Copula在股指期货套利中的应用.pdf

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1、学校编码：学校编码：10384 分类号分类号 密级密级 学号：学号：14420051300975 UDC 硕 士 学 位 论 文硕 士 学 位 论 文 基于 Copula 的金融风险相关性研究 基于 Copula 的金融风险相关性研究 Copula 在股指期货套利中的应用 Copula 在股指期货套利中的应用 The Research in Dependence of Financial Risk Based on Copula Theory 郑 文 旭 指导教师姓名：郑振龙 教授 专 业 名 称：金 融 工 程 论文提交日期：2008 年 3 月 论文答辩时间：2008 年 5 月 学位授予

2、日期：答辩委员会主席：评 阅 人：200 年 月 厦门大学学位论文原创性声明厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。声明人（签名）：年 月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，

3、有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。本学位论文属于 1、保密（），在 年解密后适用本授权书。2、不保密（）（请在以上相应括号内打“”）作者签名：日期：年 月 日 导师签名：日期：年 月 日 中 文 摘 要 中 文 摘 要 随着金融市场的不断发展和全球化程度的加深，金融市场和金融资产间的相关关系越来越复杂，呈现非线性、非对称性和尾部相关的相关模式等，基于线性相关系数的分析方法已经不能准确反映金融市场的相关信息。Sklar 的 Copula理论认为随机变量间相关性的信息可以由 Copula 函数完全刻画，可用于描述金融市场间的相关模式。本文用基于 Copula 函

4、数的方法研究金融市场、金融资产间的相关程度和相关模式，探讨了关于 Copula 函数的一些理论问题以及 Copula函数在金融市场相关性方面的应用研究等问题，尤其是在股指期货套利中的应用问题。本文第二章详细介绍了 Copula 函数的定义、基本性质及相关定理，分析了一些常用 Copula，尤其是阿基米德族 Copula 函数在描述相关结构方面的特点，认为可以将金融市场的相关性分析分为相关程度和相关模式两部分进行，不同的Copula 函数可以描述不同的相关模式。对由 Copula 函数导出的一些相关性度量指标进行深入的分析，它们能捕捉到非线性相关关系和尾部相关关系。总结了常用的几种风险相关性度量

5、指标，并进行优劣比较，认为基于 Copula 的Kendall s和Spearmans 秩相关、尾部相关系数能够较好地用于度量非线性、非对称和尾部相关的金融数据相关模式。在实证研究中，详细介绍了本文构造的二元 Copula-t-Garch 模型，将该模型应用于金融市场相关性分析，对股指期货套利中的两个环节：指数现货与期货、现货组合与它所跟踪的标的指数进行相关性和相关模式的分析。分析发现Symmetrised Joe-Clayton Copula 能够较好地刻画本文所构建的现货组合与沪深 300 指数之间的相关模式，说明了两者之间在市场出现巨幅震荡行情时上下尾部的相关性加强；实证研究也发现指数现

6、货与期货间存在较为明显的尾部相关关系，存在尾部渐近相关现象。因此，本文通过 Copula 的实证研究认为，在市场行情出现较大幅度震荡时，进行股指期货套利是较为有利的，能取得较好的操作准确性和安全性，因为此时组合与标的指数、期现货的相关性加强。关键词：关键词：二元 Copula-t-Garch 模型；相关性；股指期货套利 ABSTRACT With the development of the financial markets,the dependent relationship between them become more and more complicated and represe

7、nt the character of nonlinear,asymmetric and tail dependence.Methods based on the linear correlation coefficients can not describe the dependence pattern accurately.Sklars theory of copula believe that the information about the dependence is whole contained in the copula function.In this dissertatio

8、n,we research the dependence pattern of the financial markets by using copula function,and probe into some theory questions of the copula and its application in financial analysis.Definition and some basic property and some related theory of copulas are introduced in second chapter,dependent charact

9、ers of some common copula are analyzed.Several measures of dependence educed by copula function,especially archimedean copula,are analyzed inside out.The copula theory divides the analysis of dependence between financial markets into dependence index and dependence pattern.Every Copula function stan

10、ds for its dependence pattern.We probe into some measure index of dependence based on copula function,which could clutch the characters of nonlinear,asymmetric and tail dependence.Some common measure indexes of dependency are summarized.Then we conclude that the Kendalls Tau and Spearmans Rho are th

