排队论模型及实例.ppt

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1、某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务。新来 维修的顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要排队 等待。若排队的人数过多，势必会造成顾客抱怨，会影响到 公司产品的销售；若维修人员多，会增加维修中心的支出， 如何调整两者的关系，使得系统达到最优.,例10.1 排队的例子,它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如： 上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形 成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售票处购票形成的排 队等; 另一种排队是物的排队，例如文件等待打印或发送; 路 口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.,排队现象是由两个方面构成，一方要求得

2、到服务，另一方设 法给予服务。我们把要求得到服务的人或物（设备）统称为 顾客, 给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员或服务 台。顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系 统。 显然缺少顾客或服务台任何一方都不会形成排队系统.,对于任何一个排队服务系统，每一名顾客通过排队服务系统 总要经过如下过程：顾客到达、排队等待、接受服务和离 去，其过程如下图所示:,输入过程,顾客源总体：顾客的来源可能是有限的，也可 能是无限的,2. 排队服务系统的基本概念,到达的类型：顾客是单个到达，或是成批到达,相继顾客到达的间隔时间：通常假定是相互独 立、同分布的，有的是等距间隔时间，有的是 服从Pois

3、son分布，有的是服从k阶Erlang分布,输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统,排队规则,损失制排队系统：顾客到达时,若有服务台均被占,服务机构 又不允许顾客等待, 此时该顾客就自动辞去,2. 排队服务系统的基本概念,等待制排队系统：顾客到达时若所有服务台均被占，他们 就排队等待服务。在等待制系统中,服务 顺序又分为：先到先服务,即顾客按到达 的先后顺序接受服务；后到先服务 .,混合制排队系统：损失制与等待制的混合，分为队长(容量) 有限的混合制系统，等待时间有限的混 合制系统，以及逗留时间有限制的混合 系统.,排队规则是指服务允许不允许排队，顾客是否愿意排队,服务机构,服

4、务台的数目: 在多个服务台的情形下，是串 联或是并联；,2. 排队服务系统的基本概念,顾客所需的服务时间服从什么样的概率分布， 每个顾客所需的服务时间是否相互独立，是成 批服务或是单个服务等。常见顾客的服务时间 分布有：定长分布、负指数分布、超指数分 布、k阶Erlang分布、几何分布、一般分布等.,3.符号表示,排队论模型的记号是20世纪50年代初由D. G. Kendall (肯 达尔)引入的，通常由35个英文字母组成，其形式为,其中A表示输入过程，B表示服务时间，C表示服务台数目，n表示系统空间数。例如:,M/M/S/ 表示输入过程是Poisson流, 服务时间服从负 指数分布, 系统有

5、S个服务台平行服务, 系统容量为无穷的 等待制排队系统.,(2) M/G/1/ 表示输入过程是Poisson流，顾客所需的服务 时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务 台，容量为无穷的等待制系统.,GI/M/1/表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 隔时间服从一船概率分布，服务时间是相互独立、服从负指 数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统,3. 符号表示,(4) Ek/G/1/K表示相继到达的间隔时间独立、服从k阶Erlang 分布，服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一 个服务台，容量为K的混合制系统.,(5) D/M/S/K表示相继到达的间隔时间独立、

6、服从定长分布、 服务时间相互独立、服从负指数分布，系统中有S个服务台 平行服务，容量为K的混合制系统.,4. 描述排队系统的主要数量指标,队长与等待队长,队长(通常记为LS)是指在系统中的顾客的平均数(包括正在接受服务的顾客),而等待队长(通常记为Lq)是指系统中排队等待的顾客的平均数，它们是顾客和服务机构双方都十分关心的数量指标。显然队长等于等待队长加上正在被服务的顾客数.,顾客的平均等待时间与平均逗留时间,顾客的平均等待时间(通常记为Wq)是指从顾客进入系 统的时刻起直到开始接受服务止的平均时间。平均逗 留时间(通常记为Ws)是指顾客在系统中的平均等待时 间与平均服务时间之和。平均等待时间

