2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题02 讨论含有参数的函数的单调性学案.doc

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1、1专题专题 0202 讨论含有参数的函数的单调性讨论含有参数的函数的单调性一、一、导数可以用来判断函数的单调性，在某个区间D内，如果0)( xf，那么函数)(xf在这个区间内单调递增；如果0)( xf，那么函数)(xf在这个区间内单调递减；注：注：常数的导函数0)( xf函数)(xf在D内单调递增，则0)( xf恒成立，)(xf在D内单调递减，则0)( xf恒成立，0)( xf是)(xf在D内单调递增的充分不必要条件.二、二、求解某函数单调区间的步骤：（1）确定函数定义域，对函数)(xf求导；（2）令导函数0)( xf解根（要在定义域内） ；（3）根据)( xf零点将定义域分成若干个区间，判断

2、每个区间导函数的符号，若0)( xf，则)(xf单调递增，反之，)(xf单调递减；对于求含有参数的函数的单调区间或者讨论含有参数的函数的单调性解题思路与没有参数基本一致：（1）确定函数定义域，对函数)(xf求导；（2）令导函数0)( xf解根，此时可能解出的根含有参数或者参数在分母上，就要对参数进行分类讨论，若在分母上，先讨论是否等于零，再讨论是否在定义域内，不在定义域内说明原函数单调，若在，分区间判定导函数符号，如果有一个根有参数另一个根没有，还要比较两者大小（3）最后总结，写出参数范围下函数)(xf的单调区间。 例例 1 1、 （20152015 江苏高考江苏高考 1919）已知函数),(

3、)(23Rbabaxxxf（1）试讨论)(xf的单调性；解：解：（1）axxxf23)( 2令0)( xf，可得0x或32ax0a时，0)( xf，)(xf在R上单调递增；0a时，), 0()32,(ax时，0)( xf，)0 ,32(ax时，0)( xf，函数)(xf在)32,(a，), 0( 上单调递增，在)0 ,32(a上单调递减；0a时，),32()0 ,(ax时，0)( xf，)32, 0(ax时，0)( xf，2函数)(xf在)0 ,(，),32(a上单调递增，在)32, 0(a上单调递减；例例 2 2、 （20172017 扬州高三上期末扬州高三上期末 2020）已知函数)()(

4、)(xhxgxf，其中函数xexg)(，aaxxxh2)(（2）当20 a时，求函数)(xf在aax,2上的最大值；分析：分析：要求函数)(xf在aax,2上的最大值即要研究函数)(xf的单调性例例 3 3、 （20172017 南京盐城高三一模）南京盐城高三一模）设函数( )lnf xx，1( )3ag xaxx（aR）.（2）求函数( )( )( )xf xg x的单调增区间；解：解：（2）因为1( )( )( )ln3(0)axf xg xxaxxx，所以222211(1)(1)(1)( )aaxxaaxaxxaxxxx（0x ）当0a 时，由( )0x，解得0x ；3当1a 时，由(

5、)0x，解得1axa；当01a时，由( )0x，解得0x ；当1a 时，由( )0x，解得0x ；当0a 时，由( )0x，解得10axa.综上所述，当0a 时，( )x的增区间为1(0,)a a；当01a时，( )x的增区间为(0,)；1a 时，( )x的增区间为1(,)a a. 例例 4 4、 （20162016 盐城高三三模盐城高三三模 1919）已知函数( )lnf xmx（mR）.（2）设函数xmmxxfxg)2()()(22，试求)(xg的单调区间；综上所述，( )g x的单调区间如下：当0m 时，函数( )g x在(0,)上单调递增；当2m 时，函数( )g x在(0,)上单调递

6、减；4当20m时，函数( )g x的增区间为1(,2m m），减区间为02m（，）与1+m（，）；当2m 时，函数( )g x的增区间为1(,2m m），减区间为10m（，）与+2m（，）. 例例 5 5、 （20172017 南京高三期末南京高三期末 2020）已知函数xbxaxxfln)(2，Rba,（2）当12 ab时，讨论函数)(xf的单调性；（2） 0,) 1)(12(1) 12(2)( xxxax xaaxxf当0a时，01)( xxxf解得1x) 1 , 0(x时，0)( xf，)(xf单调递增；), 1 ( x时，0)( xf，)(xf单调递减；当0a，0) 1)(12()(

7、xxaxxf解得1x) 1 , 0(x时，0)( xf，)(xf单调递增；), 1 ( x，0)( xf，)(xf单调递减；当21a时，0) 1()( 2 xxxf恒成立，故)(xf在), 0( 上单调递增；当210 a时，0) 1)(12()( xxaxxf解得1x或ax21且a211) 1 , 0(x时，0)( xf，)(xf单调递增；)21, 1 (ax时，0)( xf，)(xf单调递减；),21(ax时，0)( xf，)(xf单调递增；当21a时，0) 1)(12()( xxaxxf解得1x或ax21且a211)21, 0(ax时，0)( xf，)(xf单调递增；) 1 ,21(ax时

