排队论模型.ppt

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1、 排队论模型排队论模型 排队论是排队论是20世纪初由丹麦数学家世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取得了显著的成绩。得了显著的成绩。

2、一、排队论简介一、排队论简介二、实例分析二、实例分析一、排队论简介一、排队论简介（一）基本概念（一）基本概念 1排队系统排队系统 排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列排队是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列 排队系统是指一个具有排队等待现象的服务系统排队系统是指一个具有排队等待现象的服务系统 排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找排队论是指定量的研究排队问题，寻找系统内在规律，寻找供求关系平衡的最优方案。供求关系平衡的最优方案。现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征现实世界中排队的现象比比皆是，但有如下共同特征:(1)有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求

3、着陆的飞机等，有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等，我们将此称为我们将此称为“顾客顾客”。(2)有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称为称为“服务员服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。由顾客和服务员就组成服务系统。(3)顾客随机地一个一个顾客随机地一个一个(或者一批一批或者一批一批)来到服务系统每位顾客来到服务系统每位顾客需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成某需要服务的时间不一定确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲无事。个阶段顾客排长队，而某些时间服务员又空闲

4、无事。2 排排队队系系统统的特征的特征 为为了描述一个了描述一个给给定的排定的排队队系系统统，必，必须规须规定系定系统统的下列的下列组组成成 (1)输输入入过过程程 顾顾客客陆续陆续来到的来到的过过程，程，设设N(t):(0，t)时间时间内来到的内来到的顾顾客数客数(非非负负整数整数值值)是随机是随机过过程，又程，又设设第第i个个顾顾客到达的客到达的时间时间，从，从随机随机变变量序列，量序列，时间间时间间距距(隔隔)一般假一般假设顾设顾客来到客来到时间间时间间隔隔相互独立与随机相互独立与随机变变量量有相同的；有相同的；可以根据原始可以根据原始资资料，由料，由顾顾客到达的客到达的规规律、作出律、

5、作出经验经验分布，分布，检验检验法法)确定服从哪种理确定服从哪种理论论分布，并分布，并概率分布概率分布为负为负指数分布指数分布(另外有定另外有定长长分布分布D，k阶爱阶爱尔尔兰兰分布分布，一般独立分布，一般独立分布GI等等)而而分布分布然后按照统计学的方法然后按照统计学的方法(如如估计它的参数值。我们主要讨论估计它的参数值。我们主要讨论 (2)服服务务机机构构 服务员对顾客服务过程，服务机构可以是一个服务员或多个服服务员对顾客服务过程，服务机构可以是一个服务员或多个服务员的。对顾客可以单独进行服务，也可以对成批顾客进行服务，务员的。对顾客可以单独进行服务，也可以对成批顾客进行服务，在我们这儿介

6、绍对顾客单独进行服务。设在我们这儿介绍对顾客单独进行服务。设C为服务机构服务员个数为服务机构服务员个数，当，当C=1时，为单服务系统，当时，为单服务系统，当C2，为多服务系统。和，为多服务系统。和输输入入过过程一程一样样，服，服务时间务时间都是随机的，且我都是随机的，且我们们假假设设，设设表示服表示服务员为务员为n个个顾顾客提供服客提供服务务所需的所需的时间时间，则则服服务务服从相互独立的且与某一随机服从相互独立的且与某一随机有相同分布，其中有相同分布，其中根据原始根据原始资资料判断得到的，主要有的分布料判断得到的，主要有的分布为负为负指数分指数分布布(定定长长分布，一般独立分布等分布，一般独

7、立分布等)(3)排排队队与服与服务规则务规则 顾顾客排客排队队和等待的和等待的规则规则，排，排队规则队规则一般有等待制，一般有等待制，消失制和混合制。所消失制和混合制。所谓谓等待制等待制(系系统统容量容量就是当一个就是当一个顾顾客到达客到达时时，若所有服，若所有服务务台均被占用台均被占用时时，该该顾顾客便排客便排队队等待服等待服务务；消失制也称即；消失制也称即时时制制(系系统统容量容量D=C)就是服就是服务务台被占用台被占用时顾时顾客便即客便即时时离去；混合制也离去；混合制也 时间所构成的序列时间所构成的序列变量变量的概率分布是已知的可以的概率分布是已知的可以)有限制有限制(系统容量系统容量D

