理学大学物理第五章学习教案.pptx

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1、会计学1理学理学(lxu)大学物理第五章大学物理第五章第一页，共79页。5.1简谐振动简谐振动(zhndng)的描述的描述5.2 简谐振动简谐振动(zhndng)的合成的合成5.3 阻尼振动阻尼振动(z n zhn dn)受迫振动受迫振动5.4 非线性振动简介非线性振动简介 本章内容：本章内容：第第第第5 5章章章章 机械振动机械振动机械振动机械振动第1页/共79页第二页，共79页。一、简谐振动一、简谐振动(zhndng)弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧 物体物体(wt)(wt)系系统统 平衡位置：物体平衡位置：物体(wt)(wt)所受合外力为零的位置。弹簧处于自然所受合外力为零的位置。弹簧处于自

2、然长度的位置长度的位置轻弹簧轻弹簧质量忽略不计质量忽略不计物体物体可看作质点可看作质点 5.1 简谐振动的描述简谐振动的描述1.受力特点受力特点2.动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程第2页/共79页第三页，共79页。其通解其通解(tngji)为：为：3.运动学方程运动学方程(fngchng)简谐振动简谐振动(zhndng)的动力学的动力学方程方程振动方程振动方程速度方程速度方程加速度方程加速度方程第3页/共79页第四页，共79页。2 2、平衡位置是指合外力、平衡位置是指合外力(wil)(wil)为零的位置。为零的位置。1 1、物体发生振动的条件：物体受到始终指向平衡位置、物体发生振动的条

3、件：物体受到始终指向平衡位置 的回复力；物体具有的回复力；物体具有(jyu)(jyu)惯性。惯性。说明说明(shumng(shumng)：3 3、判断物体是否作简谐振动的依据、判断物体是否作简谐振动的依据:（1 1）物体所受的合外力与位移物体所受的合外力与位移正比但反向正比但反向；（2 2）满足位移（或角位移）与时间有）满足位移（或角位移）与时间有余弦余弦（或正弦（或正弦)关系。关系。第4页/共79页第五页，共79页。底面积为底面积为S S的长方体木块的长方体木块m m浮于水面，水面下浮于水面，水面下a a，用手按下一定，用手按下一定(ydng)(ydng)位置后释放，证明木块运动为谐振动位置

4、后释放，证明木块运动为谐振动任意位置任意位置(wi zhi)x(wi zhi)x处，合力处，合力例例证明证明(zhngmng)：木块平衡时木块平衡时此合力为回复力此合力为回复力第5页/共79页第六页，共79页。二、简谐振动二、简谐振动(zhndng)(zhndng)的参量的参量振振幅幅(zhnf)A:简简谐谐振振动动(zhndng)(zhndng)物物体体离离开开平平衡衡位位置置的的最最大大位位移移（或角位移）的绝对值。（或角位移）的绝对值。频率频率：角频率角频率 :周期周期T T：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。第6页/共7

5、9页第七页，共79页。弹簧弹簧(tnhung)(tnhung)振振子：子：固有固有(gyu)(gyu)周期、固有周期、固有(gyu)(gyu)频率、固有频率、固有(gyu)(gyu)角频率角频率第7页/共79页第八页，共79页。相相位位(xingwi)：(1)(t +)是是 t 时刻时刻(shk)的相位的相位(2)是是 t=0 时时刻刻(shk)的的相相位位 初相初相第8页/共79页第九页，共79页。相位相位(xingwi)的意义的意义:相位相位(xingwi)确定了振动的状态确定了振动的状态相位每改变相位每改变 2 2 振动振动(zhndng)(zhndng)重复一次重复一次,相位在相位在

6、2 2 范围内变化范围内变化,状态不重复状态不重复.相位差相位差 第9页/共79页第十页，共79页。同相和反相同相和反相(fn xin)(fn xin)(同频率振同频率振动动)当当 =2k2k 两两振振动动(zhndng)(zhndng)步步调调相相同同,称同相。称同相。当当 =(2k+1)(2k+1)两两振振动动步步调调相相反反(xingfn)(xingfn),称称反反相。相。xto同相同相Tx1A1x2A2xto反相反相Tx1A1x2 A2第10页/共79页第十一页，共79页。超超前前和和落落后后(lu hu)若若 =2-1 0,则则 称称 x2 比比 x1 超前超前(或或 x1 比比 x