7、与平均服务时 间是顾客最关心的数量指标.,4. 描述排队系统的主要数量指标,系统的忙期与闲期,从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到系统再次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时间，我们称为系统的忙期，它反映了系统中服务机构的工作强度，是衡量服务机构利用效率的指标，即,与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时 间长度.,服务机构 工作强度,用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间,用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间,5. Little（利特尔）公式,用 表示单位时间内顾客到达的平均数,表示单位时间内 被服务完毕离去的平均顾客数，因此1/ 表示相邻两顾客到 达的平均时间，1/ 表示

8、对每个顾客的平均服务时间. J. D. C. Little给出了如下公式：,6. 与排队论模型有关的LINGO函数,(1) peb (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且允许排队时系统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率. (2) pel (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且不允许排队时系统损失概率, 也就是顾客得不到服务离 开的概率. (3) pfs (load, S, K) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 顾客数为K,平行服务 器数量为S时, 有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数

9、 的期望值.,10. 2 等待制排队模型,等待制排队模型中最常见的模型是,即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立，且服从参数 为的负指数分布(即输入过程为Poisson过程), 服务台 的服务时间也独立同分布, 且服从参数为的负指数分 布，而且系统空间无限，允许永远排队.,1. 等待制排队模型的基本参数,(1) 顾客等待的概率Pwait,其中S是服务台或服务员的个数，load是系统到达负荷， 即 load=/=R*T, 式中R表示, T表示1/, R表示, 在下面的程序中，因此，R或是顾客的平均到达率， 是顾客的平均被服务数，T 就是平均服务时间.,1. 等待制排队模型的基本参数,(2) 顾客的

10、平均等待时间Wq,其中T/(S-load)是一个重要指标，可以看成一个“合理的 长度间隔”。注意，当loadS时，此值趋于无穷。也就 是说，系统负荷接近服从器的个数时，顾客平均等待时 间将趋于无穷. 当load S时, 上式Wq无意义。其直观的解释是：当系统 负荷超过服从器的个数时, 排队系统达不到稳定的状态, 其队将越排越长.,1. 等待制排队模型的基本参数,顾客的平均逗留时间Ws、队长Ls和等待队长Lq 这三个值可由Little公式直接得到,2. 等待制排队模型的计算实例,S=1的情况(M/M/1/) 即只有一个服务台或一名服务员服务的情况.,例10.2 某维修中心在周末现只安排一名员工为

11、顾客提供服务。新来维修的顾客到达后，若已有顾客正在接受服务，则需要排队等待。假设来维修的顾客到达过程为Poisson流，平均4人/小时，维修时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求该系统的主要数量指标。,解 按照式上面分析, 编写LINGO程序，其中R=4,T=6/60, load=R.T,S=1. 程序名:exam1002.lg4.,2. 等待制排队模型的计算实例,由此得到： (1) 系统平均队长 Ls=0.6666667, (2) 系统平均等待队长 Lq=0.2666667, (3) 顾客平均逗留时间 Ws=0.1666667(小时)=10(分钟) (4) 顾客平均等待时间 Wq=0.06

12、666667(小时)=4(分钟) (5) 系统繁忙概率 P wait=0.4,在商业中心处设置一台ATM机，假设来取钱的顾客平均每分钟0.6个，而每个顾客的平均取钱的时间为1.25分钟，试求该ATM机的主要数量指标.,解 只需将上例LINGO程序作如下改动：R=0.6,T=1.25 即可得到结果.程序名:exam1003.lg4.计算结果见运行,例10.3,即平均队长为3人，平均等待队长为2.25人，顾客平均逗留时间5分钟，顾客平均等待时间为3.75分钟，系统繁忙概率为0.75.,S1的情况(M/M/S/) 表示有多个服务台或多名服务员服务的情况,例10. 设打印室有3名打字员, 平均每个文件

13、的打印时间为10分钟，而文件的到达率为每小时15件，试求该打印室的主要数量指标.,解 按照上面分析, 编写LINGO程序, 程名:exam1004.lg4.,计算结果分析：即在打字室内现有的平均文件数为6.011件，等待打印平均文件数3.511件，每份文件在打字室平均停留时间为0.400小时（24分钟），排队等待打印的平均时间0.234小时(14分钟),打印室不空闲的概率0.702.,某售票点有两个售票窗口，顾客按参数=8人/分钟的Poisson流到达，每个窗口的售票时间均服从参数=5人/分钟的负指数分布，试比较以下两种排队方案的运行指标.,(1) 顾客到达后,以1/2的概率站成两个队列，如右