8、:CD0有。有。(1)到达到达(生生):在在(t，t+t)内系内系统统出出现现一个新的到达的概一个新的到达的概率率为为的常数；没有的常数；没有发发生新的到达的概率生新的到达的概率；出；出现现多于一个以上的新的到达概率多于一个以上的新的到达概率的常数，没有消失的概率的常数，没有消失的概率为为消失多于一个以上的概率消失多于一个以上的概率为为0(t)则则称系称系统统状状态态随随时间时间而而变变化的化的过过程程X(t)为为一个生一个生灭过灭过程。程。为为为为0(t)。(2)消失消失(灭灭):在在(t，t+t)内，系统消失一个的概率的内，系统消失一个的概率的 2.生生灭过灭过程微分差分方程程微分差分方程

9、组组 设设表示系表示系统统在在时时刻刻t的状的状态态X(t)=n的概率即的概率即，状态为状态为n的概率近似于以下四个概率之和。的概率近似于以下四个概率之和。(1)P系系统统在在时时刻刻t时为时为n，而在，而在t内没有到达也没有内没有到达也没有消失消失=(2)P系系统统在在t时为时为n-1而在而在t内有一个到达并且没有一内有一个到达并且没有一个消失个消失=(3)P系系统统在在t时为时为n+1，而在，而在t内没有到达而有一个内没有到达而有一个消失消失=则系统在时刻则系统在时刻t+t的的 (4)P系系统统在在t内内发发生多于一个的到达或消失生多于一个的到达或消失=0(t)即即应应用全概率公式有用全概

10、率公式有 当当当当 时时时时 类似地，当类似地，当类似地，当类似地，当S S为有限集时，对为有限集时，对为有限集时，对为有限集时，对 有有有有 令令令令 t0t0得得得得 当系统状态当系统状态当系统状态当系统状态S S为有限集时，生灭过程的微分差分方为有限集时，生灭过程的微分差分方为有限集时，生灭过程的微分差分方为有限集时，生灭过程的微分差分方 程组为程组为程组为程组为 当系统状态当系统状态当系统状态当系统状态S S为可数集时，生灭过程微分差分方程为可数集时，生灭过程微分差分方程为可数集时，生灭过程微分差分方程为可数集时，生灭过程微分差分方程组为组为组为组为 (9.2)(9.2)若能求解这组方

11、程，则可得到在时刻若能求解这组方程，则可得到在时刻若能求解这组方程，则可得到在时刻若能求解这组方程，则可得到在时刻t t系统状态概系统状态概系统状态概系统状态概率分布率分布率分布率分布 称为生灭过程的瞬时解，一称为生灭过程的瞬时解，一称为生灭过程的瞬时解，一称为生灭过程的瞬时解，一般这种瞬时解是难以求得的般这种瞬时解是难以求得的般这种瞬时解是难以求得的般这种瞬时解是难以求得的 3.3.统计平衡下的极限解统计平衡下的极限解统计平衡下的极限解统计平衡下的极限解 实际应用中，关心的是实际应用中，关心的是实际应用中，关心的是实际应用中，关心的是 时，方程的解称为生时，方程的解称为生时，方程的解称为生时

12、，方程的解称为生灭过程微分差分方程组的极限解。灭过程微分差分方程组的极限解。灭过程微分差分方程组的极限解。灭过程微分差分方程组的极限解。令令令令 及及及及(9.1)(9.2)(9.1)(9.2)式得当式得当式得当式得当S S为有限状为有限状为有限状为有限状态集时，态集时，态集时，态集时，(9.1)(9.1)式变为式变为式变为式变为 (9.3)(9.3)当当当当S S为可数状态集时为可数状态集时为可数状态集时为可数状态集时(9.2)(9.2)式变为式变为式变为式变为 (9.4 (9.4 从而可以求得概率分布列从而可以求得概率分布列从而可以求得概率分布列从而可以求得概率分布列（五）、典型排队模型和

