2019九年级数学上册 专题突破讲练 三招教你求阴影面积试题 （新版）青岛版.doc

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1、1三招教你求阴影面积三招教你求阴影面积在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影面积的题目，而其阴影部分图形大 多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措求不规则图形面积主要是通过 转化，将不规则图形转化为规则的图形，再进行计算 以下三招可以助你一臂之力！ 第一招：直接法第一招：直接法 将不规则图形直接转化为规则的图形的求和或求差，先求出涉及适合该图形的面积计 算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算这是求面积的常用方法不 规则阴影部分常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，其 中： 1. 扇形的定义：如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧

2、围成的图形是扇 形2. 扇形面积公式：若设O 半径为 R，则圆心角为 n的扇形的面积公式为：2360n RS扇形又因为 n的圆心角所对的弧长为：，所以180n R21=3602n RSlR扇形说明：说明：公式中 n 表示 1圆心角的倍数，它是不带单位的； 例如：如图，扇形 AOB 的圆心角为直角，若 OA4cm，以 AB 为直径作半圆，求阴影部分的 面积解析：解析：图中阴影部分面积为：以 AB 为直径的半圆面积减去弓形 AmB 面积；而弓形面积 等于扇形 AOB 面积减去AOB 面积解：OA4cm，O90，OB4cm，（cm2） ，4360490S2AOB扇形2又，所以，)cm(24AB )c

3、m(4222S22 ）（半圆而，22 AOBcm)84(S),cm(8S弓形所以故28cm8)4(4SSS弓形半圆阴第二招：第二招：割补法割补法 1. 把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积 例如：如图（1） ，在以 AB 为直径的半圆上，过点 B 做半圆的切线 BC，已知 AB=BC=，a 连结 AC，交半圆于 D，则阴影部分图形的面积是_解析：解析：图中两块阴影部分图形都是不规则图形，但因，所以可进行割ADDBSS弓形弓形补转化 解：连接 DB，因为 AB=BC， ，如图（2） ，所以 AD=DB=DC，所以BDACADDBSS弓形弓形把弓形 AD 割补到弓形 DB 处，则图

4、（1）中阴影部分图形的面积等于图（2）中 RtBDC 的 面积因此2111 224Saaa阴2. 当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整 体，然后利用相关图形的面积公式整体求出 例如：如图，A、B、C、D、E 相外离，它们的半径都是 1，顺次连接五个圆 心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？解析：解析：由题意知，五个扇形（阴影部分）的半径都是 1，是等圆，可把五个扇形割补3到同一个圆中 解：因为，A+B+C+D+E=（5-2）180=540所以254013 3602S阴第三招：第三招：等积变形等积变形 把所求阴影部分的图形适当进

5、行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而 求出阴影部分图形的面积例如： 如图，A 是半径为 2 的O 外一点，OA4，AB 是O 的切线，点 B 是切点，弦 BCOA，连结 AC，求图中阴影部分的面积解析：解析：图中阴影部分可看作弓形 BC 面积与三角形 ABC 面积的和，而ABC 不是 Rt， 所以考虑借助 OABC 将ABC 移形，连接 OC、OB，则 SOCBSACB则阴影部分面积为扇 形 AOB 面积 解：连接 OB、OC，如图，因为 BCOA，所以ABC 与OBC 在 BC 上的高相等，所以，OBCABCSS所以，又AB 是O 的切线，所以 OBAB，而 OB2，OA4，所以

6、扇形阴SSAOB60，由 BCOA 得OBC60，所以OBC 为等边三角形，BOC60，SBOC扇形60 3602 32 例题例题 如图，AB、CD 是O 的两条互相垂直的直径，点 O1、O2、O3、O4分别 OA、OB、OC、OD 的中点，若O 的半径是 2，则阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 4+4 D. 444解析：解析：如图将AD、DB、BC、CA、OE、O3E 连接起来，得到一个对角线为 4 的正方形， 由割补法：将每个小圆外面两个弓形图形放进正方形空白处，阴影面积正好是正方形面 积解：连接 AD，DB，BC，CA，故选 A1=4 482ABCDSS 阴影面积答案：答

7、案：A 点拨：点拨：求解一些几何图形的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常可通过变换等， 把不规则图形转化为规则的图形，使复杂问题简单化，这种解题方法也体现了整体思想、 转化思想割补法是转化法的一种求求旋转问题中的旋转问题中的阴影面积阴影面积 满分训练满分训练 （江苏中考）如图，在ABC 中，BAC90，AB5cm，AC2cm，将 ABC 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 45至A1B1C 的位置，则线段 AB 扫过区域（图中阴影部 分）的面积为 cm2 解析：解析：阴影部分的图形是不规则的图形，求面积时应想到利用图形的割补或利用特殊5图形的面积的和或差来求 解：BAC90，BC2AB2AC25