14、图所示：,例10.5,(2) 顾客到达后排成一个队列, 顾客发现哪个窗口空时, 他就接受该窗口的服务，如下图所示:,解 (1) 实质上是两个独立的M/M/1/系统,其参数S=1,R=1=2=4, T=1/=1/5=0.2, 编写其LINGO程序，程序名: exam1005a.lg4. 计算结果见运行,例10.5,(2) 是两个并联系统, 其参数S=2,R=8, T=1/=1/5=0.2, 编写其LINGO程序, 程序名: exam1005b.lg4. 计算结果见运行,两种系统的计算结果,从上表中所列的计算结果可以看出,在服务台的各种性能指 标不变的情况下,采用不同的排队方式,其结果是不同的.

15、从 表得到,采用多队列排队系统的队长为4,而采用单排队系统 总队长为4.444, 也就是说每一个子队的队长为2.222,几乎是 多列队排队系统的1/2, 效率几乎提高了一倍.,例10.5比较分析,10. 3 损失制排队模型,损失制排队模型通常记为,当S个服务器被占用后，顾客自动离去。其模型的基本 参数与等待制排队模型有些不同, 我们关心如下指标：,(1) 系统损失的概率,其中load是系统到达负荷,S是服务台或服务员的个数.,1.损失制排队模型的基本参数,(2)单位时间内平均进入系统的顾客数(e或Re),(3)系统的相对通过能力Q与绝对通过能力A,(4)系统在单位时间内占用服务台(或服务员)的

16、均值Ls,注意: 在损失制排队系统中, Lq=0, 即等待队长为0.,(5)系统服务台（或服务员）的效率,(6)顾客在系统内平均逗留时间(由于Wq=0, 即为Ws）,注意: 在损失制排队系统中, Wq=0, 即等待时间为0.,在上述公式中, 引入e (或Re)是十分重要的, 因为尽管 顾客的以平均(或R)的速率到达服务系统, 但当系统 被占满后, 有一部分顾客会自动离去, 因此,真正进入系 统的顾客输入率是e ,它小于.,2. 损失制排队模型的计算实例,S=1的情况(M/M/1/1),例10.6 设某条电话线，平均每分钟有0.6次呼唤，若每次通话时间平均为1.25分钟，求系统相应的参数指标。,

17、解 按照上面分析, 编写LINGO程序，其中S=1,R=0.6,T=1/=1.25, 程序名:exam1006.lg4，结果见运行,系统的顾客损失率为43%, 即43%的电话没有接通, 有57% 的电话得到了服务,通话率为平均每分钟有0.195次, 系统的 服务效率为43%. 对于一个服务台的损失制系统, 系统的服 务效率等于系统的顾客损失率,这一点在理论上也是正确的.,S1的情况(M/M/S/S),例10.7 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8小时的时间内，有20%的内线分机平均每40分钟要一次外线电话，80%的分机平均隔120分钟要一次外线。又知外线打入内线的电话平均每

18、分钟1次. 假设与外线通话的时间为平均3分钟, 并且上述时间均服从负指数分布,如果要求电话的通话率为95%, 问该交换台应设置多少条外线？,解 (1) 电话交换台的服务分成两类,第一类内线打外线, 其强度为:,第二类是外线打内线，其强度为2=1*60=60.因此，总强度为=1+2=140+60=200.,(2) 这是损失制服务系统, 按题目要求, 系统损失的概率不能超过5%, 即,(3) 外线是整数，在满足条件下，条数越少越好。由上述三条，写出相应的LINGO程序，程序名：exam1007a.lg4.,例10.7,经计算得到, 即需要15条外线, 在此条件下, 交换台的顾客损失率为3.65%,

19、 有96.35%的电话得到了服务, 通话率为平均每小时185.67次, 交换台每条外线的服务效率为64.23%.,在前面谈过，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划(尽管是一维的), 但计算时间可能会较长, 因此, 我们选用下面的处理法, 分两步处理.,第一步, 求出概率为5%的服务台的个数, 尽管要求服务台是整数, 但pel()可以给出实数解.写出LINGO程序, 程序名：exam1007b1.lg4.,例10.7,第二步, 注意到pel(load, S)是S的单调递减函数, 因此, 对S取整(采用只入不舍原则)就是满足条件的最小服务台数, 然后再计算出其他的参

