2019九年级数学上册 专题突破讲练 根的判别式的深化应用试题 （新版）青岛版.doc

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1、1根的判别式的深化应用根的判别式的深化应用一、一元二次方程根的判别式一、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax2bxc0（a0） ，它的解的情况由b24ac的取值决定，我们通常用“”来表示，acb42，即acb42。方程ax2bxc0（a0）的根的情 况 b24ac0两个不相等的实数根b24ac0两个相等的实数根b24ac0没有实数根方法归纳：用b24ac可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可 确定b24ac的取值。二、根的判别式的应用二、根的判别式的应用 1. 判断一元二次方程根的情况。 2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。 3. 确定一元二次方程根 的某些特性

2、，如是不是有理根。 方法归纳：（1）计算b24ac时注意a、b、c表示各项系数，包括它们前面的符 号；（2）关于根的判别式b24ac的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地， 将表示b24ac的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定b24ac的 正、负号。 总结： 1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。 2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。例题例题 1 1 关于x的一元二次方程x2mx（m2）0 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根D. 无法确定 解解析析：这是含字母系

3、数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里 a1，bm，cm2。因为b24ac（m）241（m2） m24m8m24m44（m2）240，所以方程有两个不相等的实数根。 答答案案：A A 点拨：点拨：判断b24ac的正、负情况时，通常有两种情形， （1）已知判别式中某些字母 的取值范围，依此确定判别式的取值范围；（2）一般要将表示b24ac的代数式进行配 方，利用偶次幂的非负性确定b24ac的正、负号。例题例题 2 2 定义：如果一元二次方程ax2bxc0（a0）满足abc0，那么我 们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax2bxc0（a0）是“凤凰”方程，且有两个2相等的实数根，则下列结论正确的

4、是（ ） A. acB. abC. bcD. abc 解解析析：由方程ax2bxc0（a0）满足abc0 可知方程的解为x1，然后 由方程解的情况建立a、b、c之间的数量关系。 答答案案：因为abc0，所以b（ac） 。 因为方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根， 所以b24ac0，把b（ac）代入，得： （ac）24aca22acc24ac0。 所以a22acc20，即（ac）20。 所以ac。故选 A。 点拨：点拨：解此类型问题，首先要明确所给定义的含义，然后用定义去考量已知条件，依 据定义或定义提供的方法解题。例题例题 3 3 已知关于x的方程kx25x20 有实数根，求k的取值

5、范围。 解解析析：本题并没有明确指出方程是否为一元二次方程，因此应对二次项系数a的取 值进行分类讨论。 答答案案：当k0 时，方程为一元一次方程，有一个实数根。 当k0 时，方程为一元二次方程，且ak、b5、c2。 所以b24ac（5）24k2258k。当 258k0，即k且k0 时，方程有两个不相等的实数根；25 8当 258k0，即k时，方程有两个相等的实数根；25 8当 258k0，即k时，方程无实数根。25 8综上所述，k的取值范围是k。25 8 点拨：点拨：从数学方法的角度看，本题属于分类讨论型问题，而且需要讨论两点：一是此 方程可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况；二是一元二次

6、方程有实数根可分为有 两个相等的实数根和两个不相等的实数根。一元二次方程根的判别式不但可以判断方程有没有实数根，而且可以判断出方程有没 有有理根。不难理解，只要b24ac是一个有理数的完全平方数（或开平方开得尽） ， 原方程的根就一定是有理数。要判断一个一元二次方程的根是不是整数可结合x来确定。bb24ac2a 例题例题 边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2（k2）x4k0 的 两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。 解：解：因为方程的根为整数，故（k2）216k为完全平方数。 设（k2）216kn2，k212k4n2，（k6）2n232，（kn6） （kn6）1322164

7、8。kn6kn6，或或。kn632kn61) kn616 kn62) kn68 kn64)3解得k1（舍去） ，k215，k312。45 2 当k15 时，有x217x600，解得x5 或 12，则斜边c13； 当k12 时，有x214x480，解得x6 或 8，则斜边c10。 所以这个直角三角形三边长分别为 5、12、13 或 6、8、10。 分析：分析：解答本题的关键是根据已知方程求出直角三角形的两条直角边长，因为直角三 角形的边长为整数，所以已知方程有两个整数根。一元二次方程有整数根至少要求判别式 为有理数的完全平方数。（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟） 一、选择题 1. 关

8、于x的方程x2kxk2 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根D. 不能确定 2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. x23x10 B. x210C. x22x10 D. x22x30 3. 对于任意实数k，关于x的方程x22（k1）xk22k10 的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定 4. 已知b0，关于x的一元二次方程（x1）2b的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根D. 有两个实数根 *5. 若关于