7、2 落后落后(lu hu)。t xOA1-A1x1-A2A2x2相位差相位差 小结：小结：1.1.当当=2k=2k,k=0,1,2,k=0,1,2,两振动步调两振动步调(bdio)(bdio)相同相同,称同相称同相2.2.当当=(2(2k+1)+1),k =0,1,2.=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相.2 超前于超前于1 或或 1滞后于滞后于 2 3.第11页/共79页第十二页，共79页。由初始条件求振幅由初始条件求振幅(zhnf)(zhnf)和初相位和初相位第12页/共79页第十三页，共79页。如图如图 m=210-2 kg,弹簧弹簧(tnhung)的静止形变为的静止

8、形变为 l=9.8cm；t=0时，时，x0=9.8cm，v0=0 确定平衡位置：确定平衡位置：mg=k l 取为原点取为原点 令向下有位移令向下有位移(wiy)x,则回复力则回复力XOxm例例求求（1）取开始振动）取开始振动(zhndng)时为计时零点，写出振动时为计时零点，写出振动(zhndng)方程；方程；（2）若取）若取 x0=0，v0 0为计时零点为计时零点,写出振动方写出振动方 程，并计算振动频率。程，并计算振动频率。解解该振动为简谐振动，则该振动为简谐振动，则第13页/共79页第十四页，共79页。由初始条件得由初始条件得由由x0=0.098m知知振动振动(zhndng)方程为：方程

9、为：(2)按题意按题意(t y)t=0 时时 x0=0，v0 0XOxm第14页/共79页第十五页，共79页。例例已知已知A=0.12m，T=2s，一物体一物体(wt)沿沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为，周期为2s。当。当t=0时，位移为时，位移为0.06m，且向，且向x轴正方向运动。轴正方向运动。求求(1)初相；初相；(2)t=0.5s时，物体的位置、速度时，物体的位置、速度(sd)和加速度和加速度(sd)；(3)在在x=-0.06m处，且向处，且向x轴负方向运动。物体从这一状态回到平衡轴负方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。位置的最短时间。解解（1

10、）设其运动）设其运动(yndng)方程为方程为则速度和加速度分别为则速度和加速度分别为第15页/共79页第十六页，共79页。当当t=0时，时，（2）当当t=0.5s时时第16页/共79页第十七页，共79页。（3）由于三角函数）由于三角函数(snjihnsh)具有周期性，取第一个周期即可。具有周期性，取第一个周期即可。设当物体在设当物体在0.06m，且向，且向x轴负向方向运动对应的时刻为轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡，平衡位置对应的时刻为位置对应的时刻为t2，则，则第17页/共79页第十八页，共79页。(1)试证明试证明(zhngmng)物体物体m的运动是谐振动；的运动是谐振动；(2)求此

11、振动系统的振动周期；求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程。写出振动方程。轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m m的的物体。弹簧的劲度系数为物体。弹簧的劲度系数为k k，滑轮的转动惯量为，滑轮的转动惯量为J J，半径为，半径为R R。若物。若物体体m m在其初始位置时弹簧无伸长，然后在其初始位置时弹簧无伸长，然后(rnhu)(rnhu)由静止释放。由静止释放。(1)若物体若物体m离开离开(l ki)初始位置的距离为初始位置的距离为b时受力平衡，则此时有时受力平衡，则此时有以此平衡位置以此平衡位置O为坐标原点为坐标原点

12、，竖直向下为，竖直向下为x轴正向，当物体轴正向，当物体m在坐标在坐标x处时处时，由，由牛顿牛顿运动定律运动定律和和定轴转动定律定轴转动定律有有例例求求解解第18页/共79页第十九页，共79页。联立式联立式(l sh)解得解得所以，此振动所以，此振动(zhndng)(zhndng)系统的运动系统的运动是谐振动是谐振动(zhndng).(zhndng).即即(2)由上面的表达式知，此振动由上面的表达式知，此振动(zhndng)系统的角频率系统的角频率故振动周期为故振动周期为 第19页/共79页第二十页，共79页。振动系统振动系统(xtng)的振动方程为的振动方程为(3)依题意知依题意知t0时时，可

