2019九年级数学下册 专题突破讲练 全面认识抛物线的特征试题 （新版）青岛版.doc

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1、1全面认识抛物线的特征全面认识抛物线的特征二次函数二次函数y yaxax2 2bxbxc c（a a00）的图象及性质）的图象及性质函数yax2bxc（a0）yax2bxc（a0）图象 xyO Oxb 2axyO Oxb 2a开口向上向下对称轴xb 2a顶点（，）b 2a4acb2 4a增减性当x时，y随x的增大而减小，b 2a当x时，y随x的增大而增大b 2a当x时，y随x的增大而增大，b 2a当x时，y随x的增大而减小b 2a最值当x时，y最小b 2a4acb2 4a当x时，y最大b 2a4acb2 4a方法归纳：方法归纳：抛物线yax2bxc（a0）的顶点坐标和对称轴的求法：配方法：ya

2、x2bxca（x）2；b 2a4acb2 4a公式法：对称轴是x，顶点坐标是（，） ；b 2ab 2a4acb2 4a画出抛物线，根据图象确定对称轴及顶点坐标。总结：1. 用配方法确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴。2. 运用数形结合的思想求二次函数的最值。例题例题 1 1 抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：2x3201y6066从上表可知，下列说法正确的有（ ）抛物线与x轴的交点为（2，0）（2，0）；抛物线与y轴的交点为（0，6）；抛物线的对称轴是：直线x ； 在对称轴左侧，y随x增大而减少。1 2A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个解解析析：可

3、将表格中的数据描在坐标系中，根据二次函数的图象和性质进行判断。答答案案：根据表格数据可得：抛物线的开口方向向下，当x0 时，y6，故正确；x0 和x1 的函数值相等，对称轴为x ，正确；从表格中可得（2，0）01 21 2是此抛物线与x轴的一个交点，抛物线与x轴的另一个交点必与（2，0）关于直线x 对称，1 2所以，另一个交点的坐标为（3，0），错误；此抛物线开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，错误，故选 B。点拨：点拨：此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质，会根据图象得出某些信息，如抛物线的顶点、对称轴、开口方向等。另外，对于表格中的数据应善于将其转

4、化为点的坐标，根据坐标特点确定函数关系式。例题例题 2 2 已知抛物线yax2bx经过点A（3，3）和点P（t，0） ，且t0。（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图所示，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值。P PO O- -3 3- -3 3A Axy解解析析：第（1）题观察图象即可，第（2）题已知t的值，相当于已知点 P 的坐标，那么把点A 和 P 的坐标代入解析式，通过解二元一次方程组求a、b的值。 （3）题答案不唯一，把点 A 和 P的坐标代入解析式整理出一个关于a和t的

5、等式，令a0，确定t的取值。3答答案案：（1）y的最小值是3，t6。（2）分别将（4，0）和（3，3）代入yax2bx，得，解得，此016a4b 39a3b)a1 b4)时抛物线开口向上。（3）依题意应满足，即at2（3a1）t0 且a0。当t0 时有at2bt0 9a3b3 a0)at3a10，即a0，解得t3。所以写出一个大于3 的t值即可。 （答案不唯一）1 t3。点拨：点拨：本题主要考查二次函数的图象和性质，解答这类问题时注意数形结合思想的运用，抛物线与x轴的两个交点关于该抛物线的对称轴对称，解答时充分利用该性质有时可大大简化计算。二次函数的增减性：在对称轴同侧的点，y随x的增大而增大

6、（或减小） ；不在对称轴同侧的点，若a0，则到对称轴的距离大的点的函数值较大，若a0，则到对称轴的距离大的点的函数值较小。xyO OxyO OA1A2 A3A4A1A2A3A4例例 已知两点 A（5，y1） ，B（3，y2）均在抛物线yax2bxc（a0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1y2y0，则x0的取值范围是（ ）A. x05 B. x01 C. 5x01 D. 2x03解：解：由点 C（x0，y0）是该抛物线的顶点，且y1y2y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为y1y2y0，所以得出点 A、B 可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当 A、B 在对

7、称轴的左侧时，y随x的增大而减小，因此x03；当 A、B 在对称轴的两侧时，点 B到对称轴的距离小于点 A 到对称轴的距离，即得x0（5）3x0，解得x01，综上所得：x01，故选 B。分析：分析：本题考查二次函数的图象和性质，特别是二次函数的增减性，解答这类问题时要格外注意分类讨论，关键是要讨论顶点的位置，即所给自变量或函数值所对应的点是否在对称轴的同侧。4（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1. 在二次函数yx22x1 的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）A. x1B. x1C. x1D. x12. 若一次函数yaxb（a0）的图象与x轴的交

8、点坐标为（2，0） ，则抛物线yax2bx的对称轴为（ ）A. 直线x1B. 直线x2C. 直线x1D. 直线x4*3. 二次函数yax2bxc图象上部分点的坐标满足下表：x32101y323611则该函数图象的顶点坐标为（ ）A. （3，3） B. （2，2） C. （1，3） D. （0，6）*4. 下列图中，哪个是二次函数y2x24x3 的图象（ ）1 2 3-1-2-3-1 -21234yx1 2 3-1-2-3-1 -21234yx1 2 3-1-2-3-1 -21234yx1 2 3-1-2-3-1 -21234yxA AB BC CD D*5. 抛物线yx2xp（p0）的图象与x

