充分、完备统计量.ppt

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1、1.2 充分统计量与完备统计量充分统计量与完备统计量充分统计量充分统计量定义定义:设设 是来自总体是来自总体X具有分布函数具有分布函数 当给定当给定 时，若样本时，若样本 的条件分布与参数的条件分布与参数 无关，则称无关，则称 是是 的的 充分统计量。充分统计量。一、充分统计量含义一、充分统计量含义 样本中包含关于总体分布中未知参样本中包含关于总体分布中未知参 数的信息，是因为样本的联合分布与参数的信息，是因为样本的联合分布与参 数有关。对统计量数有关。对统计量T，如果已经知道它的，如果已经知道它的 值以后，样本的值以后，样本的条件分布就与参数无关条件分布就与参数无关。即在统计量即在统计量T中

2、中包含了参数的全部信息包含了参数的全部信息。1.用定义证明用定义证明T是充分统计量是充分统计量例例1 设设 总体总体 服从两点分布服从两点分布 ，即，即 是来自总体是来自总体 的一个样本，证明的一个样本，证明样本均值样本均值 是参数是参数 的充分统计量的充分统计量证明证明：由于由于当已知当已知 时，样本时，样本 的条件概率的条件概率 例例2.设设 是来自泊松分布是来自泊松分布 的一的一个样本，证明个样本，证明 是是 的充分统计量的充分统计量.证明：证明：由泊松分布性质知由泊松分布性质知给定给定T=t 即即的条件分布为的条件分布为后，后，例例3 设设 是来自正态总体是来自正态总体 的的样本，证明

3、样本，证明 是充分统计量是充分统计量.证明：由条件知证明：由条件知 在给定在给定 后，对后，对 任意任意 有有 ，样本，样本 的条件概的条件概 率密度为：率密度为：2.因子分解定理因子分解定理定理定理(费希尔费希尔奈曼准则）奈曼准则）设设 是来自总体是来自总体X具有分布函数具有分布函数 则则 为为 的的充分统计量充分统计量的的充要条件充要条件是：是：样本的联合分布密度函数可以分解为样本的联合分布密度函数可以分解为 用因子分解定理证明充分统计量用因子分解定理证明充分统计量例例1 设设 总体总体 服从两点分布服从两点分布 ，即，即 是来自总体是来自总体 的一个样本，证明的一个样本，证明样本均值样本

4、均值 是参数是参数 的充分统计量的充分统计量 证明证明：由于由于例例2 设设 是来自泊松分布是来自泊松分布 的一个的一个样本，证明样本均值样本，证明样本均值 是是 的充分统计量的充分统计量证明：证明：例3 设 是来自正态总体 的样本，证明 是 的充分统计量证明：样本 的联合分布密度为：例例4 设设 是来自正态总体是来自正态总体 的一个样的一个样本，证明本，证明 是是 的充分统计量的充分统计量证明：样本证明：样本 的联合分布密度为：的联合分布密度为：定理定理 设设 是单是单值可逆函数，则值可逆函数，则 也是也是 的充分统计量的充分统计量结论：结论：1 1 统计量用来推测参数的值统计量用来推测参数

5、的值;2 2 充分统计量把可能丢失信息的统计量筛选充分统计量把可能丢失信息的统计量筛选;3 3 最优统计量在充分统计量之中最优统计量在充分统计量之中;4 4 一个参数的充分统计量不唯一一个参数的充分统计量不唯一.问题：在什么情况下，它是唯一的？问题：在什么情况下，它是唯一的？二、完备统计量二、完备统计量定义定义 设总体设总体 的分布函数族为的分布函数族为 若对任意一个满足若对任意一个满足 的随机变量的随机变量 ，总有，总有则称则称 为为完备的分布函数族完备的分布函数族 若若一一统统计计量量T 的的分分布布函函数数族族是是完完备备的的，则该统计量为则该统计量为完备统计量完备统计量.性质性质例例

6、设设 是来自总体是来自总体 服从两点分布服从两点分布 的样本的样本，样本均值，样本均值 是参数是参数 的充分统计量，的充分统计量，验证验证 也是完备统计量也是完备统计量 证明证明：由于由于 如果一个统计量既是充分统计量，又是完如果一个统计量既是充分统计量，又是完备统计量，则称为备统计量，则称为充分完备统计量充分完备统计量。定理：设定理：设 来自总体来自总体 的一个的一个样本，样本，的充分完备统计量的充分完备统计量 如如果果无无偏偏估估计计存存在在，则则 是是唯唯一一的的最最优优无偏估计量无偏估计量定理定理 设设 来自总体来自总体 若样本的联合分布可以分解为若样本的联合分布可以分解为 则则 是是 的充分完备统计量。的充分完备统计量。例例5设设 是来自正态总体是来自正态总体 的一个样的一个样本，证明本，证明 是是 的充分完备统计量的充分完备统计量证明：样本证明：样本 的联合分布密度为：的联合分布密度为：是是 的充分完备统计量。的充分完备统计量。