13、求出第20页/共79页第二十一页，共79页。三、简谐振动三、简谐振动(zhndng)的旋转矢量表示法的旋转矢量表示法 t=0 x tt=tox在在x轴上投影描述轴上投影描述机械振动机械振动；第21页/共79页第二十二页，共79页。已知一个振子已知一个振子(zhn z)的振动曲线如图所示的振动曲线如图所示画出矢量图，并求画出矢量图，并求a，b，c，d，e各状态各状态(zhungti)相应的相应的位相位相 第22页/共79页第二十三页，共79页。谐振动的位移谐振动的位移(wiy)、速度、加速度之间的相位、速度、加速度之间的相位关系关系第23页/共79页第二十四页，共79页。x t+o 第24页/共

14、79页第二十五页，共79页。例例由图可知由图可知(k zh)求求一物体沿一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期，周期(zhuq)为为2s。当当t=0时，位移为时，位移为 0.06m，且向，且向 x 轴正方向运动。轴正方向运动。（2）在）在x=-0.06m处，且向处，且向 x 轴负向方向运动时，物体轴负向方向运动时，物体(wt)从从 这一位置回到平衡位置所需的最短时间这一位置回到平衡位置所需的最短时间 （1）初相；）初相；(1)根据题义作图如下根据题义作图如下解解(2)所转角度所转角度MONMN第25页/共79页第二十六页，共79页。已知某简谐振动的速度已知某简谐

15、振动的速度(sd)(sd)与时间的关系曲线如图所示与时间的关系曲线如图所示.例例求求振动振动(zhndng)方程。方程。解解 用旋转矢量法辅助用旋转矢量法辅助(fzh)求求解解:第26页/共79页第二十七页，共79页。v的旋转矢量与的旋转矢量与v轴夹角轴夹角(ji jio)表示表示t 时刻相位时刻相位由图知由图知第27页/共79页第二十八页，共79页。5.8(1)(2)第28页/共79页第二十九页，共79页。以弹簧以弹簧(tnhung)振振子为例子为例某一时刻，弹簧某一时刻，弹簧(tnhung)振子速度为振子速度为v，位移为，位移为x四、简谐振动四、简谐振动(zhndng)(zhndng)的能

16、量的能量机械能机械能（简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒）第29页/共79页第三十页，共79页。一个一个(y)与时间有关的物理量与时间有关的物理量F(t)在时间间隔在时间间隔T 内的平均内的平均值值定义定义(dngy)为：为：则：则：谐振动在一周期谐振动在一周期(zhuq)内的平均动能和平均势能相内的平均动能和平均势能相等。等。第30页/共79页第三十一页，共79页。EptoETxotEk第31页/共79页第三十二页，共79页。动动能能(d d n ng gn n n ng g)势势能能(s sh h n n n ng g)情况情况(qngkung)(qngkung)同动能同动能

17、机机械械能能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒第32页/共79页第三十三页，共79页。（1 1）E1 1/4/4；（2 2）E1 1/2/2；（3 3）2 2E1 1；（4 4）4 4E1 1。一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1E1，如果谐振动的，如果谐振动的振幅增加振幅增加(zngji)(zngji)为原来的两倍，重物的质量增加为原来的两倍，重物的质量增加(zngji)(zngji)为原来的为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为课堂练习：课堂练习：第33页/共79页第三十四页，共79页。5.9（1）以初速度方向）以初速度方向(fngxi

18、ng)为正方向为正方向(fngxing)建立坐标轴：建立坐标轴：（2）第34页/共79页第三十五页，共79页。一、同频率同方向简谐振动一、同频率同方向简谐振动(zhndng)的合成的合成分分振振动动(zhndng):合合 振振 动动(zhndng):结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动5.2 简谐振动的合成简谐振动的合成第35页/共79页第三十六页，共79页。合振动合振动(zhndng)(zhndng)是简谐振动是简谐振动(zhndng),(zhndng),其其频率仍为频率仍为合合 振振 动动(zhndng(zhndng)：旋转旋转(xunzhun)矢量法处理谐振动矢量法处理