8、22229S阴影S扇形 BCB1SA1B1CSABCS扇形 ACA1 ABC 旋转得到A1B1C，SABCSA1B1C，S阴影S扇形 BCB1S扇形ACA1（cm2） ，故答案为4529 360A A2452 360A A25 825 8答案：答案：25 8点拨：点拨：扇形面积的计算公式：S，SlR，求阴影面积（或不规则图形面积）2360n R1 2时常用图形割补的方法（图形变换） ，或用几个特殊图形的面积的和或差来求利用旋转变 换将所求面积转化为两个扇形的面积之差是解题关键。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟） 1. （德州中考）如图，扇形 AOB 的半径为 1，AOB90，以 A

9、B 为直径画半圆，则图 中的阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 41 21 21 41 212. 如图，点 E 是 BC 的中点，AB 是O 的直径，AB4，BED120，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A. 1 B. C. D. 23 233* *3. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 RtABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点E B，E 是半圆弧的三等分点，弧 BE 的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）32A. B. C. D. 9 93 23 23332 2336* *4. 在ABC 中，C 为锐角，分别以 AB、AC 为直径作半圆，过点 B、A、C 作弧，

10、ABAC如图所示，若 AB=4，AC=2，则 S3S4的值是（ ）124SSA. B. C. D. 429 423 411 455. 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8，BC=6，两等A、B 外切，那么图中两个 扇形（即阴影部分）的面积之和为 6. 如图，ABC 的三个顶点都在 55 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个单位长度） 的格点上，将ABC 绕点 B 逆时针旋转到ABC的位置，且点 A、C仍落在格点上， 则图中阴影部分的面积约是 （314，结果精确到 01）* *7. 如图，在 RtABC 中，C90，A30，AB2 将ABC 绕顶点 A 顺时针 方向旋转至ABC的位置，

11、B、A、C三点共线，则线段 BC 扫过的区域面积为 78. 如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保 留）*9. 如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，ADEF 于点 D，DAC=BAC （1）求证 EF 是O 的切线；（2）求证 AC2=ADAB （3）若O 的半径为 2，ACD=30，求图中阴影部分的面积DBEFOCA10. 如图，在ABC 中，ACB=90，E 为 BC 上的一点，以 CE 为直径作O，AB 与O 相切于点 D，连接 CD，若 BE=OE=2（1）求证：A=2DCB；求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） *11. 如

12、图，AB 是O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分DAB，ADCD，垂足为 D，AD 交O 于 E，连接 CE （1）判断 CD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若 E 是的中点，O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积AAC*12.12. 如图，AB 为O 的直径，AC、DC 为弦，ACD=60，P 为 AB 延长线上的点，APD=30 （1）求证：DP 是O 的切线；若O 的半径为 3cm，求图中阴影部分的面积8PBODAC13.13. 如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB8，点 C 为半圆上的一点将此半圆沿 BC 所在的 直线折叠，若恰好过圆心 O，则图中阴影部分的面

13、积是 （结果保留 ）BC91. C 解析：因为扇形 AOB 的半径为 1，AOB90，所以 AB=，AOB 的面积为，221扇形 AOB 的面积为，所以弓形的面积为，又因为半圆的面积为，所以阴436090 21-4 4影部分的面积为：（）=故选 C4 21-4 212. C 解析：连接 AE、OD，AB 是直径，AEBC点 E 是 BC 的中点，AB=AC在 AEB 与AEC 中，AE=AE，AEB=AEC=90，BE=CE，RtAEBRt AEC，AB=AC（SAS）ABC 是等腰三角形BED=120，BAD=60（圆内接四 边形的对角互补） ，ABC 是等边三角形（有一个角是 60的等腰三

14、角形是等边三角形） OA=OD，OAD 是等边三角形，AD=OA=2，点 D 是 AC 的中点，DE=2（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半） ，BAE=30，BE=AB=2，DE=BE，21=，=又DE 是ABC 的中位线，CDE 是边长为 2 的等边BES弓形DES弓形阴影SCDES三角形，= 故选 C阴影SCDES224333. D 解析：如下图所示：连接 OB、OE、BE、BD设半圆的半径为 REOCABDB、E 是半圆弧的三等分点，DOBBOEEOA60弧 BE 的长为，解得 R2S扇形3232 18060 ROBE2lR2121 32 32AD 是半圆 O 的直径，ABD