13、理论结果（五）、典型排队模型和理论结果（五）、典型排队模型和理论结果（五）、典型排队模型和理论结果 下面给出满足生灭过程典型排队下面给出满足生灭过程典型排队下面给出满足生灭过程典型排队下面给出满足生灭过程典型排队M/M/1M/M/1与与与与M/M/CM/M/C的的的的结果结果结果结果 (一一一一)单服务台等待制单服务台等待制单服务台等待制单服务台等待制M/M/1M/M/1排队模型排队模型排队模型排队模型 1.M/M/1/1.M/M/1/顾客来到的时间间隔顾客来到的时间间隔顾客来到的时间间隔顾客来到的时间间隔 服从参数服从参数服从参数服从参数 的负的负的负的负指数分布，服务员为顾客服务时间指数分

14、布，服务员为顾客服务时间指数分布，服务员为顾客服务时间指数分布，服务员为顾客服务时间 服从参数服从参数服从参数服从参数 的指的指的指的指数分布，且数分布，且数分布，且数分布，且 与与与与 相互独立，相互独立，相互独立，相互独立，1 1个服务台，系统容个服务台，系统容个服务台，系统容个服务台，系统容量为量为量为量为 的等待制排队模型。的等待制排队模型。的等待制排队模型。的等待制排队模型。可理解为可理解为可理解为可理解为:单位时间平均到达的顾客数单位时间平均到达的顾客数单位时间平均到达的顾客数单位时间平均到达的顾客数-平均到平均到平均到平均到达率达率达率达率 可理解为可理解为可理解为可理解为:单位

15、时间平均服务完的顾客数单位时间平均服务完的顾客数单位时间平均服务完的顾客数单位时间平均服务完的顾客数-平均平均平均平均服务率服务率服务率服务率(1)顾顾客客输输入入过过程程是平均率是平均率为为的的Poisson过过程即程即 设设M(t)为为(0，t)内容去内容去顾顾客数，客数，则则 的的Poisson分布即分布即 (2)X(t):时时刻刻t系系统统中的中的顾顾客数客数 则则 L(t):时时刻刻t排排队队等待等待顾顾客数客数 则则 研究研究X(t)的分布模型的分布模型 令令 当当 依赖于依赖于t时，称时，称 是瞬时解是瞬时解 如果如果 则称则称 是稳定解。是稳定解。此系统的状态转移图此系统的状态

16、转移图 图图1 0 1 2 n-1 n n+1 从而在生从而在生灭过灭过程中取程中取 (9.5)记记 ，称为服务强度，称为服务强度 当当 时，模型不稳时，模型不稳(时时达不到统计达不到统计)当当 1时，模型稳定，有稳定解时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)的分布律的分布律 由由(9.12)，(1.15)式得此模型的微分差分方程式得此模型的微分差分方程组组 (9.6)当当 时，稳态解满足时，稳态解满足 (9.7)求解求解(9.7)式差分方程，得式差分方程，得 (9.8)(4)结论结论 平均队长平均队长 (9.9)平均等待队长平均等待队长 (9.10)系统中顾客数的方差系统中顾客数的方差 (9.

17、11)顾客不须等待概率顾客不须等待概率 (9.12)可以证明，顾客在系统中逗留时间可以证明，顾客在系统中逗留时间T服从服从参数为的指数参数为的指数 分布，从而顾客在系分布，从而顾客在系统平均逗留时间统平均逗留时间 (9.13)顾客在系统平均等待时间顾客在系统平均等待时间 (9.14)从上结论可以看出，各指标之间有如下关系从上结论可以看出，各指标之间有如下关系 (9.15)(9.16)(9.15)(5)(5)简单例子简单例子简单例子简单例子 例例例例1(1(病人候诊问题病人候诊问题病人候诊问题病人候诊问题)某单位医院的一个科室有一位医某单位医院的一个科室有一位医某单位医院的一个科室有一位医某单位