19、谐振动的合成的合成第36页/共79页第三十七页，共79页。若若 A1=A2,则则 A=0讨论讨论(toln)：若两分振动若两分振动(zhndng)(zhndng)同相：同相：若若两两分分振振动动(zhndng)(zhndng)反相反相:合振动加强合振动加强合振动减弱合振动减弱第37页/共79页第三十八页，共79页。（1 1）0 0；（2 2）4cm4cm；（4 4）8 cm8 cm。两个(lin)同方向同频率的谐振动，振动方程分别为则其合振动则其合振动(zhndng)(zhndng)的振幅为谐振动的振幅为谐振动(zhndng),(zhndng),振幅为：振幅为：课堂练习：课堂练习：（3 3）；

20、第38页/共79页第三十九页，共79页。图示两个谐振动的x-t曲线，将这两个谐振动叠加，合成的余弦(yxin)振动的初相为（A）（B）（C）（D）第39页/共79页第四十页，共79页。二、同方向不同二、同方向不同(b tn)频率谐振动的合成频率谐振动的合成 1.分分 振振 动动(zhndng):2.合合 振振 动动(zhndng):合振动振幅的周期为合振动振幅的周期为:结论：结论：合振动可看作合振动可看作振幅缓变的简谐振动振幅缓变的简谐振动合振动振幅合振动振幅第40页/共79页第四十一页，共79页。拍拍:合振动合振动(zhndng)(zhndng)忽强忽弱的现象忽强忽弱的现象拍频拍频:合振动合

21、振动(zhndng)(zhndng)变化的频率变化的频率 =|=|2-2-1|1|xt tx2t tx1t t3.拍拍 的的 现现 象象(xinxing)：第41页/共79页第四十二页，共79页。2.当当 时：时：消去参数消去参数(cnsh)t 得轨得轨迹方程迹方程分分 振振 动动(zhnd(zhndng)ng)三、同频率互相垂直三、同频率互相垂直(chuzh)的简谐振动的合成的简谐振动的合成讨论：讨论：1.当当 时：时：第42页/共79页第四十三页，共79页。质点沿椭圆质点沿椭圆(tuyun)的运动方向是顺时针的运动方向是顺时针的。的。3.当当 时：时：4.当当 时：时：质点沿椭圆质点沿椭圆

22、(tuyun)的运动方向是逆的运动方向是逆时针的。时针的。第43页/共79页第四十四页，共79页。=0 =/2 =3/4 =/4 =5/4 =3/2 =7/4时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。=第44页/共79页第四十五页，共79页。相互垂直、频率相同相互垂直、频率相同(xin tn)(xin tn)的两列谐振的合振动轨迹有如下规的两列谐振的合振动轨迹有如下规律律:(1)(1)一般一般(ybn)(ybn)情况下轨迹为椭圆情况下轨迹为椭圆;(2)(2)时时,退化为直线退化为直线;(3)(3)时时,为正椭圆为正椭圆,若若A1=A2,A1=A2,则退化则

23、退化 为圆为圆.(4)(4)时时,椭圆顺时针方向转椭圆顺时针方向转;椭圆逆时针方向转椭圆逆时针方向转.第45页/共79页第四十六页，共79页。当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐振动合成当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周期性的，这些时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周期性的，这些(zhxi)(zhxi)图形称为李萨如（图形称为李萨如（J.A.Lissajous 1822-1880 J.A.Lissajous 1822-1880 法国）图形。法国）图形。相互相互(xingh)(xingh)垂直但频率不同的简谐振动的垂直但频率不同的简谐振动的合成合成第

24、46页/共79页第四十七页，共79页。x y2 13 13 2 x=0：y=0 y x0第47页/共79页第四十八页，共79页。振幅振幅(zhnf)随时间减小的振动叫阻尼振随时间减小的振动叫阻尼振动。动。5.3 阻尼振动阻尼振动(z n zhn dn)受迫振动受迫振动一、一、阻尼振动阻尼振动(z n zhn dn)形成阻尼振动的原因：形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。第48页/共79页第四十九页，共79页。1.阻尼振动阻尼振动(z n zhn

