F 是 AC 上两点，且 AE=CF欲证B=D，可先运用等式的性质证明 AF=_，再用“SSS”证明_得到结论 4.如图,ADBC，垂足为 D，BD=CD.求证：ABDACD.6.已知：如图，AB=DC，BD=AC，AC，BD 交于 O求证：AOBDOC 7.如图，已知：AB=AC，BE=CE，E 为 AD 上一点，求证：BED=CED。8.已知：如图，A、E、F、B 在一条直线上，AC=BD,AE=BF，CF=DE。求证

6、：ADBC 课后练习：1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：AOB是一个任意角，在OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是AOB的平分线。你知道这样做的理由吗？2.已知：如图：BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：ABCDEF。3.如图，AB=AC，BD=CD，求证：1=2 4.已知 AC=BD，AE=CF，BE=DF，问 AECF 吗？10.如图，AC=BD，BC=AD，求证:ABCBAD 能力提高：1.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，BAC=72，F=32，则ABC=2.已知：如图,E 是 AD 上的一

7、点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE求证：B=CAE 3.如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。(1)求证：ABEDCF;(2)CFBE.4.如图,AD=BC,AB=DC.求证：A+D=180.三角形全等的条件二(SAS)定义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等 简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）两边一角对应相等 ABCEDF 结论：例 1.如图，AE=DB,BC=EF,BCEF,求证:ABCDEF 例 2.如图，ABAD，ACAE，BAEDAC，求证：ABCADE 例3.已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE求证:BECF ABCFED3

8、题 例 4.如图，已知，等腰 RtOAB 中，AOB=90o，等腰 RtEOF 中，EOF=90o，连结 AE、BF 求证：（1）AE=BF；（2）AEBF 例 5.如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC,BC、DE 交于点 O.求证：(1)ABCAED；(2)OBOE.课堂练习：1.在ABC 和ABC中,要使ABCABC,需满足条件（）A.AB=AB,AC=AC,B=B B.AB=AB,BC=BC,A=A C.AC=AC,BC=BC,C=C D.AC=AC,BC=BC,C=B 2.如图,在AOB 的两边上截取 AO=BO,在 AO 和 BO 上截取 CO=DO,连结 AD 和

9、BC 交于点P,则AODBOC 理由是（）A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS 3.如图，在ABC和DEF中，已知ABDE，BCEF，根据（SAS）判定ABCDEF，还需的条件是（）A.AD B.BE C.CF D.以上三个均可以 4.如图,AD=AE,AB=AC,BE、CD 交于 F,则图中相等的角共有_对,（除去DFE=BFC）()A.5 B.4 C.3 D.2 2 题 4 题 6.如果两个三角形全等,则不正确的是（）A.它们的最小角相等 B.它们的对应外角相等 C.它们是直角三角形 D.它们的最长边相等 7.如图,已知:ABEACD,1=2,B=C,不正确的等式是（）A.AB=

10、AC B.BAE=CAD C.BE=DC D.AD=DE 8.下图中全等的三角形是（）A.和 B.和 C.和 D.和 9.如图，已知12，要使ABCADE，还需条件（）A.AB=AD，BC=DE B.BC=DE，AC=AE C.B=D，C=E D.AC=AE，AB=AD 10.已知：ADBC，AD=CB，求证：ADCCBA 11.如图，ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，试说明ABDACD.7 题 8 题 12.如图，ADBC,ADCBCD.求证：BACABD 13.如图,已知:AC=DF,ACFD,AE=DB,求证:ABCDEF.14.如图,在ABC中,40ABACBAC，分别以 AB,

11、AC 为边作两个等腰直角ABD 和ACE，使90BADCAE （1）求DBC的度数；（2）求证：BDCE 15.如图：AB=AC，AD=AE，ABAC，ADAE.求证：（1）B=C，（2）BD=CE 16.如图BAC=DAE，ABD=ACE，BD=CE。求证：AB=AC。课后练习：1.下面各条件中，能使ABCDEF 的条件的是（）A.AB=DE,A=D,BC=EF B.AB=BC,B=E,DE=EF C.AB=EF,A=D,AC=DF D.BC=EF,C=F,AC=DF 2.如图，AD,BC 相交于点 O，OA=OD，OB=OC下列结论正确的是（）A.AOBDOC B.ABODOC C.AC