11、e right tools to describe nonlinear,asymmetric and tail dependence.In application part,the bivarite copula-t-garch model is introduced in detail,and is applied in the analysis of financial market dependence.We applied it in two steps of hedge of index futures:Dependence pattern between index and its

12、 futures,dependence pattern between index and investing portfolio.The conclusion is that Symmetrised Joe-Clayton copula is able to describe the dependence between index and investing portfolio,which means upper and lower tail dependence increased when market varied acutely.And we also found there wa

13、s remarkable tail dependence between index and its futures.So we advised that,its the best time to do hedge of index futures when market varied acutely.Key words:Bivarite Copula-t-Garch model;Dependence;Hedge of Index Future 目目 录录 第一章第一章 绪绪 论论.1 1.1 选题的背景选题的背景.1 1.2 问题的提出问题的提出.2 1.3 文献回顾文献回顾.4 1.4 论

14、文框架、思路及创新论文框架、思路及创新.6 第二章第二章 Copula 理论与金融分析理论与金融分析.9 2.1 Copula 理论简介理论简介.9 2.2 Copula 的分类的分类.12 2.3 Copula 在金融分析中的应用在金融分析中的应用.16 2.4 相关性度量相关性度量.19 2.5 各种相关性度量方法的优劣比较各种相关性度量方法的优劣比较.24 第三章第三章 Copula 理论实证的方法设计理论实证的方法设计.27 3.1 构建现货组合构建现货组合.27 3.2 边际分布拟合边际分布拟合.29 3.3 Copula 函数的选择函数的选择.33 3.4 相关性检验相关性检验.3

15、4 第四章第四章 Copula 在股指期货套利中的应用在股指期货套利中的应用.36 4.1 数据说明数据说明.36 4.2 边际分布拟合的实证检验边际分布拟合的实证检验.38 4.3 Copula 函数拟合联合分布的实证分析函数拟合联合分布的实证分析.41 第五章第五章 总总 结结.46 参考文献参考文献.47 附附 件件.49 致致 谢谢.50 Contents 1.Introduction.1 1.1 Background.1 1.2 Origin.2 1.3 Review of Literatures.4 1.4 Structure and Innovation of the Paper

16、.6 2.Copula Theory and Financial Analysis.9 2.1 An Introduction of Copula Theory.9 2.2 Sorts of Copula Functions.12 2.3 The Application of Copula in Financial Analysis.16 2.4 Measurements of Dependence.19 2.5 Comparison between Methods of Dependence Measurement.24 3.Method Design in Application of C

17、opula.27 3.1 Construct Investing Portfolio.27 3.2 Marginal Distrubtion.29 3.3 Choose Best Copula Functions.33 3.4 Test of Dependence.34 4.Application of Copula in Hedge of Index Future.36 4.1 Introduction of Data.36 4.2 Application of Marginal Distrubtion.38 4.3 Application of Copula in Joint Distru

18、btion.41 5.Summarise.46 References.47 Appendix.49 第一章 绪 论 第一章 绪 论 第一章 绪 论 1.11.1 选题的背景 选题的背景 近两年内发生的多起全球经济金融事件，都表明全球金融市场联系的紧密程度不断加强。2007 年 2 月 27 日中国沪深股市跌幅超过 8%，并引发全球股市大跌；2007年以两个事件为开端的次贷危机4 月份美国第二大次级抵押贷款机构新世纪金融申请破产保护、6 月份美国第五大投资银行贝尔斯登公司旗下两只基金因涉足次级抵押债券市场出现亏损其对全球经济及资本市场的影响到目前为止都难以估量，但是它加强了全球各股市间下跌时的联

19、动性，这一点是毋庸置疑的；2008 年 1 月 21 日由于对美国经济衰退的担忧引发的恐慌，导致包括欧美、日韩、中国在内的股市联动性大跌，其影响延续到 1 月 28 日。结合历史上出现的多次股灾，我们可以发现：各个市场间的相关性并非线性的，并且在下跌时相关性明显增强；金融产品的收益率分布并非理论研究中常用的正态分布，一系列数据和证据均显示其存在尖峰、肥尾特性。不仅全球各金融市场的联系日益加强，各种金融工具间的关联性也日益加强，而随着越来越多金融产品、尤其是金融衍生产品的推出，他们之间的风险相关关系更加复杂。总的来说，国际金融市场已发生了巨大变化，市场间的关联性越来越强，经济自由化、金融全球化的