25、 dn)的的微分方程微分方程 粘滞阻粘滞阻力力弹性力弹性力(以液体中的水平以液体中的水平(shupng)(shupng)弹簧振子为例弹簧振子为例)弹性力弹性力:粘滞粘滞(zhn zh)(zhn zh)阻阻力力:牛顿第二定律：牛顿第二定律：（固有频率）（固有频率）（阻尼系数）（阻尼系数）（阻尼振动的微分方程）（阻尼振动的微分方程）第49页/共79页第五十页，共79页。2.几种几种(j zhn)阻尼振动模阻尼振动模式式 （1）小阻尼）小阻尼(zn)（3）大阻尼）大阻尼(zn)（2）临界阻尼）临界阻尼XtOXtO大阻尼大阻尼临界阻尼临界阻尼与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置与大阻尼相比，临

26、界阻尼一般将更快回到平衡位置 。第50页/共79页第五十一页，共79页。二、受迫振动二、受迫振动(shu p(shu p zhn dn)zhn dn)系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动(zhndng)(zhndng)称为受迫振称为受迫振动动(zhndng)(zhndng)。牛顿牛顿(ni dn)(ni dn)第第二定律：二定律：令令则则此方程的解为：此方程的解为：1、受迫振动的微分方程、受迫振动的微分方程（以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例）第51页/共79页第五十二页，共79页。等幅振动等幅振动阻尼振动阻尼振动2、方程解的物理、方程解的物理(w

27、l)意义意义 开始开始(kish)振动比较振动比较复杂复杂经过经过(jnggu)一段时间后，一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。受迫振动进入稳定振动状态。+第52页/共79页第五十三页，共79页。3 3、稳定、稳定(wndng)(wndng)的受迫振动的受迫振动 a.a.说明此时说明此时(c sh)(c sh)振动方程的位相振动方程的位相与初始条件无关与初始条件无关 b.b.说明振幅是驱动力的函数说明振幅是驱动力的函数(hnsh)(hnsh)，因此存在极值的问题，因此存在极值的问题稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率稳定受迫振动的振幅稳定受迫振动的振幅A和位相

28、和位相（用待定系数法可得）（用待定系数法可得）第53页/共79页第五十四页，共79页。三、共振三、共振(gngzhn)(gngzhn)（受迫振动（受迫振动(shu p zhn dn)的振幅出现极大值的现象称为共振。）的振幅出现极大值的现象称为共振。）共振频率共振频率 :共振共振(gngzhn)(gngzhn)振幅振幅:A阻尼阻尼0 0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大O共振曲线共振曲线第54页/共79页第五十五页，共79页。5.4 5.4 非线性振动非线性振动(zhndng)(zhndng)简论简论 一、非线性振动一、非线性振动(zhndng)(zhndng)的原因的原因由非线性微分方程所描述由

29、非线性微分方程所描述(mio sh)(mio sh)的振动，称其为非线性振动。的振动，称其为非线性振动。从动力学角度来看，发生非线性振动的原因有两个方面：从动力学角度来看，发生非线性振动的原因有两个方面：2、系统外部的非线性影响：、系统外部的非线性影响：如受迫振动中，驱动力如受迫振动中，驱动力F为位移或为位移或速度的非线性函数时，引起非线性振动速度的非线性函数时，引起非线性振动。1、系统内在的非线性因素：、系统内在的非线性因素：如不限制摆角的单摆或复摆如不限制摆角的单摆或复摆二、自激振动二、自激振动以单方向的力激励的振动称为以单方向的力激励的振动称为自激振动自激振动或或自振。自振。例如：例如：

30、树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声，树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声，自来水管突如其来的喘振。自来水管突如其来的喘振。第55页/共79页第五十六页，共79页。1 1、广义坐标、广义坐标 广义速度广义速度 在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以(ky)用6个变量（x，y，z，vx，vy，vz）描述，一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标个广义坐标qi 和和n个相应的广义速度个相应的广义速度pi 共共2n 个变量个变量(binling)描述。描述。2 2、相平面、相平面(pngmin)(pngmin)相空间相空间以以(qi，pi)为坐标