12、D.BD 3.如图，已知ABAC，ADAE，BACDAE下列结论不正确的有（）A.BADCAE B.ABDACE C.AB=BC D.BD=CE 4.如图所示,ABC 与BDE 都是等边三角形,ABCD C.AECD D.无法确定 5.已知：如图,CEAB,DFAB,垂足分别为 E,F,AF=BE,且 AC=BD,则不正确的结论是（）A.RtAECRtBFD B.C+B=90 C.A=D D.ACBD.6.如果ABC 和DEF 全等，DEF 和GHI 全等，则ABC 和GHI_全等，如果ABC和DEF 不全等，DEF 和GHI 全等，则ABC 和GHI_全等（填“一定”或“不一定”或“一定不”

13、）7.如图，已知 ABBD 于 B，EDBD 于 D，AB=CD，BC=DE，则ACE=_.8.已知如图，F 在正方形 ABCD 的边 BC 边上，E 在 AB 的延长线上，FBEB，AF 交 CE 于 G，则AGC 的度数是_.9.如图，ABC 是不等边三角形，DE=BC，以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与ABC 全等，这样的三角形最多可以画出_个 10.如图，已知ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC 全等的图形是 。11.已知:如图,AC=AB,AE=AD,1=2.求证:3=4。12.已知:如图,AB=AC,AE 平分BAC.求证:DBE=DCE

14、 13.如图,已知:ADBC,AD=BC求证:ABCD 14.已知:如图,点 B,E,C,F 在同一直线上,ABDE,且 AB=DE,BE=CF.求证:ACDF 15.已知:如图,AD 是 BC 上的中线,且 DF=DE求证:BECF 16.如图，在ABC中，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，AE=CE，AB 与 CF 有什么位置关系？说明你判断的理由。17.如右图，已知 DEAC，BFAC，垂足分别是 E、F，AE=CF，DCAB，（1）试证明：DE=BF；（2）连接 DF、BE，猜想 DF 与 BE 的关系？并证明你的猜想的正确性 18.已知如图，B 是 CE 的

15、中点，AD=BC，AB=DC DE 交 AB 于 F 点。求证：（1）ADBC（2）AF=BF 19.已知:如图,AC=AB,AE=AD,1=2.求证:3=4。能力提高：1.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（）A.22n B.44n C.44n D.4n 2.如图,ADAB,CBAB,DM=CM=a，AD=h,CB=k,AMD=75，BMC=45，则 AB 的长为()A.a B.k C.2hk D.h 3.已知:如图,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE.求证:BD=CE。4.如图已知：ABC 和BDE 是等边三角形，D 在 AE 延长线上。求证：BD+DC=AD。第 1 个 第

16、2 个 第 3 个 5.已知：如图，BE、CF 是ABC 的高，分别在射线 BE 与 CF 上取点 P 与 Q，使 BP=AC，CQ=AB。求证：（1）AQ=AP；（2）APAQ 6.如图，ABC 为等边三角形，点 M,N 分别在 BC,AC 上，且 BM=CN，AM 与 BN 交于 Q 点。求AQN 的度数。7.已知 C 为 AB 上一点,ACN 和 BCM 是正三角形.(1)求证:AM=BN；(2)求AFN 的度数.8.如图，已知ABC 的边长为 1 的正三角形，BDC 是顶角BDC=1200的等腰三角形，以 D为顶点作一个 600角，角的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 N，连 M

17、N 形成AMN，求证：AMN的周长等于 2。ABCDMN 9.已知在ABC中，CB2，AD 平分A交 BC 于 D 点，求证：AC=AB+BD。ABCD 10.如图，ABC 是等腰直角三角形，其中 CA=CB，四边形 CDEF 是正方形，连接 AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF 与 BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF 的一边落在ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.11.五边形 ABCDE 中，A