20、数指标。写出LINGO程序, 程序名：exam1007b2.lg4.,比较两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算时间上要少许多.,10. 4 混合制排队模型,混合制排队模型通常记为,即有S个服务台或服务员,系统空间容量为K, 当K个位置 已被顾客占用时, 新到的顾客自动离去,当系统中有空位 置时, 新到的顾客进入系统排队等待。,对于混合制排队模型,LINGO软件并没有提供特殊的计 算函数,因此需要混合制排队模型的基本公式进行算, 为此, 先给出其基本公式.,设pi(i=1,2, , K)是系统有i个顾客的概率, p0表示系统空 闲时的概率, 因此有:,设i(i=1,

21、2, K)为系统在i时刻的输入强度,i (i=1,2 , K) 为系统在i时刻的服务强度, 在平衡过下, 可得到平衡方程,1. 混合制排队模型的基本公式,对于混合制排队模型M/M/S/K, 有,1. 混合制排队模型的基本公式,对于混合制排队模型，人们关心如下参数：,(1) 系统的损失概率,2. 混合制排队模型的基本参数,(2) 系统的相对通过 能力Q和单位时间 平均进入系统的顾 客数e,(3)平均队长Ls和平均等待队长Lq,(4) 顾客在系统内平均逗留时间Ws 和平均排队等待时间 Wq , 这两个时间可由Little公式得到,注意:上面两公式中，是除e而不是, 其理由与损失 制系统相同.,2.

22、 混合制排队模型的基本参数,S=1 的情况(M/M/1/K),例10.8 某理发店只有1名理发员, 因场所有限, 店里最多可容纳4名顾客, 假设来理发的顾客按Poisson过程到达, 平均到达率为每小时6人, 理发时间服从负指数分布, 平均12分钟可为1名顾客理发, 求该系统的各项参数指标.,解 按照上面分析, 其参数S=1,K=4,R=6,T=1/=12/60,再计算相应的损失概率pK 及各项参数指标, 编写出LINGO程序，程序名:exam1008.lg4，结果见运行,即理发店的空闲率为13.4%, 顾客的损失率为27.9%, 每小时 进入理发店的平均顾客数为4.328人,理发店内的平均顾

23、客数 (队长)为2.359人,顾客在理发店的平均逗留时间是0.545小时 (32.7分钟), 理发店里等待理发的平均顾客数(等待队长)为 1.494人,顾客在理发店的平均等待时间为0.345小时(20.7分),3. 混合制排队模型的计算实例,S1的情况(M/M/S/K),例10.9 某工厂的机器维修中心有9名维修工,因为场地限制,中心内最多可以容纳12台需要维修的设备,假设待修的设备按Poisson过程到达,平均每天4台,维修设备服从负指数分布,每台设备平均需要2天时间, 求该系统的各项参数指标.,解 其参数S=9,K=12,R=4,T=1/=2,再计算相应的损失概率pK 及各项参数指标,编写

24、出LINGO程序，程序名:exam1009.lg4，结果见运行,经计算得到：维修中心的空闲率p0=0.033%$,设备的损失率Plost=8.61%, 每天进入维修中心需要维修的设备e=3.66台,维修中心内的平均维修的设备(队长) Ls=7.87台,待修设备在维修中心的平均逗留时间Ws= 2.15天,维修中心内等平均待维修的设备(等待队长)Lq=0.561天, 待修设备在维修中心的平均等待时间Wq=0.153天.,10. 5 闭合式排队模型,设系统内有M个服务台(或服务员),顾客到达系统的间隔 时间和服务台的服务时间均为负指数分布, 而系统的容 量和潜在的顾客数都为K,又顾客到达率为, 服务

25、台的 平均服务率为,这样的系统称为闭合式排队模型,记为,对于闭合式排队模型，我们关心的参数：,(1) 平均队长,1. 闭合式排队模型的基本参数,其中load是系统的负荷,其计算公式为,即 系统的负荷=系统的顾客数 X 顾客的到达率 X 顾客的服务时间,(2) 单位时间平均进入系统的顾客数e或Re.,(3)顾客处于正常情况的概率,(5)每个服务台(服务员)的工作强度,(4)平均逗留时间Ws、平均等待队长L q和 平均排队等待 时间Wq ,这三个值可由Little公式得到,S=1 的情况(M/M/1/K/K),例10.10 设有1名工人负责照管6台自动机床.当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自

