2019七年级数学下册 培优新帮手 专题18 简单的不定方程、方程组试题 （新版）新人教版.doc

《2019七年级数学下册 培优新帮手 专题18 简单的不定方程、方程组试题 （新版）新人教版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019七年级数学下册 培优新帮手 专题18 简单的不定方程、方程组试题 （新版）新人教版.doc（9页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、11818 简单的不定方程、方程组简单的不定方程、方程组阅读与思考阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解这类问题有以下两种基本类型：1判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因

2、数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路例题与求解例题与求解【例例 1】1】满足 (01 998)的整数对(，)共有_对222219981997mnmnmn(全国初中数学联赛试题)解题思路：解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答【例例 2】2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其中票价为 20元的比票价为 10 元的多( )A20 张 B15 张 C10 张 D5 张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：解题思路：设购买 10

3、元，15 元，20 元的电影票分别为，张根据题意列方程组，整xyz体求出的值zx【例例 3】3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14 405， 将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16 970，求此人家中的电话号码(湖北省武汉市竞赛试题)2解题思路：解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手【例例 4】4】一个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒，3 粒，4 粒或 6 粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次 11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：解题思路：无论怎样取，盒子里的

4、棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解【例例 5】5】 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学每人有 31 个核桃，三组的核桃总数是 365 个问：三个小组共有多少名同学?(海峡两岸友谊赛试题)解题思路：解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手【例例 6】6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐 22 人，就会余下 1 人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于 32 人)解题思路：解题思路：设原先租客车辆，开走一辆空车

5、后，每辆车乘坐人，根据题意列出方程求解，xk注意排除不符合题设条件的解能力训练能力训练A A 级级1若，则_2254404ababab2已知， (0)，则的值等于_4360xyz270xyzxyz222222236 57xyz xyz 31998 年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_岁(“希望杯”邀请赛试题)34已知，为整数，且，若，则的最大值为abc2006ab2005caababc_(全国初中数学竞赛试题)5，都是质数，则方程共有( )xy1999xyA1 组解 B2 组解 C3 组解 D4 组解(北京市竞赛试题)6如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔4 千米

6、设一个速度限制标志，而且从 10 千米处开始每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在19 千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )A32 千米 B37 千米 C55 千米 D90 千米7给出下列判断：不定方程的整数解可表示为 ( 为整数)230xy3 2xt yt t不定方程无整数解245xy不定方程无整数解231xy其中正确的判断是( )A B C D8小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的邮票不少于5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小英最少买了(

7、)枚邮票A17 B18 C19 D20(“五羊杯”邀请赛试题)9小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子共有 99 颗，所用大小盒子多于 10 个，问这两种盒子各有多少个?10中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?4(出自中国数学家张丘建的著作算经)11已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积(“希望杯”邀请赛试题)12已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解问：k19102010k54745xyxyk 这样的整数有多少个？k（“华罗庚金杯”竞赛试题）B B 级级

8、1如果，满足，那么_abc2222222690abcabbcc2abc(“祖冲之杯”邀请试题)2已知，为正偶数，且，则_xy2296x yxy22xy3一个四位数与它的四个数字之和等于 1 991这个四位数是_(重庆市竞赛试题)4城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一种奖牌每个盒中装奖牌枚数依次是 3，6，9，14，18现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的 2 倍则有金牌_枚，银牌_枚，铜牌_枚5若正整数，满足，则这样的正整数对(，)的个数是( )xy2272xyxyA1 个 B2 个 C3 个 D4 个6有甲、乙、丙 3 种商品，

9、单价均为整数，某人若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若购甲4 件、乙10 件、丙 l 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各 1 件共需( )元A6 元 B8 元 C9 元 D10 元7在方程组中，是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( 333036xyzxyz xyz)A6 B3 C多于 6 D少于 3(“希望杯”邀请赛试题)58一个两位数中间插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个A1 B4 C10 D超过 109李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换

10、员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如，把 1234 元看成了 3412 元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去350 元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少?(“勤奋杯”竞赛试题)11已知四位数满足，求这样的四位数abcd3333110abcdc

11、d (“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题)12求方程的正整数解1115 6xyz(“希望杯”邀请赛试题)6专题专题 1818 简单的简单的不定方程、方程组不定方程、方程组例例 1 1 3 提示：(n-m)(n+m)=3995=151747，(n-m)与(n+m)奇偶性相同，对 3995 的任一正整数分解均可得到一个 (m，n).例例 2 2 C 设购买 10 元，15 元，20 元的电影票分别为x，y，z张.则，30101520500xyzxyz -15 得 5( z-x)=50，解得z-x=10.例例 3 3 设此 8 位数为，将记为x，记为y，记为z. x，y，z均为自然数.即电话号abc

12、defghabcdefgh码是 100 000 x+10 000 y +z，且 100x999，0y9，1000z9999，则，得 1111 y x=285，由 100x999，y0，得，10144051000016970xyzxyz 18266144yxz 故电话号码是 82616144.例例 4 4 提示：设盒子里共有x(x200)粒棋子，则 12a-1=11b=x(a、b为正整数)，解得a=10，b=11，x=121.例例 5 5 设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得 28a+30b+31c=365.因 28（a+b+c）28a+30b+31c=365.得a+b+c13.