18、B=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD 平分CDE.三角形全等的条件三、四（ASA,AAS）定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个 三角形全等，简记为“角角边”或简记为（A.A.S ）两角一边对应相等 ABCFED 结论：问题：一块三角形玻璃碎成如图形状 4 块，配一块与原来一样的三角形玻璃（1）要不要 4 块都带去？（2）带哪一块呢？（3）带 D 块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢？例 1.如图，BDA=CEA，AE=AD求证:

19、AB=AC 例 2.如图，ACB=900，AC=BC，D 为 AB 上一点,AECD，BFCD，交 CD 延长线于 F 点.求证：BF=CE.D B C A ABCFED 例 3.如图在ABC 中，ACB=90，AC=BC，AE 是 BC 的中线，过点 C 作 CFAE 于 F，过 B作 BDCB 交 CF 的延长线于点 D。（1）求证：AE=CD，（2）若 BD=5，求 AC 的长。例 4.如图：在ABC 中，ACB=90，AC=BC，D 是 AB 上一点，AEGD 于 E，BFCD 交 CD的延长线于 F。求证：AE=EF+BF。例 5.如图，已知在ABC中，AD 是角平分线，CFAD 交

20、 AB 于 F，垂足为 M，CEAD 交 BA的延长线于 E，求证：AC=AE=AF。例 6.如图，ABC 中，BAC=900，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2CE 课堂练习 1.已知：如图,AC=CD,B=E=90,ACCD,则不正确的结论是()A.A 与D 互为余角 B.A=2 C.ABCCED D.1=2 2.在ABC 中，AC=5，中线 AD=4，则边 AB 的取值范围是()A.1AB9 B.3AB13 C.5AB13 D.9AB13 3.如图，点 D,E,F,B 在同一条直线上，ABCD

21、，AECF，且 BF=DE，若 BD=10，BF=2，则EF=_ 4.已知：如图,四边形 ABCD 中,ABCD,ADBC求证：ABDCDB.5.如图，ABCDCB，ACBDCB，试说明ABCDCB.6.如图，12，BC.求证：ABAC.7.如图：在ABC 中，AB=AC，AD 和 BE 都是高，它们相交于点 H，且 AH=2BD.求证：AE=BE.8.已知:如图,四边形 ABCD 中,ADBC,F 是 AB 的中点,DF 交 CB 延长线于 E,CE=CD.求证：ADE=EDC 9.如图，ABC 中，D 是 AC 上一点，BEAC，BE=AD，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G 图中有全

22、等三角形吗？请找出来，并证明你的结论 若连结 DE，则 DE 与 AB 有什么关系？并说明理由 10.如图，在ABC 中，C=2B,AD 是ABC 的角平分线，1=B,求证 AB=AC+AD.课后练习：1.如图,A=D,OA=OD,DOC=50,求DBC 的度数为()A.50 B.30 C.45 D.25 2.如图，ABCD，ADBC，AC、BD 相交于点 O。（1）由 ADBC，可得 =，由 ABCD，可得 =，又由 ，于是ABDCDB；（2）由 ，可得 AD=CB，由 ，可得AODCOB；（3）图中全等三角形共有 对。3.如图在 ABC 中,ADBC 于 D,BEAC 于 E,AD 交 B

23、E 于 F,若 BF=AC,那么ABC 的大小是 4.已知：如图,1=2,ABBC,ADDC,垂足分别为 B、D.求证：AB=AD 5.如图，12,BD，求证:ABCADC 6.如图,CD,CEDE求证:BADABC 7.如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，1=2，3=4 求证：（1）ABCADC；（2）BO=DO 8.如图，已知点 B、C、E 在一条直线上，AB=CD，AC=BD，DEAC，试说明E=DBC。9.如图，ABAC，BDDC，AC、BD 交于点ACBDBC，图中共有几对长度相等的线段，你是通过什么办法找到的？10.已知:如图,ABCD,1=2,O 是