31、，可以构建一个为坐标，可以构建一个2n（n 为力学系统的独为力学系统的独立变量的数目）维的状态空间。立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间称为这个状态空间称为相空间相空间.相空间相空间:三、相图三、相图 相平面相平面第56页/共79页第五十七页，共79页。当然如果力学系统只有两个变量当然如果力学系统只有两个变量(binling)(binling)，相空间就，相空间就简化为相平面。简化为相平面。相平面相平面(pngmin):相平面、相空间相平面、相空间(kngjin)(kngjin)中的中的“相相”是指物体的运动状态。相空间是指物体的运动状态。相空间(kngjin)(kngjin)的每一点称为

32、相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间(kngjin)(kngjin)的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变化过程。状态变化过程。以以位置位置和和速度速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间。面或相空间。如某质点作直线运动，其坐标为如某质点作直线运动，其坐标为x、速度、速度为坐标为坐标,建立一个平面坐标系建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面就是最简单的相平面以以（x，y）第57页/共79页第五十八页，

33、共79页。相平面相平面(pngmin)中的一个点中的一个点M（x,y），），对应一个运动状态，对应一个运动状态，M 称为相点。称为相点。在相平面中相点的运动轨迹就是相在相平面中相点的运动轨迹就是相图，一般是一条图，一般是一条(y tio)(y tio)光滑的光滑的曲线。曲线。相点相点相轨迹相轨迹(guj)例：例：以以简谐振子简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。为例，来分析讨论相图的实际应用。简谐振子的位移、速度和加速度分别为简谐振子的位移、速度和加速度分别为第58页/共79页第五十九页，共79页。常数常数(chngsh)C(chngsh)C由初始条件决定。由初始条件决定。以以x和和y为轴，

34、可建立为轴，可建立(jinl)相平面相平面Oxy。简谐振子的相图简谐振子的相图(xin t)(xin t)研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列点，继而可研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列点，继而可描绘出一条曲线描绘出一条曲线相轨迹相轨迹。对于一定的对于一定的C值，值，相轨迹是一个椭圆相轨迹是一个椭圆，如图所示。，如图所示。从位移、速度公式中消去时间从位移、速度公式中消去时间t，得，得第59页/共79页第六十页，共79页。按按C值的不同，可得到一族大小值的不同，可得到一族大小(dxio)不同的椭圆。不同的椭圆。从相轨迹中，可以从相轨迹中，可以(ky)(ky)看出

35、：看出：简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动回到原先的运动(yndng)状态状态因此可以断定，因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动周期运动，其周期是一个有限值。其周期是一个有限值。在在相平面上的相平面上的O点点处，物体运动的速度和加速度均为零，处，物体运动的速度和加速度均为零，相平面上相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动使系统偏离这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动使系统偏离O点，它将一直停留在该点。点，它将一直停留在该点。第60页

36、/共79页第六十一页，共79页。3 3、奇点、奇点相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点，奇点对相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点，奇点对应着动力学系统应着动力学系统(xtng)(xtng)的平衡状态，因此奇点也称为平的平衡状态，因此奇点也称为平衡点。衡点。奇点的分类奇点的分类(fn li)(fn li)中中心心(zhngxn)焦焦点点结结点点鞍鞍点点第61页/共79页第六十二页，共79页。单摆单摆(dn bi)(dn bi)的线性振动：的线性振动：单摆单摆(dn bi)例：以单摆的振动为例，来分析例：以单摆的振动为例，来分析(fnx)(fnx)讨论相图。讨论相图。小角度小角度下单

37、摆的运动是下单摆的运动是单摆的非线性振动单摆的非线性振动:简谐振动简谐振动，其，其周期周期为为随着随着的增大，单摆的周期变的增大，单摆的周期变为为第62页/共79页第六十三页，共79页。两边两边(lingbin)(lingbin)积分得积分得单摆线性振动单摆线性振动(zhndng)(zhndng)的相图的相图即即T/T随摆幅随摆幅m变化变化(binhu)关关系系单摆无阻尼线性振动的相图单摆无阻尼线性振动的相图可见，线性振动的相轨迹为可见，线性振动的相轨迹为椭圆椭圆,中中心点是稳定的心点是稳定的奇点。奇点。初始条件确定后，初始条件确定后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，单摆运动过程就对应于其中