9、轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）A. （0，2）B. （ ， ）C. （ ，）D. （ ， ）1 29 41 29 41 29 4*6. 已知二次函数y2x2bx1（b为常数） ，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系” ，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线） ，这条抛物线的解析式是（ ）A. y2x21B. yx21C. y4x21D. yx211 21 45xy二、填空题二、填空题7. 如果二次函数yax2bxc（a0）满足abc2，那么这个二次函数的图象一定经过点_。*8. 实数x、y满足x22x

10、4y5，记tx2y，则t的取值范围为_。*9. 将二次函数y2（x1）21 的图象先向右平移一个单位，再沿x轴翻折到第一象限，得到的图象的函数解析式为_。*10. 二次函数yax2bxc中，b2ac，且x0 时y4，则该二次函数有最_值，且最_值等于_。三、解答题三、解答题11. 将二次函数yx22x3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变） 。12. 已知抛物线ymx2（m1）x（m1）的最低点的纵坐标是 0，求m的值。13. 已知抛物线yx2bxc经过点 A（3，0） ，B（1，0） 。（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的

11、顶点坐标。*14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx22x，求其对称轴1 21 2与两段抛物线所围成的阴影部分的面积。6xyO*15. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2（m0）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点 B。（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在2x1 这一段位于直线l的上方，并且在 2x3 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。xyAB7一、选择题1. A 解析：二次函数yx22x1 的开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，二次函数yx2

12、2x1 的对称轴是x1，所以x1。b 2a2 2 （1）2. C 解析：一次函数yaxb（a0）的图象与x轴的交点坐标为（2，0） ，2ab0，即b2a，抛物线yax2bx的对称轴为直线x1。故选 C。b 2a*3. B 解析：x3 和1 时的函数值都是3，二次函数的对称轴为直线x2，顶点坐标为（2，2） 。故选 B。*4. D 解析：由开口方向可排除 B，由其与y轴的交点为（0，3）可排除 C，再由对称轴为x1 可排除 A。*5. D 解析：因为该抛物线与x轴一个交点的横坐标是p，此时y0，所以p2pp0，因为p0，所以p2，即yx2x2。其顶点坐标为（ ， ） 。1 29 4*6. A 解

13、析：y2x2bx1 的顶点坐标是（ ，） ，设x ，y，由xb 48b2 8b 48b2 8得b4x，所以y12x2。即这条抛物线的解析式为y2x21。b 48b2 88（4x）2 8二、填空题7.（1，2） 解析：当x1、y2 时有abc2，所以这个二次函数的图象一定经过点（1，2）*8. t 解析：由x22x4y5 得 4yx22x5，所以tx （x22x5）9 21 2x22x ，可见，t是关于x的二次函数，且开口向下，t最大值 ，所以t的取值范围是1 25 29 2t 。9 2*9. y2（x2）21 解析：向右平移一个单位得y2（x2）21，翻折可理解为两步，一是形状不变，顶点不变，

14、开口变成向上，得y2（x2）21，二是向上平移 2 个单位，得y2（x2）21。*10. 大，大，3 解析：x0 时y4，c4，b2ac，a0，即此二次函数有最大值，最大值是3。4acb2 4a16a4a 4a8三、解答题11. 解：因为yx22x3（x1）24，该图象向左平移 1 个单位再向下平移 2 个单位所得抛物线的解析式为y（x1）1）242x22。12. 解：由题意得，解得m1。m0 4m（m1）（m1）2 4m0)13. 解：（1）抛物线yx2bxc经过点 A（3，0） ，B（1，0） 。，93bc01bc0)解得，抛物线的解析式为yx22x3；（2）抛物线的解析式为b2c3)yx

15、22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4） 。*14. 解：设抛物线yx22x的顶点为 B，其对称轴与x轴交于点 C，过点 B 作 ABy轴。1 2抛物线yx22x （x24x） （x24x4）2 （x2）22，顶点 B 的坐标为1 21 21 21 2（2，2） 。由抛物线的对称性和平移规律可知，阴影部分沿 OC 截开正好能拼成正方形 OABC，所以yx22x的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：224。1 2xyOABC*15. 解：（1）当x0 时，y2，A（0，2） 。抛物线的对称轴为x1，B（1，0） 。2m 2m（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（2，2） ，则直线l经过 A、B。设直线l的解析式为ykxb，则，解得，直线l的解析式为y2x2。2kb2kb0)k2b2)（3）抛物线的对称轴为x1，抛物线在 2x3 这一段与在1x0 这一段关于对称轴x1对称，结合图象可以观察到抛物线在2x1 这一段位于直线l的上方，在1x0 这一段 位于直线l的下方；抛物线与直线l的交点的横坐标为1；当x1 时，y2（1） 24，则抛物线过点（1，4） ，所以 当x1 时y4，即m2m24，m2，抛物线的 解析式为y2x24x2。