24、 AD 的中点,EF、AD 交于 O求证：O 也是 EF 的中点 11.如图，AD=BE,ACDF,BCEF，求证:ABCDEF 8.已知：如图,FB=CE,ABED,ACFD,F、C 在直线 BE 上求证：AB=DE,AC=DF 9.已知：在ABC中，AD为BC边上的中线，CEAD，BFAD。求证：CE=BF 10.已知：如图 ACCD 于 C,BDCD 于 D,M 是 AB 的中点,连结 CM 并延长交 BD 于点 F 求证：AC=BF 11.已知：如图,E、D、B、F 在同一条直线上,ADCB,BAD=BCD,DE=BF.求证：AECF.12.已知：如图,AE=BF,ADBC,AD=BC

25、.AB、CD 交于 O 点求证：OE=OF 能力提高：1.已知:如图，AD=DC,ADC=DEB=B=90,四边形 ABCD 的面积为 16,则 DE 的长为（）A.5 B.4 C.3 D.2 2.三角形 ABC 中，AB=AC，在 AB 上取一点 D，在 AC 的延长线上取一点 E，使 CE=BD，连结 DE交 BC 于 G，求证：DG=GE.3.已知：如图，在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且EDF+EAF=180。求证：DEDF。4.在等边三角形 ABC 中，AE=CD，AD，BE 交于 P 点，BQAD 于 Q求证：BP=2PQ 5.如图，点

26、 M 为正ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点 B 除外)，作60DMN，射线 MN 与DBA 外角的平分线交于点 N，DM 与 MN 有怎样的数量关系?三角形全等的条件五 定义：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等简记为HL定理（或斜边直角边）例 1.如图，有一个直角ABC，C=90，AC=10，BC=5，一条线段 PQ=AB，P.Q 两点分别在AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，当 AP=时,才能使ABC 与PQA 全等.例 2.已知：如图，AB=CD，AE=DF，且 AEBC 于 E，DFBC 于 F.求证：B=C。例 3

27、.已知：如图,E,B,F,C 四点在同一直线上,A=D=90,BE=FC,AB=DF求证：E=C 例 4.如图，ABBC 于 B，ADDC 于 D，且 CB=CD求证：ABD=ADB.例 5.证明:在直角三角形中，300所对的直角边等于斜边的一半。例 6.已知：如图，AD 为ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD，求证：BEAC。例 7.已知：RtABC 中，ACB 是直角，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于E，求证：CDBE.课堂练习：1.能使两个直角三角形全等的条件是()A.两直角边对应相等 B.一锐角对

28、应相等 C.两锐角对应相等 D.斜边相等 2.两个三角形有以下三对元素相等,则不能判定全等的是()A.一边和两个角 B.两边和它们的夹角 C.三边 D.两边和一对角 3.下列说法中，错误的是（）A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用 B.已知两个锐角不能确定一个直角三角形 C.已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形 D.已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形 3.已知：如图,AD=BC,AE,CF 分别垂直 BD 于 E、F,AE=CF,则图中有_对相等的角(除直角外)（）A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知：如图，AC 是BAD 和BCD 的角平分线，则ABCADC

29、用_判定()A.AAA B.ASA 或 AAS C.SSS D.SAS 5.如图，RtABC 中，B=90，ACB=60，延长 BC 到 D，使 CD=AC 则 AC：BD=（）A1：1 B3：1 C4：1 D2：3 6.如图,在下列给出的四组条件下，不一定能推导出ABDEBC 的条件是()A.BE=BA,BD=BC,1=2 B.3=4,1=2,AB=EB C.AB=EB,1=2,AD=EC D.AB=EB,1=2,C=D 7.如图，已知 ABAC，ACCD，垂足分别是 A，C，AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是 和 8.已知：如图,AE,FC 都垂直于 BD,垂足为 E、F,AD=BC

