2019高考数学一轮复习 突破140必备 专题01 函数的切线问题学案.doc

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1、1专题专题 0101 函数的切线问题函数的切线问题由导数的几何意义可知函数)(xfy 在0xx 处的导数即是函数在)(,(00xfx处的切线的斜率。故函数)(xfy 在)(,(00xfx处的切线方程是)( )(000xxxfxfy，)(,(00xfx是切点坐标，既在函数)(xfy 上也在切线方程)( )(000xxxfxfy上；与切线有关的考题一般分为以下三类：过)(xfy 上的点)(,(00xfx的切线方程为)( )(000xxxfxfy过)(xfy 外一点),(nm向其作切线，先设切点为)(,(00xfx，写出切线方程)( )(000xxxfxfy，又),(nm在切线上，代入得)( )(0

2、00xmxfxfn函数)(xfy 与)(xgy 的公切线。若切点是同一点，这按照的解题方法。若切点不同，先假设)(xfy 上的切点)(,(11xfxA，得到切线方程)( )(111xxxfxfy；)(xgy 上的切点)(,(22xgxB，得到切线方程)( )(222xxxgxgy，因为切线是同一条直线，故得到两个等式)( )( 21xgxf、)( )()( )(222111xgxxgxfxxf下面通过具体与切线有关的例题来看看实际应用。例例 1 1、 （20152015 江苏高考江苏高考 1717）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区

3、边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为21,ll2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，NM,为C的两个端点，测得点M到21,ll的距离分别为5千米和40千米，点N到21,ll的距离分别为20千米和5 . 2千米，以21,ll所在的直线分别为XY,轴，建立平面直角坐标系xoy，假设曲线C符合函数bxay2（其中ba,为常数）模型（1）求ba,的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t请写出公路l长度的函数解析式)(tf，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度2解：解：（1）由题意可得：)40, 5(M，)5 . 2 ,20(N代入函数bxay25

4、 . 24004025baba解得 01000 ba答：当210t时，公路l的长度最短，最短长度为315千米。 例例 2 2、 （20152015 无锡高三期末无锡高三期末 2020）设函数( )22ln+f xxxaxb=-在点00(,()xf x处的切线方程为yxb .3（1）求实数a及0x的值；解：解：(1) 2 ln2fxxxxax 所以在点 0,0x f x处的切线方程为22 0000lnyxxxxaxb 其中22 0000lnxxxaxbb，00002ln21xxxax 解得01,1xa 例例 3 3、 （20182018 高三上百校联考高三上百校联考 2121）已知函数baxxx

5、xf23 25)(（ba、为常数） ，其图像是曲线C（3）已知A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线1l与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线2l，设切线21,ll的斜率分别为21,kk.问：是否存在常数，使得12kk？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.例例 4 4、 （20182018 苏锡常镇高三二模苏锡常镇高三二模 1919）已知函数),( , 1)(23Rbabxaxxxf（2）函数)(xf图象上点A处的切线1l与( )f x的图象相交于另一点B，在点B处的切线为2l，直线21,ll的斜率分别为12kk，且124kk ，求ba、满足的关系式4解：解：设)(,(00xfxA

6、，则)(xf在点A的切线方程为：)( )(000xxxfxfy即)(23() 1(002 002 03 0xxbaxxbxaxxy与1)(23bxaxxxf联立方程组得：)(23() 1() 1(002 002 03 023xxbaxxbxaxxbxaxx分组因式分解化简：0)2()(02 0axxxx所以B点的横坐标)2(0Baxxbaxxk02 0123，baaxxbaxaaxk2 02 002 02812)2(2)2(3由题意)23(481202 02 02 0baxxbaaxx即ba32例例 5 5、 （20182018 苏北四市高三上期末苏北四市高三上期末 1919）已知函数1)(2

7、axxxf，)( ,ln)(Raaxxg若存在与函数)(xf，)(xg的图象都相切的直线，求实数a的取值范围解：解：（2）设函数)(xf上点11( ,()xf x与函数)(xg上点22(, ()x g x处切线相同，axxf112)( ，)(xf的切线方程：)(2() 1(1112 1xxaxaxxy221)( xxg，)(xg的切线方程：)(1)(ln2 22xxxaxy所以2112xax ；1ln122 1axx 由解得22121a xx代入中得：222 221ln20(*)424aaxaxx设221( )ln2424aaF xxaxx，则23231121( )222axaxF xxxxx

8、 不妨设2 000210(0)xaxx 则当00xx时，( )0F x，当0xx时，( )0F x所以( )F x在区间0(0,)x上单调递减，在区间0(,)x 上单调递增5代入2 0 0 00121=2xaxxx可得：2 min0000 01( )()2ln2F xF xxxxx设21( )2ln2G xxxxx，则211( )220G xxxx对0x 恒成立，所以( )G x在区间(0,)上单调递增，又(1)=0G所以当01x时( )0G x ，即当001x时0()0F x 又当2axe时2 2 2421( )ln2424a aaaaF xeaee 2 211()04aae 因此当001x

9、时，函数( )F x必有零点；即当001x时，必存在2x使得(*)成立；即存在12,x x使得函数( )f x上点11( ,()xf x与函数( )g x上点22(, ()x g x处切线相同又由12yxx得：2120yx 所以12(0,1)yxx在单调递减，因此2 0 0 00121=2 1+ )xaxxx ，所以实数a的取值范围是 1,) 巩固练习：巩固练习：1 1、 （20182018 常州高三上期末常州高三上期末 1111）已知函数xbxxfln)(，其中Rb若过原点且斜率为k的直线与曲线)(xfy 相切，则bk 的值为e12 2、 （20182018 无锡高三上期末无锡高三上期末 2