18、医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小平均有生值班，经长期观察，每小平均有生值班，经长期观察，每小平均有生值班，经长期观察，每小平均有4 4个病人，医生每个病人，医生每个病人，医生每个病人，医生每小时平均可诊小时平均可诊小时平均可诊小时平均可诊5 5个病人，病人的到来服从泊松分布，个病人，病人的到来服从泊松分布，个病人，病人的到来服从泊松分布，个病人，病人的到来服从泊松分布，医生的诊病时间服从负指数分布，试分析该科室的工医生的诊病时间服从负指数分布，试分析该科室的工医生的诊病时间服从负指数分布，试分析该科室的工医生的诊病时间服从负指数分布，试分析该科室的工作状况，如果满足作状况，如果满

19、足作状况，如果满足作状况，如果满足99%99%以上的病人有座，此科室至少以上的病人有座，此科室至少以上的病人有座，此科室至少以上的病人有座，此科室至少应设多少座位应设多少座位应设多少座位应设多少座位?如果该单位每天如果该单位每天如果该单位每天如果该单位每天2424小时上班，病人看小时上班，病人看小时上班，病人看小时上班，病人看病病病病1 1小时因耽误工作单位要损失小时因耽误工作单位要损失小时因耽误工作单位要损失小时因耽误工作单位要损失3030元，这样单位平均元，这样单位平均元，这样单位平均元，这样单位平均每天损失多少元每天损失多少元每天损失多少元每天损失多少元?如果该科室提高看病速度，每小时如

20、果该科室提高看病速度，每小时如果该科室提高看病速度，每小时如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊平均可诊平均可诊平均可诊6 6个病人，单位每天可减少损失多少个病人，单位每天可减少损失多少个病人，单位每天可减少损失多少个病人，单位每天可减少损失多少?可减可减可减可减少多少座位少多少座位少多少座位少多少座位?解解解解:由题意知，由题意知，由题意知，由题意知，从而排队系统，从而排队系统，从而排队系统，从而排队系统的稳态概率为的稳态概率为的稳态概率为的稳态概率为 该科室平均有病人数为该科室平均有病人数为 该科室内排队候诊病人数为该科室内排队候诊病人数为 看一次病平均所需的时间为看一次病平均所需的时间为

21、 排队等候看病的平均时间为排队等候看病的平均时间为 为满足为满足99%以上的病人有座，设科室应设以上的病人有座，设科室应设m个个座位，则座位，则m应满足应满足 所以该科室至少应设所以该科室至少应设20个座位个座位 如果该单位如果该单位24小时上班，则每天平均有病人小时上班，则每天平均有病人244=96人，病人看病所花去的总时间为人，病人看病所花去的总时间为961=96小时，因看病平均每天损失小时，因看病平均每天损失3096=2880元，如果医生每小时可诊元，如果医生每小时可诊6个病个病人，人，则，则 这样单位每天的损失费为这样单位每天的损失费为这样单位每天的损失费为这样单位每天的损失费为960

22、.530=1440960.530=1440元，因元，因元，因元，因而单位每天平均可减少损失而单位每天平均可减少损失而单位每天平均可减少损失而单位每天平均可减少损失2880-1440=14402880-1440=1440元，这时元，这时元，这时元，这时为保证为保证为保证为保证99%99%以上的病人有座，应设座位数个比原来减以上的病人有座，应设座位数个比原来减以上的病人有座，应设座位数个比原来减以上的病人有座，应设座位数个比原来减少了少了少了少了9 9个。个。个。个。2.M/M/1/k 2.M/M/1/k 顾客来到的时间间隔服从参数的负指数分布，服顾客来到的时间间隔服从参数的负指数分布，服顾客来到