30、,BE=DF求证：OA=OC.9.已知：如图，DN=EM，且 DNAB 于 D，EMAC 于 E，BM=CN求证：B=C.10.已知：如图,BC 是ABC 和DCB 的公共边,AB=DC,AC=DB,AE、DF 分别垂直 BC于 E,F 求证：AE=DF 11.已知：如图,AB=CD,D、B 到 AC 的距离 DE=BF求证：ABCD 12.已知：如图,OC=OD,ADOB 于 D,BCOA 于 C.求证：EA=EB 13.如图，已知：ACB 和ADB 都是直角，BC=BD，E 是 AB 上任一点，求证：CE=DE 14.已知：如图，A=D=90，AC，BD 交于 O，AC=BD.求证：OB=

31、OC 15.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90O,直线 l 经过点 C，ADl,BEl,垂足分别为 D、E.求证：AD=CE。课后练习：1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一条直角边和一个锐角分别相等 B.两条直角边对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.斜边和一个锐角对应相等 2.在下列定理中假命题是（）A一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形 B一个直角三角形必能分成两个等腰三角形 C两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形 D两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形 3.如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD、CE，分别是斜边 AB 上的高与中

32、线，CF 是ACB的平分线。则1 与2 的关系是（）A12 D不能确定 4.在直角三角形 ABC 中,若C=900，D 是 BC 边上的一点,且 AD=2CD,则ADB 的度数是（）A.30 B.60 C.120 D.150 5.如图，已知 BDAE 于 B，C 是 BD 上一点，且 BC=BE，要使 RtABCRtDBE，应补充的条件是A=D 或 或 或 。6.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，AD 与 BE 相交于 H，且 BH=AC，DH=DC，那么ABC=度。7.如图，ADBC，A=900，E 是 AB 上一点，1=2，AE=BC，求证：DEC=90 8.如图所示，已知 AD 是B

33、AC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 BDCD 求证：BE=CF 9.已知 BDCD，BFAC，CEAB 求证：D 在BAC 的平分线上 10.如图，在ABE 和ACD 中，给出以下四个论断：AB=AC；AD=AEAM=ANADDC，AEBE以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知：求证：11.已知在 RtABC 中，C90，ACBC，AD 为BAC 的平分线，DEAB，垂足为 C求证：DBE 的周长等于 AB 12.如图,ABC 中,ACB=90,CEAB 于 E,AD=AC,AF 平分C

34、AE 交 CE 于 F求证:FDCB。13.如图，A、E、F、C 在一条直线上，AE=CF，过 E、F 分别作 DEAC，BFAC，若 AB=CD。请回答下列问题：（1）BD 平分 EF；（2）若将 DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为图 2 时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。能力提高：1.已知：AOB=90，OM 是AOB 的平分线，将三角板的直角顶 P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA、OB 交于 C、DPC 和 PD 有怎样的数量关系，证明你的结论 2.如图,已知在ABC 中,ACB=900,CAB=300,ACD、ABE 都是等边,DE 交 AB 于 F，求

35、证：DF=EF。ABCDEF 3.已知 BD、CE 是ABC 的高，点 P 在 BD 的延长线上，BP=AC，点 Q 在 CE 上，CQ=AB。判断线段 AP 和 AQ 的关系，并证明.4.如图，点 C 在线段 AB 上，DAAB，EBAB，FCAB，且 DA=BC，EB=AC，FC=AB，AFB=51，求DFE 的度数.角的平分线的性质 角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。到角两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线的画法：例 1.已知 O 是ABC 三条角平分线的交点，ODBC 于 D，若 OD5，ABC 的周长等于 20，则ABC 的面积等于 SABC 例 2.如图，AB

36、D 的三边 AB、BC、CA 的长分别是 20、30、40、其中三条角平分线将ABD分为三个三角形，则 SABO：SBCO：SCAO等于_.例 3.如图：在ABC 中,BAC=90,ABD=12ABC,BCDF,垂足为 F,AF 交 BD 于 E。求证：AE=EF.例 4.如图：在ABC 中，B，C 相邻的外角的平分线交于点 D。求证：点 D 在A 的平分线上。例 5.如图所示，已知ABC 中，AD 平分BAC，E、F 分别在 BD、AD 上DE=CD，EF=AC求证：EFAB.例 6.在ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的平分线P 是 AD 上任意一点求证：AB-ACPB-PC 例 7.