10、020）已知函数( )(32)xf xex，( )(2)g xa x，其中, a xR.（1）求过点(2,0)和函数( )yf x的图像相切的直线方程；3 3、 （20182018 扬州高三上期末扬州高三上期末 1919）已知函数xexf)(， Rbabaxxg,.（1）若 01 g，且函数 xg的图像是函数 xf图像的一条切线，求实数a的值；4 4、 （20182018 南京盐城高三上期末南京盐城高三上期末 2020）设函数( )lnf xx，( )bg xaxcx（, ,a b cR）.（1）当0c 时，若函数( )f x与( )g x的图象在1x 处有相同的切线，求, a b的值； 65

11、 5、 （20172017 盐城高三第三次模拟盐城高三第三次模拟 1919）设函数2( )=()xf xxeaxaR.（2）若对任意的实数a，函数( )h xkxb（, k b为实常数）的图象与函数( )f x的图象总相切于一个定点. 求k与b的值；6 6、 （20162016 南通高三一模南通高三一模 1313）在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线)0(2xxy和)0(3xxy均相切，切点分别为),(11yxA和),(22yxB,求21 xx的值7 7、 （20162016 盐城高三三模盐城高三三模 1919）已知函数( )lnf xmx（mR）.（3）试给出一个实数m的值，使得函数( )

12、yf x与1( )(0)2xh xxx的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.8 8、 （20162016 南京高三三模南京高三三模 1919）设函数)0()(23mmmxxxf（3）若存在0t，使得函数)(xf图象上有且仅有两个不同的点，且函数)(xf的图象在这两点处的两条切线都经过点), 2(t，试求m的取值范围 巩固练习答案解析：巩固练习答案解析：2 2、解：、解：（1）设切点为00(,)xy，( )(31)xfxex，则切线斜率为0 0(31)xex ，所以切线方程为0 000(31)()xyyexxx，因为切线过(2,0)，所以00 000(32)(3

13、1)(2)xxexexx，化简得2 00380xx，解得080,3x .7当00x 时，切线方程为2yx，当08 3x 时，切线方程为88 33918ye xe.3 3、解：、解：（1）由 01 g知， xg的图象直线过点)0 , 1(，设切点坐标为)(,(00xfx，由xexf)( 得切线方程是)(000xxeeyxx此直线过点)0 , 1(，故)1(000xeexx，解得00x，所以10xea 4 4、解：、解：（1）由( )lnf xx，得(1)0f，又1( )fxx，所以(1)1f .当0c 时，( )bg xaxx，所以2( )bg xax，所以(1)gab. 因为函数( )f x与

14、( )g x的图象在1x 处有相同的切线，所以(1)(1) (1)(1)fg fg，即1 0ab ab ，解得1 2 1 2ab . 6 6、解：、解：2xy 在点A处的切线：)(2112 1xxxxy3xy 在点B处的切线：)(322 23 2xxxxy所以 3 22 12 21 232 xxxx，即3421xx7 7、解：、解：（3）1 2m 符合题意. 此时1( )ln2f xx.设函数( )f x与( )h x上各有一点111( ,ln)2A xx，2 2 21(,)2xB xx，8则( )f x以点A为切点的切线方程为1 1111ln222yxxx，( )h x以点B为切点的切线方程

15、为2 2 2221 22xyxxx，由两条切线重合，得2 122 1 211 22211ln222xxxxx（*） ， 消去1x，整理得2 21ln1xx ，即2 21ln10xx ， 令1( )ln1xxx ，得22111( )xxxxx，所以函数( )x在(0,1)单调递减，在(1+ )，单调递增， 又(1)0，所以函数( )x有唯一零点1x ，从而方程组（*）有唯一解121 1x x ，即此时函数( )f x与( )h x的图象有且只有一条公切线.故1 2m 符合题意. 注：注：其实这个题目最后就是由xxx1ln加入控制变量得到的，很多恒成立的不等式都是根据数形结合结合曲线的切线得到的，

16、在后面的专题 05 和 06 中都会经常用到这个不等式8 8、解：、解：（3）设两切点的横坐标分别是21xx、则函数)(xf)在这两点的切线的方程分别为)(23()(112 12 13 1xxmxxmmxxy)(23()(222 22 23 2xxmxxmmxxy 将), 2(t)代入两条切线方程，得)2)(23()(112 12 13 1xmxxmmxxt)2)(23()(222 22 23 2xmxxmmxxt即可以将21xx、看成是方程)2)(23()(223xmxxmmxxt不相等的两个实根9整理得mmxxmxt4)6(223设mmxxmxxh4)6(2)(23，则)2)(3(2)( xmxxh当6m时，0)( xh恒成立，所以)(xh单调递增，不满足题意当6m时，0)( xh解得2x或3mx )(xh极值分别为83)( mxh，mmmmh32 27)3(23因为)2)(23()(223xmxxmmxxt有不相等的两个实根所以83 mt或者mmmt32 2723 因为0t，所以083m或032 2723 mmm又0m，所以解得m的范围为),63938, 0(