8、，0)( xf，)(xf单调递减；), 1 ( x时，0)( xf，)(xf单调递增；综上所述：当0a时，函数)(xf在) 1 , 0(上单调递增，在), 1 ( 上单调递减；当21a时，函数)(xf在), 0( 上单调递增；当210 a时，函数)(xf在) 1 , 0(和),21(a上单调递增，在)21, 1 (a上单调递减；当21a时，函数)(xf在)21, 0(a和), 1 ( 上单调递增，在) 1 ,21(a上单调递减；注：注：含有参数的函数的单调性讨论是必须要熟练掌握的，因为在后面极值、最值、零点、恒成立的诸多问题都会涉及函数单调性，零点、极值点、恒成立专题中都会含有参数的函数单调性

9、讨论，只有在准确的得5到单调性的基础上才能进一步研究函数的零点、最值等问题。如果掌握不好分类讨论的思想，后面在做函数与导数的大题时将会举步维艰。巩固练习：巩固练习：1 1、 （20152015 苏北四市高三三模苏北四市高三三模 2020）已知函数bxaxxxf23 31)(，其中ba,为常数. 讨论函数)(xf在区间),(a上单调性；2 2、 （20162016 上饶校级二模变式）上饶校级二模变式）已知函数xexf)(，1)(2axxxg，Ra记函数)()()(xgxfxF，求)(xF的单调增区间；3 3、 （20172017 江西袁州区高三上期中）江西袁州区高三上期中）已知a为实常数，函数1

10、ln)(axxxf讨论函数)(xf的单调性；4 4、 （20152015 南通一中高考前模拟）南通一中高考前模拟）已知函数1ln) 1()(2axxaxf，讨论函数)(xf的单调性；5 5、 （20152015 无锡高三上期中变式）无锡高三上期中变式）已知函数11ln)(xaaxxxf，Ra,讨论)(xf的单调性巩固练习答案解析：巩固练习答案解析：1 1、解：、解：12)( 2axxxf，对称轴为ax，0442a当 0)( afaa，即33a时0)( xf在),(a上恒成立，故)(xf在区间),(a单调递增；当0)( af，即33 33a时，0)( xf在),(a上有一解为aax12当)1,(

11、2aaax时，0)( xf，)(xf单调递减当),1(2aax，0)( xf，)(xf单调递增当 0)( afaa，即33a时，0)( xf在),(a上有两解为aax12当)1,(2aaax，0)( xf，)(xf单调递增6当)1,1(22aaaax，0)( xf，)(xf单调递减当)1(2，aax，0)( xf，)(xf单调递增综上所述：当33a时，)(xf在区间),(a单调递增；当33 33a时，)(xf在)1,(2aaa上单调递减，在),1(2aa上单调递增；当33a时，)(xf在)1,(2aaa和)1(2，aa上单调递增，在)1,1(22aaaa上单调递减； 73 3、解：、解：)(x

12、f的定义域为), 0( ，xaxaxxf11)( 当0a时，01)( xxf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增；当0a时，0)( xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增；当0a时，01)( xaxxf解得ax1)1, 0(ax时，0)( xf，)(xf单调递增；),1(ax，0)( xf，)(xf单调递减综上所述：当0a时，)(xf在), 0( 上单调递增；当0a时，)(xf在)1, 0(a上单调递增，在),1(a上单调递减4 4、分析：、分析：)(xf的定义域为), 0( ，0) 1(221)( 2 xaaxaxxaxf，先考虑0a，当0a时，0)( xf得aax212，若021

13、aa，说明0)( xf有解，若021aa，0)( xf无解，即)(xf就是单调的。解：解：)(xf的定义域为), 0( ，xaaxaxxaxf) 1(221)( 2当0a，01)( xxf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增；当021aa，即0a或1a0a时，0)( xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递增；1a时，0)( xf恒成立，)(xf在), 0( 上单调递减；当021aa，即01a，0)( xf解得aax21)21, 0(aax，0)( xf，)(xf单调递增),21(aax，0)( xf，)(xf单调递减综上所述：当0a时，)(xf在), 0( 上单调递增；8当1a时，)(

14、xf在), 0( 上单调递减；当01a时，)(xf在)21, 0(aa上单调递增，在),21(aa上单调递减当11 aa，即210 a，0)( xf解得1x或aax1) 1 , 0(x，0)( xf，)(xf单调递减)1, 1 (aax，0)( xf，)(xf单调递增),1(aax，0)( xf，)(xf单调递减综上所述：当0a时，)(xf在) 1 , 0(上单调递减，在), 1 ( 上单调递增；9当210 a时，)(xf在) 1 , 0(和),1( aa上单调递减，在)1, 1 (aa上单调递增；当21a时，)(xf在), 0( 上单调递减；当121 a时，)(xf在)1, 0(aa和), 1 ( 上单调递减，在) 1 ,1(aa上单调递增；当1a时，)(xf在) 1 , 0(上单调递增，在), 1 ( 上单调递减；