37、如图，A+D=1800，BE 平分ABC，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上(1)探讨线段 AB、CD 和 BC 之间的等量关系;(2)探讨线段 BE 与 CE 之间的位置关系 例 8.如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F，AF=EF，求证：AC=BE 课堂练习：1.如图所示，在ABC 中，P 为 BC 上一点，PRAB 于 R，PSAC 于 S，AQPQ，PRPS，则下列三个结论中正确的是()ASAR；PQAR；BRPCSP A和 B和 C和 D全对 2.如图，AB=AC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE、CF 交

38、于点 D，则ABEACF；BDFCDE；点 D 在BAC 的平分线上，以上结论正确的是（）A.B.C.D.3.在ABC 和ABC中,AB=AB;BC=BC;AC=AC;A=A;B=B;C=C;则下列哪组条件不保证ABCABC()A.B.C.D.4.如图，已知点 P 到 BE、BD、AC 的距离恰好相等，则点 P 的位置：在B 的平分线上；在DAC 的平分线上；在EAC 的平分线上；恰是B，DAC，EAC 三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.AOB 的平分线上一点 M，M 到 OA 的距离为 1.5 cm，则 M 到 OB 的

39、距离为_ 6.如图，ABCD，O 是BAC、ACD 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE2，则 AB 与 CD间的距离等于 7.已知ABC 的周长是 15，ABC 和ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 ODBC 与点 D，且OD=2，求ABC 的面积。8.已知 BDCD，BFAC，CEAB。求证：D 在BAC 的平分线上 9.如图，在ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EFAD 交 CA 的延长线于点 F，交AB 于点 G，若 BG=CF，求证：AD 为BAC 的角平分线 10.已知ABC，B=C，D，E 分别是 AB 及 AC 延长线上的一点，且 BD=

40、CE，连接 DE 交底BC 于 G，求证 GD=GE 11.如图，A，B 两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量 A、B 间距离，但是绳不够长 你能帮她设计测量方案吗?如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理 课后练习：1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，CD、CE，分别是斜边 AB 上的高与中线，CF 是ACB的平分线。则1 与2 的关系是（）A.12 D.不能确定 2.尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 C、D，再分别以点 C、D 为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP 由作法得OCP

41、ODP的根据是（）ASAS BASA CAAS DSSS 3.如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90 AD 平分BAC，BEAD 交 AC 的延长线于 F，E为垂足则结论：AD=BF；CF=CD；AC+CD=AB；BE=CF；BF=2BE，其中正确结论的个数是()A1 B.2 C3 D4 4.如图在 RtABC 中，C=90，BD 是ABC 的平分线，交于点 D，若 CD=n，AB=m，则ABD的面积 是_ 5.已知：如图，B=DEF，AB=DE，要说明ABCDEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 .（2）若以“AAS”为依据，还缺条件 .（3）若以“SAS”为依据，还缺条件 .6

42、.如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE、AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）。7.如图，OM 平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B 为垂足，AB 交 OM 于点 N 求证：OAB=OBA。8.已知ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BE.9.已知，如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，BD 平分ABC.求证：B

43、AD+BCD=180.10.如图：在ABC 中，A=60，B，C 的平分线 BE，CF 相交于点 O。求证：OE=OF。11.已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F 求证：BE+CFEF 能力提高：1.如图，ABC 中，C=90，AC=BC，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，若 AC=10cm，则DBE 的周长等于()A10cm B8cm C6cm D9cm 2.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1 处 B.2 处 C.3 处 D.4 处 3.如图,已知 AE 平分BAC,B