38、一个椭圆，单摆的运动是一系列的同周期运动，且单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定。运动状态完全确定。第63页/共79页第六十四页，共79页。当摆幅增大当摆幅增大到时，相迹线上出现到时，相迹线上出现(chxin)(chxin)了两个分支点，我们称了两个分支点，我们称之为鞍点之为鞍点,如上图。如上图。单摆单摆(dn bi)无阻尼非线性振无阻尼非线性振动的相图动的相图单摆单摆(dn bi)(dn bi)非线性振动的相图非线性振动的相图 如果对摆角不加限制，如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分微分方程变成非线性微分方程，可以证明方程，可以证明其相图不其相图不再是一椭圆，再是一椭圆，

39、相轨迹两端凸相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，曲线，表示运动表示运动仍是周期性仍是周期性往复摆动往复摆动。第64页/共79页第六十五页，共79页。鞍点和中心点一样鞍点和中心点一样(yyng)(yyng)也是也是一个奇点，但是在鞍点上一个奇点，但是在鞍点上 说明鞍点是不稳定说明鞍点是不稳定(wndng)(wndng)的平的平衡点，因为与之相连的四条相轨迹衡点，因为与之相连的四条相轨迹中两条指向它，两条背离它，而附中两条指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状。近相轨迹呈双曲线状。从势能曲线从势能曲线(qxin)(qxin)和相图上可和相图上可知知处势能最大，处势

40、能最大，势能曲线、相图、鞍点势能曲线、相图、鞍点第65页/共79页第六十六页，共79页。双曲点的存在双曲点的存在(cnzi)，预示着混沌运动的可能，预示着混沌运动的可能假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，双曲点假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，双曲点就成了敏感区能量就成了敏感区能量(nngling)稍大，单摆就会越过势垒的稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量顶峰，跨到它的另一侧；能量(nngling)稍小，则为势垒所稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。第66页/共79页第六十七页，共79页。四、非线性振动系统的混沌

41、四、非线性振动系统的混沌(hndn)行为行为仍以单摆为例仍以单摆为例,前面已经前面已经(y jing)讨论过它的自由振动讨论过它的自由振动,下下面分析其阻尼振动和受迫振动面分析其阻尼振动和受迫振动有阻尼有阻尼(zn)、无策动力的振、无策动力的振动动小摆幅时运动方程为小摆幅时运动方程为单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(小摆幅小摆幅)取取0.25，01，用软，用软件件MathLab给出数值解。给出数值解。第67页/共79页第六十八页，共79页。有阻尼、并有策动力有阻尼、并有策动力(dngl)的振动的振动大摆幅时运动大摆幅时运动(yndng)方程是非方程是非线性的线性的单摆单摆(dn bi)阻尼

42、振动的相图阻尼振动的相图(大大摆幅摆幅)此时此时,从其相图上可以看出从其相图上可以看出,相平面被分成不同的区域相平面被分成不同的区域,相轨迹都收敛与该区域中心的相轨迹都收敛与该区域中心的吸吸引子引子.振动方程为振动方程为 这是非线性微分方程这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相图来分画出相图来分析析.取取0.25，01，D2/3，f的变化范围为的变化范围为0.5,1.98,每一个相图相差每一个相图相差0.02，用软件，用软件MathLab给出数值给出数值解。解

43、。第68页/共79页第六十九页，共79页。(1)f=0.5,1.0 f较小，是的相图都收敛在一个规则较小，是的相图都收敛在一个规则(guz)的极限环内。的极限环内。第69页/共79页第七十页，共79页。（2）f=1.00,1.481.00,1.14内似乎有较规则的极限内似乎有较规则的极限(jxin)环。环。1.16,1.26内图形有界，但是内图形有界，但是“极限极限(jxin)环环”形状已经非常不规则，出现奇异吸引子。形状已经非常不规则，出现奇异吸引子。1.28,1.48内相图呈振荡状，随时间变化角位移是无界的。即单向旋转内相图呈振荡状，随时间变化角位移是无界的。即单向旋转第70页/共79页第