26、动停车, 等待工人照管. 设平均每台机床两次停车的时间间隔为1小时, 停车时需要工人照管的平均时间是6分钟, 并均服从负指数分布, 求该系统的各项指标.,解 这是一个闭合式排队模型M/M/1/6/6, 其参数为S=1,K=6,R=1,T=1/=6/60,计算出平均队长,再计算出其他各项指标,写出LINGO程序,程序名:exam1010.lg4,结果见运行.,机床的平均队长为0.845台,平均等待队长为0.330台, 机床的 平均逗留时间为0.164小时(9.84分钟),平均等待时间为0.064 小时(3.84分钟),机床的正常工作概率为85.91%,工人的劳动 强度为0.515.,S1 的情况

27、,例10.11 (继例10.10) 将例中的条件改为由3名工人联合看管20台自动机床, 其他条件不变, 求该系统的各项指标。,解 这是M/M/3/20/20闭合式排队模型, 其参数为S=3,K=20,其余不变,写出LINGO程序,程序名:exam1011.lg4,结果见运行.,2. 闭合式排队模型的计算实例,从上表可以看出,在第二种情况下,尽管每个工人看管的机器数增加了,但机器逗留时间和等待维修时间却缩短了,机器的正常运转率和工人的劳动强度都提高了。,例10.10和例10.11的计算结果比较,10. 6 排队系统的最优化模型,排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和 系统控制的优化。前

28、者为静态优化，即在服务系统设置 以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使 系统最为经济。后者称动态优化，即对已有的排队系统 寻求使其某一目标函数达到最优的运营机制。 本节的主要目的是利用LINGO软件求函数极值的功能, 求系统的静态优化。,系统服务时间T=1/. 我们需要调整系统服务时间使系 统达到最优。,1. 系统服务时间的确定,例10.12 设某工人照管4台自动机床,机床运转时间(或各 台机床损坏的相继时间)平均为负指数分布, 假定平均每 周有一台机床损坏需要维修, 机床运转单位时间内平均 收入100元, 而每增加1单位的维修费用为75元。求使 总利益达到最大的*.,例10.12,

29、解 这是一个闭合式排队系统M/M/1/K/K, 且K=4. 设Ls 是 队长,则正常运转的机器为 K-Ls 部, 因此目标函数为,题意就是在上述条件下，求目标函数 f 的最大值. 写出LINGO程序, 程序名:exam1012.lg4, 结果见运行.,* = 1.799. 最优目标值f * = 31.49.,例10.13 假定有一混合制排队系统M/M/1/K, 其顾客的到 达率为每小时3.6人,其到达间隔服从Poisson过程. 系统服 务一个顾客收费2元.又设系统的服务强度为 ( =1/T, T 为服务时间) 服从负指数分布,其服务成本为每小时0.5 元. 求系统为每个顾客的最佳服务时间.,

30、题意就是在上述条件下，求目标函数 f 的最大值. 写出LINGO程序, 程序名:exam1013.lg4, 结果见运行.,解 系统的损失率为pK, 则系统每小时服务的人数为 (1-pK) , 每小运行成本为0.5, 因此目标函数为,即系统为每位顾客最佳服务时间是 0.2238 小时 (13.43分钟), 系统每小时盈利 3.70元.,2. 系统服务台(员)的确定,例10.14 一个大型露天矿山, 正考虑修建矿石卸位的个 数. 估计运矿石的车将按Poisson流到达, 平均每小时15 辆. 卸矿石时间服从负指数分布, 平均3分钟卸一辆. 又知 每辆运送矿石的卡车售价是8万元, 修建一个卸位的投资 是14万元. 问应建多少个矿山卸位最为适宜？,题意就是在上述条件下，求目标函数 f 的最小值. 写出LINGO程序, 程序名:exam1014.lg4, 结果见运行.,解 用等待制排队系统M/M/S/进行分析, 其费用包括两 个方面, 一个是建造卸位的费用, 另一是卡车处于排队状 态不能工作的费用, 因此目标函数为,例10.14,即建2个卸位，总成本是 34.98 万元.,