44、E 上 AE 于 E,EDAC,BAE=360,那么BED=4.已知在 RtABC 中，C90，ACBC，AD 为BAC 的平分线，DEAB，垂足为 C求证：DBE 的周长等于 AB 5.如图，在ABC中，D,E分别为AB,AC边中点，连接CD、BE并分别延长至F、G，使BE=EG,CD=DF,连接 FA,GA.求证：AF=AG.6.如图：在ABC 中，C=90，AC=BC，D 是 AC 上一点，AEBD 交 BD 的延长线于 E，且AE=12BD，DFAB 于 F。求证：CD=DF。7.如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，过 C 作 CEAB 于 E，并且1()2AEABAD,求

45、ABC+ADC 的度数。8.如图：AD 是ABC 中BAC 的平分线，过 AD 的中点 E 作 EFAD 交 BC 的延长线于 F，连结AF。求证：B=CAF。9.已知ABC 中，AB=AC，BD 为 AB 的延长线，且 BD=AB，CE 为ABC 的 AB 边上的中线求证 CD=2CE 10.如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC于 F，AF 与 EF 相等吗？为什么？全等三角形复习 一、选择题：1.如图，OA=OC，OB=OD，则图中全等三角形共有（）A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 2.下列各图中，不一

46、定全等的是（）A有一个角是 45腰长相等的两个等腰三角形 B.周长相等的两个等边三角形 C.有一个角是 100，腰长相等的两个等腰三角形 D.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形。3.ABC 中，C=90，AD 为角平分线，BC=32，BDDC=97,则点 D 到 AB 的距离为()A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm 4.MON 的边 OM 上有两点 A、C，ON 上有两点 B、D，且 OA=OB，OC=OD，AD，BC 交于 E，则OADOBC，ACEBDE，连 OE.则 OE 平分AOB，以上结论()A.只有一个正确 B.只有一个不正确 C.都正确 D.都不正确 5

47、.ABC 中，C=90,AC=BC，AD 为角平分线，DEAB 于 E，且 AB=6cm，则DEB 的周长为()A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 6.线段 OD=DC，A 在 OC 上，B 在 OD 上，且 OA=OB，OC=OD，COD=60，C=25，AC，BC交于 E，则BED 的度数是()A60 B.70 C.80 D.50 7.如图，三条公路两两交于点 A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（）A一处 B二处 C三处 D四处 8.ABC 中，AB 大于 AC，P 是角平分线 AD 上任意一点，设 AB-AC=m,PB-PC=n,则

48、 m,n 的大小关系是（）A.m 大于 n B.m 小于 n C.m 等于 n D.无法确定 9.如图，已知12 ，ACAD，增加下列条件：ABAE；BCED；CD；BE。其中能使ABCAED 的条件有()A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 二、填空题：10.在ABC 中，AB=AC，A=800，将ABC 绕点 B 旋转，使点 A 落在 BC 上，点 C 落在点 C/，那么BCC的大小是_ 11.如图，ABCADE，则，AB=，E=若BAE=120，BAD=40，则BAC=12.如图，ABC 是不等边三角形，DE=BC，以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与AB

49、C 全等，这样的三角形最多可以画出_个 13.如图，在ABC 中，AM 是中线，AD 是高线（1）若 AB 比 AC 长 5 cm，则ABM 的周长比ACM 的周长多_cm（2）若AMC 的面积为 10 cm2，则ABC 的面积为_cm 2（3）若 AD 又是AMC 的角平分线，AMB=130，则ACB 的度数为 三、综合题：14.如图，在ABC 中，BD 平分ABC，CEAB 于 E，ACB=78，BAD=ABD，求ADB和BCE 的度数.15.已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。16.已知：DAAB，CAAE，AB=AE，AC=AD，求证：DE=BC。17.如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 DBDC，求证：BECF。18.在ABC 中，AD 平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 19.如图（19），在ABC 中，AB=AC，DE 是过点 A 的直线，BDDE 于 D，CEDE 于 E（1）若 BC 在 DE 的同侧（如图）CEBDDE且 AD=CE，求证：BAAC （2）若 BC 在 DE 的两侧（如图）BDCEDE，且 AD=CE，其他条件不变，问 AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由