13、04，所以a+b+c13.365 28因 31（a+b+c）28a+30b+31c=365. 得a+b+c11.7，所以a+b+c12365 31因此a+b+c=12 或 13.当 a+b+c=13 时，得 2b+3c=1，此方程无正整数解；当 a+b+c=12 时，符合题意.例例 6 6 设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，显然x2，23k32.依题意有：22x+1=k(x-1).则.因为k为自然数，所以必是自然数，但2212222232322111xxkxxx23 1x23 是质数，因数只有 1 和 23，且x2，x-1=1 或x-1=23.如果x-1=1，则x=2，k=45

14、，不符合k32 的题设条件. 如果x-1=23，则x=24，k=23，符合题意.这时旅客人数等于k(x-1)=2323=529 人.A 级1. . 2.11 473. 18 提示：设某人出生于，则，即 11x+2y=88，解得.19xy1998 1910xyxy80xy 4. 5013 提示：由题中条件得a+b+c=a+4011，又因为a+b=2006，ab.故 2a2006，a1003.又因为a为正整数，故a的最大值为 1002，于是a+b+c的最大值为 5013.5. B6. C 设置限速标志、照相标志的千米数分别表示为 3+4x，10+9y（x、y为自然数） ，将问题转换为求不定方程 3

15、+4x=10+9y的正整数解，则，4（y+3） ，为所求的7932144yyxy 135xy 解.7. A 8.A 9.大小盒子分别为 2 个，15 个.10.设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x、y、z.则有，消去z，得 7x+4y=100，显然100531003xyzzxy（0，25）是方程的一个特解，所以方程的通解为（t为整数）.于是z=100-x-4257xtyt y=100+4t-25-7t=75-3t.由x、y、z0 且t为整数得，解得，将t的4025707530ttt 0, 1, 2, 3t 值代入通解，得四组解为（x，y，z）=（0，25，75） ， （4，18，78） ， （8，1

16、1，81） ，（12，4，84） （0，25，75）应舍去11设长方形的长宽高分别为x，y，则，22xyxy224242222xxyxxx，或 4 或 6，或 4 或 3，故长方形面积为 18 或 162 |4x3x 6y 12由方程组得，当（其中 m，n 是整数）时，方程有整数解消35441 52841kxky 3544152841kmkn去上面方程的 k，得：，由得：（其中t为整数）将代入得547mn3425mtnt ，解不等式，得：，故354123 164kt2241kt191022412010t22046484141t有个的值使原方程组有整数解8B级1144 提示：22230abbcc

17、210 提示：96xy xy31972 设这个四位数为，则，abcd1000100101991abcdabcd即，从而，又最大为10011011121991abcd1a 101112990bcd112cd99+18=117故，即，得，进一步得，故这101990117873b 9b 11281cd7,2cd个四位数为 1972412 14 24 提示：由题目中“通牌枚数是金牌枚数的 2 倍”得知金牌与铜牌数的和为 3 的倍数因为银牌只有一盒，所以铜牌数和金牌数的和应为 3，6，9，14，18 中四个数的和因此银牌数为 14 枚，金牌数为（3+6+9+18）=12 枚，铜牌数为 24 枚135C

18、提示：1 722 364 186 128 9xyxy 6A7A 提示：有方程组得：12xyz 8B 提示：设两位数为 10a+b，中间插入的一位数为m，则 9(10a+b)=100a+10m+b，10(a+m)=8b9原来支票的面额是 14.32 元，兑换员看错成了 32.14 元，应退回 32.14-14.32=17.82元10设第一次看到的两位数为，则以后两次看到的数分别为，由题意得xyyx0x y，即，正理解的：x=1，y=6，故三0x yyxyxxy 100101010xyyxyxxy块里程碑上的数分别是 16，61，10611当，此时不存在满足条件的四位数4c 31610cccd当时

19、，则于是，若，得：，即 1131 满足3c 32332abcdd1d1d1ab条件；若，得，即 1130 满足条件0d1ab当时，则，于是，若，得，无解；若2c 323311abcdd2d2d335ab或，得，无解1d0d3311ab当时，则，于是，若，得，即 1112 满足条件；1c 3238abdd2d2d1ab若，得，即 2011 满足条件；若，得，即 2010 满足条件1d2,0ab0d 2,0ab912由题中条件易知x，y，z都大于 1不妨设，则，1xyz111xyz，即，由此得或 3，11113xxyzx1536xx2x 当时，即，由此得或 5 或 62x 111511112623xxyyyy1123yy4y 同理，当时，或 4，由此得：时，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，3x 3y 1xyz(3，3，6)，(3，4，4)4 组由于x，y，z在原方程中地位平等，可得原方程的解共有 15 组： (2，4，12)，(2，12，4)，(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)， (6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)，(4，4，3)， (4，3，4)