23、的时间间隔服从参数的负指数分布，服顾客来到的时间间隔服从参数的负指数分布，服务员为顾客服务时间服从参数的指数分布，且相互独务员为顾客服务时间服从参数的指数分布，且相互独务员为顾客服务时间服从参数的指数分布，且相互独务员为顾客服务时间服从参数的指数分布，且相互独立，立，立，立，1 1个服务台，系统容量为个服务台，系统容量为个服务台，系统容量为个服务台，系统容量为k k的等待制排队模型的等待制排队模型的等待制排队模型的等待制排队模型.因为是单服务台，系统容量为因为是单服务台，系统容量为因为是单服务台，系统容量为因为是单服务台，系统容量为k k，即排队等待的顾，即排队等待的顾，即排队等待的顾，即排队

24、等待的顾客最多为客最多为客最多为客最多为k-1k-1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有k k个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统，所以为个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统，所以为个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统，所以为个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统，所以为 在生灭过程差分微分方程组在生灭过程差分微分方程组在生灭过程差分微分方程组在生灭过程差分微分方程组(9.1)(9.1)式中取式中取式中取式中取 从而得此排队模型微分差分方程组从而得此排队模型微分差分方程组 (9.17)在稳

25、态情形下，式在稳态情形下，式(9.3)变为变为 (9.18)在条件在条件 下解下解(9.18)式得到式得到 虽然当虽然当 注意到，这里，不假设注意到，这里，不假设 条件，由于系统容量有限的限制条件，由于系统容量有限的限制 下面类似地给出系统的各种指标的计算结下面类似地给出系统的各种指标的计算结果果 (9.19)(9.20)(9.20)(9.21)(9.21)(9.22)(9.22)应该指出，应该指出，应该指出，应该指出，的导出过程中不采用平均达到率的导出过程中不采用平均达到率的导出过程中不采用平均达到率的导出过程中不采用平均达到率 ，而是采用有效到达率，而是采用有效到达率，而是采用有效到达率，

26、而是采用有效到达率 ，这主要是由于当系统，这主要是由于当系统，这主要是由于当系统，这主要是由于当系统已满时，顾客的实际到达率为零，因为正在被服务已满时，顾客的实际到达率为零，因为正在被服务已满时，顾客的实际到达率为零，因为正在被服务已满时，顾客的实际到达率为零，因为正在被服务的顾客的平均数为的顾客的平均数为的顾客的平均数为的顾客的平均数为 ，于是，于是，于是，于是 (9.21)(二二)多服务台等待制多服务台等待制M/M/C排队模型排队模型 1.M/M/C/顾客来到的时间间隔服从参顾客来到的时间间隔服从参数的负指数分布，服务员为顾客服务时间服数的负指数分布，服务员为顾客服务时间服从参数的指数分布

27、，从参数的指数分布，C个服务台，系统容量个服务台，系统容量为的等待制排队模型。为的等待制排队模型。(1)稳态的概率分布稳态的概率分布 M/M/C/模型系统状态图为模型系统状态图为 0 1 2 c-1 c c+1 2 图图2 因此在生灭过程微分差分方程组因此在生灭过程微分差分方程组(9.2)式中，式中，令令 得到得到 此模型微分差分方程组此模型微分差分方程组 (9.23)显显然当然当 有有稳态稳态解，解，类类似地似地(9.4)式演式演变变(9.24)解解(9.24)式差分方程得式差分方程得:（9.25)其中其中(9.26)(2)主要主要结结果果 (9.27)(9.28)(9.29)（9.30)2

28、.M/M/c/k 顾客来到的时间间顾客来到的时间间 隔服从参数隔服从参数 的负的负指数分布服务员为顾客服务时间指数分布服务员为顾客服务时间 服从参数服从参数的指数分布，的指数分布，C个服务台，系统容量为个服务台，系统容量为k的等的等待制排队模型待制排队模型.因为是多服务台，系统容量为因为是多服务台，系统容量为 ，即系统，即系统状态为状态为 时，当时，当 时，时，个服务台空闲。个服务台空闲。当当 时，服务台正忙着，有时，服务台正忙着，有 个正等候个正等候着，在某一时刻一顾客到达时，系统中已有着，在某一时刻一顾客到达时，系统中已有 个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。个顾客，那么这个顾客就被拒绝