15、90在 RtABD 中，BADDOB30，21ABADcosBAD4在 RtABC 中，C90，2332BACBOE30，21BCAB，ACABcosBAC3S2133223ABCACBC3OBOE，BOE60，BOE 是等边三角形，21 213233BEO60EOA，BEAD，SABESOBE，10S阴影SABCSABES弓形 OBESABCSOBES弓形 OBESABCS扇形 OBE 故选 D32 2334. D 解析：S1+S3=AB2=2 ，S2+S4=AC2= ，得：1 81 81 2（S1S2）+（S3S4）=， S3S4=故选 D3 2124SS3 245 45. 解析：C=90

16、，AC=8，BC=6AB=10C=90A+B=90，由等圆可425知A、B 的半径为 5，根据扇形的面积计算公式，可得阴影部分的面积等于+= 36052A 36052B 3605)(2BA 36059024256. 7.2 解析：依题意，得扇形的半径，圆心角ABA90，222313图中阴影部分的面积扇形的面积直角三角形的面积23290133601 2133314133102053721 41 47. 解析：5 12AB CABCBABCACSSSSS 阴影扇形扇形BABCACSS扇形扇形221502( 3)3605 128. 解析：图中三块阴影部分都是扇形，且半径相等，由平行线内错角相等和正方

17、83形的对角线的性质可知，三个扇形的圆心角的度数之和为，所以，图中阴影部分面积513的和为=3601135 839. 解析：证明：连接 OC，DBEFOCAADEF，ADC=90，ACD+CAD=90， OC=OA，ACO=CAO，DAC=BAC，CAD=ACO，ACD+CAD=90， ACD+ACO =90即OCD=90，EF 是O 的切线. 证明：连接 BCCD 是O 的切线，OCD=90，即 ACD+ACO=90OC=OA，ACO=CAO，AOC=1802ACO，即11AOC+ACO=90，由得：ACDAOC=0，即1 21 2 AOC=2ACD；AOC=2B，B=ACD， AB 是直径

18、，ACB=ADC=90在 RtACD 与RtACB 中，B=ACD ACB=ADC，ACDABC，即 AC2=ABADACAD ABACCD 是O 的切线，OCD=90， 即ACD+ACO=90，ACD=30， OCA=60，OC=OA，ACO 是等边三角形，AC= OC=2，AOC=60，在 RtADC 中，ACD=30，AD=1，CD=，S阴影= S梯形 OCDA S扇形 OCA=3216023 32(12)323602310. 解析：（1）证明：连接 ODAB 与O 相切于点 D，ODB=90，B+DOB=90， ACB=90，A+B=90，A=DOB， OC=OD，DOB=2DCB，A

19、=2DCB;（2）在 RtODB 中，OD=OE，OE=BE，cosB=，DOB=60OBOD 21BD=OBsin60=2S扇形 OD E=，S阴影=SDOBS扇形 ODE=23360602OD 3233211. 解析：（1）CD 与圆 O 相切，理由为： AC 为DAB 的平分线，DAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA， DAC=OCA，OCAD，ADCD，OCCD，CD 与圆 O 相切； （2）连接 EB，由 AB 为直径，得到AEB=90，EBCD，F 为 EB 的中点，OF 为ABE 的中位线，12OF=AE=，即 CF=DE=，在 RtOBF 中，根据勾股定理得：EF=FB=D

20、C=，则 S阴影21 21 21 23=SDEC=21 21 23 8312. 解析：连接 OD、DB，PBODACACD=60ABD=60又OB=OD，OBD 为等边三角形，BOD=60 又APD=30，ODP=90，ODDP，又点 D 在O 上，DP 是O 的切 线由知ODP 为 Rt，APD=30，tan30=，DP=3OD DPDP3 3S阴影=SODP-S扇形=ODDP=3-=-21 3602Rn 213 33603 602 239 23答：阴影部分的面积为cm9 3 3-2213. 解析：如下图，连接 OC，过点 O 作 OGBC 于点 G，交半圆周于点 D8 3GFEDABCO易知直线 BC、OD 是两条弧 BOC 与 BDC 所围成的图形的对称轴，故 OGOC，从而1 2 OCG30，COGGOB60，AOC60由对称性易知，弧 OFB 与半径 OB 组 成的弓形面积等于弧 OEC 与半径 OC 组成的弓形面积，因此，S阴影部分S扇形OAC2604 3608 3