44、七十一页，共79页。（3）f=1.50,1.98:1.50,1.54内图像再度收敛，内图像再度收敛，1.56,1.66内出现内出现(chxin)规则极限环。规则极限环。1.68,1.98区间图像再度出现区间图像再度出现(chxin)混沌解。混沌解。第71页/共79页第七十二页，共79页。（4）f 2.0的相图的相图(xin t)第72页/共79页第七十三页，共79页。第73页/共79页第七十四页，共79页。第74页/共79页第七十五页，共79页。单摆相图变化单摆相图变化(binhu)的规的规律律 由此可见由此可见,在受迫阻尼振在受迫阻尼振动中动中,单摆的运动单摆的运动(yndng)反映出如下特

45、征反映出如下特征:描述描述(mio sh)运动特征运动特征的动力学方程是非线性的的动力学方程是非线性的;但非线性方程是确定但非线性方程是确定性的性的,不包含任何随时间不包含任何随时间变化的变化的随机项随机项;在某些情况下在某些情况下,单摆出现了貌似无规则的运动单摆出现了貌似无规则的运动.此时系统对初此时系统对初始条件特别敏感始条件特别敏感,初始条件的微小差异可能导致面目全非的结果初始条件的微小差异可能导致面目全非的结果.这就是单摆的这就是单摆的混沌行为混沌行为.第75页/共79页第七十六页，共79页。系统出现的一种貌似系统出现的一种貌似(mo s)(mo s)随机的运动。随机的运动。混沌混沌(

46、hndn):一般无法用解析的方法求解，只能在给定一般无法用解析的方法求解，只能在给定(i dn)(i dn)参量和初值参量和初值条件下用计算机进行数值计算。条件下用计算机进行数值计算。混沌现象具有如下特征混沌现象具有如下特征:对对初值敏感依赖初值敏感依赖最初的微小差别会随时间逐渐放大而最初的微小差别会随时间逐渐放大而导致明显的巨大差别。导致明显的巨大差别。运动不可重现运动不可重现,不可预报不可预报;相轨迹显示混沌运动收敛于相轨迹显示混沌运动收敛于“奇怪吸引子奇怪吸引子”;第76页/共79页第七十七页，共79页。混沌混沌(hndn)(hndn)现象现象研究研究(ynji)(ynji)表明，混沌仅

47、出现在非线性系统中，是非表明，混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起的随机性。而自然界中绝大多数实际过程都是线性引起的随机性。而自然界中绝大多数实际过程都是非线性的，因此，混沌是一种普遍存在而又极其复杂的非线性的，因此，混沌是一种普遍存在而又极其复杂的现象。现象。自自7070年代以来年代以来(yli)(yli)，许多科学家都在各自的领域内发现了混沌，许多科学家都在各自的领域内发现了混沌现象，如湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超导中的约瑟夫现象，如湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象。逊结系统等都存在混沌现象。混沌不仅是数理学科的理论混沌不仅是数理学科的

48、理论,而是遍布各个领域而是遍布各个领域.如化学反应如化学反应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的“虫口模型虫口模型”等等等等第77页/共79页第七十八页，共79页。比如天气预报中存在混沌比如天气预报中存在混沌(hndn)(hndn)现象，虽然不能准确预报几现象，虽然不能准确预报几年后的天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；年后的天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；这说明，混沌现象这说明，混沌现象(xinxing)(xinxing)的内在随机性与随机系统中的随机的内在随机性与随机系统中的随机性有着本质区别。性有着本质区别。总之，混沌的随机性是一种总之，混沌的随机性是一种(y zhn)(y zhn)内在的随机性，它将使内在的随机性，它将使我们永远不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测。我们永远不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测。混沌并不是完全无序，而是混沌并不是完全无序，而是无序中隐含着有序无序中隐含着有序；第78页/共79页第七十九页，共79页。