29、进入系统。根据此模型的特点，在生灭过程微分差分根据此模型的特点，在生灭过程微分差分方程组方程组(9.1)式中取式中取 得此模型微分差分方程组得此模型微分差分方程组(9.31)稳态情况差分方程为稳态情况差分方程为(9.32)由由，解式，解式(9.32)差分方程差分方程组组得得(9.33)其中其中(9.34)(9.35)(9.36)(9.37)(9.38)(9.39)二、实例分析二、实例分析 机器维修服务机器维修服务 （一）问题提出（一）问题提出机器发生故障后排队等待修理，队伍越长因停产造成机器发生故障后排队等待修理，队伍越长因停产造成的损失越大。提高维修工人和设备的服务速度或增加其的损失越大。提

30、高维修工人和设备的服务速度或增加其数量可以减少队长，但将使修理费用上升选择怎样的服数量可以减少队长，但将使修理费用上升选择怎样的服务速度，或者确定几个维修工人和设备使损失和修理的务速度，或者确定几个维修工人和设备使损失和修理的总费用最小。总费用最小。（二）建模与分析（二）建模与分析模型模型最优服务率最优服务率 假设假设:(1)发生故障机器维修服务服从发生故障机器维修服务服从M/M/1，平均到达，平均到达率率(单位时间发生故障的机器数单位时间发生故障的机器数)为为，平均服务率，平均服务率(单位单位时间平均修理数时间平均修理数)为为，且，且。(2)(2)每台故障机器单位时间的损失费每台故障机器单位

31、时间的损失费每台故障机器单位时间的损失费每台故障机器单位时间的损失费 为，一台机器平为，一台机器平为，一台机器平为，一台机器平均修理费均修理费均修理费均修理费 为。为。为。为。由由由由(1)(1)、(2)(2)假设，可得单位时间损失和修理的总费假设，可得单位时间损失和修理的总费假设，可得单位时间损失和修理的总费假设，可得单位时间损失和修理的总费用为用为用为用为 模型即为模型即为模型即为模型即为 (9.40)(9.40)由由由由 (9.41)(9.41)令令令令 得得得得 而而而而 ，于是，于是，于是，于是 即为最优服务率，这就说明即为最优服务率，这就说明即为最优服务率，这就说明即为最优服务率，

32、这就说明 随着发生故障机器数随着发生故障机器数随着发生故障机器数随着发生故障机器数 和损失费的和损失费的和损失费的和损失费的 增加而增加，随着修理费增加而增加，随着修理费增加而增加，随着修理费增加而增加，随着修理费 的增加的增加的增加的增加而减少，合乎情理。而减少，合乎情理。而减少，合乎情理。而减少，合乎情理。的增加而减少，合乎情理。由于模型由于模型是单服务台系统，得到最优服务是单服务台系统，得到最优服务率为率为 的理论值，但在实际操作中，设备与的理论值，但在实际操作中，设备与工人强度限制达不到此值，所以要讨论模型工人强度限制达不到此值，所以要讨论模型，根据能达到服务率来确定最佳服务台数。，根

33、据能达到服务率来确定最佳服务台数。模型模型 最佳服务台数最佳服务台数 假设假设 发生故障机器维修服务服从发生故障机器维修服务服从M/M/C，平均到达率为，平均到达率为 ，平均服务率为，平均服务率为 ，且，且 。每台故障机器单位时间的损失费为每台故障机器单位时间的损失费为 ，单，单位时间每个服务员的服务成本一名维修工人位时间每个服务员的服务成本一名维修工人及设备的费用及设备的费用)为为 。由假设由假设 、可得模型可得模型 (9.42)其中其中 由由(9.28)式给出式给出 因为因为C只取整数值，所以不能用微分法求只取整数值，所以不能用微分法求 的最小值，利用边际分析方法，当的最小值，利用边际分析方法，当 取最取最小值应满足小值应满足 (9.43)将将(9.43)式代入式式代入式(9.42)并化简得并化简得(9.44)对对于于C=1，2，依次依次计计算算及及当已知数当已知数满满足足(9.45)时时即可确定最即可确定最优值优值。，