9、x的一元二次方程kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数k的取值 范围是（ ） A. k1B. k1 且k0 C. k1 且k0D. k1 且k0 *6. 如果关于x的方程x24x20 有两个有理根，那么所有满足条件的正10a整数a的个数是（ ） A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题 *7. 若 5k200，则关于x的一元二次方程x24xk0 的根的情况是_。 *8. 若关于x的一元二次方程kx24x30 有实数根，则k的非负整数值是 _。 *9. 若b10，且一元二次方程kx2axb0 有两个实数根，则k的取a4值范围是_。*10. 如果关于x的方程x2kxk23k

10、 0 的两个实数根分别为x1，x2，那么3 49 2的值为_。x12012 x22013三、解答题411. 当m为何值时，关于x的一元二次方程x24xm 0 有两个相等的实数根，此1 2 时这两个实数根是多少？ 12. 关于x的方程x2（2a1）x（a3）0，试说明无论a取任何实数，方程总 有两个不等实数根。 *13. 已知关于x的方程x22（a1）x（3a24ab4b22）0 有实数根，求a、b 的值。 *14. 已知一元二次方程x2（2k1）xk2k0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5。当 A

11、BC 是等腰三角形时，求k的值。 *15. 已知关于x的一元二次方程x22x2k40 有两个不相等的实数根。 （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。5一、选择题 1. A 解析：因为b24ack24（k2）k24k8（k2）240，所以原方 程有两个不相等的实数根。 2. A 解析：依据判别式进行判断即可，选项 A 中0，选项 B 中0，选项 C 中 0，选项 D 中0。 3. C 解析：4（k1）24（k22k1） 4k28k44k28k48k280，所以原方程有两个不相等的实数根。 4. C 解析：本题不必利用判别式，根据二次幂的意义判断即可。 *5.

12、 D 解析：根据题意可知， （2）24k（1）0，即k1。且当k0 时原 方程为一元一次方程，不符合题意，所以k1 且k0。 *6. B 解析：根据题意得 424（2）84是一个有理数的完全平10a10a方数。又 10a0，即a10，因为a是正整数，显然，当a1、6、9、10 时是10a有理数，其中a6、9 时 84是一个有理数的完全平方数。所以a6 或 9。10a二、填空题 *7. 没有实数根 解析：由 5k200 得k4。此时424k0，所以原方程没 有实数根。*8. 1 解析：由题意可得424k31612k0，即k ，所以k的非负整数值4 3 是 1。 *9. k4 且k0 解析：b10

13、，b10，0，解得a4a4b1，a4。又一元二次方程kx2axb0 有两个实数根，a24kb0 且 k0，解得k4 且k0。*10. 解析：根据题意，关于x的方程有两个实数根，则2 3k24（k23k ）0，即（k3）20。又因为恒有（k3）20，所以（k3）3 49 220，解得k3。此时方程为x23x 0，解得x1x2 。故 。9 43 2x12012 x220131 x22 3三、解答题11. 解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，（4）24（m ）0，即1 2164m20，m ，当m 时，方程有两个相等的实数根x1x22。9 29 2 12. 解：（2a1）24（a3） 4a28a1

14、34a28a494（a22a1）94（a1）29。（a1）20，4（a1）290，即0 恒成立，方程总有两个不等实数根。*13. 解：判别式2（a1）24（3a24ab4b22）4（a22a1） （12a216ab16b28）8a216ab16b28a44（2a24ab4b22a1） 4（a24ab4b2）（a22a1）4（a2b）2（a1）2。因为 （a2b）20、 （a1）20，所以0。又因为原方程有实数根，所以有0，所以64（a2b）2（a1）20，所以a10 且a2b0，所以a1，b 。1 2 *14. 解：（1）证明：因为（2k1）24（k2k） 4k24k14k24k10，所以原方

15、程必有两个不相等的实数根。 （2）解：解 x2（2k1）xk2k0 得xk或k1，则ABC 的三边长分别为k、k1、5，又因 为ABC 是等腰三角形，所以kk1（无解，舍去）或k5 或k15。当k5 时， k16，此时ABC 的三边长为 5、5、6；当k15 时，k4，此时ABC 的三边长为 4、5、5。所以k的值为k4 或k5。 *15. 解：（1）44（2k4）208k，方程有两个不相等的实数根，0，即 208k0，解得k 。5 2（2）k 且k为正整数，k1 或 2。因为x1。要使方程的根为整数，5 252k须使 52k为有理数的完全平方数。当k1 时，52k3；当k2 时， 52k1。k2，此时x0 或2，均为整数，所以k的值为 2。