20、程度在加深，资讯传播速度飞速发展。金融全球化导致了各国金融市场的开放程度不断加深，金融资本可以在全球范围内迅速流动，致使不同国家和地区的各种金融市场间的联系越来越紧密，市场间的相互影响越来越大。经济全球化使国家间的经济相互依赖性增强，单个国家的经济波动会以较快的速度影响其它国家。信息流通渠道的迅猛发展，使得信息可以在较短时间散布全球，提高了金融市场的效率，也增强了市场波动的协同性，这导致各个金融市场间的相关程度和相关模式发生了较大的变化，表现为全球金融市场之间的价格协同运动，使任何国家和地区金融市场的波动都会迅速波及到其他市场，如亚洲金融危机、如今的次贷危机和近年来的多次突发性股灾等。而目前的

21、金融分析多是基于一些脱离实际的假设展开的，如变量服从特定的分布（如正态分布、对数正态分布等）、各个变量收益率同分布、线性相关等，1基于 Copula 的金融风险相关性研究Copula 在股指期货套利中的应用 由脱离实际的假设展开的研究成果必然存在较大的偏颇，也必然会给指导实际投资带来较大的风险。中国的沪深 300 股指期货即将推出，将给目前的风险相关性研究带来极大挑战。股权分置改革顺利完成后，我国的资本市场结构发生了根本性的改变，投资者对规避风险和投资工具多元化的需求越来越大，迫切需要金融衍生工具的发展。由于股指期货的重要功能，如套期保值、套利和投机的功能，以及金融创新的内在要求，我国资本市场

22、推出股指期货等金融衍生产品的举措已势在必行（房振明，2006）。然而，由股指期货等金融衍生品所带来的市场风险将超出传统范围，带来整个市场风险的叠加和放大。如果不能准确衡量股指期货与现货、现货投资组合与所跟踪的沪深 300 指数的风险相关性，则在实际投资中不仅会造成套利机会的难以把握，也会产生许多难以测算的风险。Copula 在金融风险相关性的应用中存在的许多特性和优点，使得其能更准确和更清晰地衡量金融风险相关性。1.21.2 问题的提出 问题的提出 相关性度量是金融分析中的一个非常重要的问题，是进行资产定价、组合选择和风险度量等研究的基础。在传统的风险管理理论中，通常假定资产收益服从正态分布，

23、并采用 Pearson s线性相关系数作为资产相关性的度量指标。众多的研究成果表明，许多金融资产的收益具有明显的尖峰、肥尾特性，与正态分布假设相差较大；而当市场发生重大波动时，线性相关系数也无法反映出资产收益曲线的尾部相关特征(Boyer,2000）。而且，由于金融市场间和金融资产间并非简单的线性相关，也无法使用 Pearson s线性相关系数进行准确度量。由于 Pearson s脱离实际及其自身的局限，使得 Pearson s并不适用于实际投资的相关性度量，否则会带来潜在风险。另一方面，国际金融市场、金融产品之间的相互影响越来越大，协同性越来越强，不仅市场间的相关程度增强了，而且相互间相关性

24、的表现形式（即相关模式）也发生了较大变化。线性相关是相关模式中相对简单的一种模式，但实际上 2第一章 绪 论 金融市场中很少出现纯粹线性相关情形，大多数是非线性相关。除了线性、非线性相关模式，还有对称和非对称相关模式、尾部渐近相关和渐近独立的相关模式等。对称相关模式是指在上涨和下跌期间遵循相同的相关关系；非对称相关模式则相反，它表明金融市场在上涨和下跌期间，不仅相关程度不同，而且相关关系也不同，如下跌期间是尾部相关的，而上涨期间却是尾部渐近独立的；尾部相关模式在相关性分析中占据重要地位，这是因为它描述的是当一个市场出现极值收益(损失)时，另一个市场出现极值收益（损失)的可能性。一个金融市场的波

25、动很容易引发其它金融市场的波动，从而使金融危机从一个市场扩散到另一个市场。Copula 方法用于研究金融风险相关，与之前的风险相关性研究相比，其最大的特性在于：Copula 将风险相关分为相关程度和相关模式两方面进行研究，区别于之前将两者合而为一的研究方法；而且，Copula 应用的基本步骤是：第一步，构造各金融产品或各金融市场收益率的边际分布函数；第二步，将各边际分布函数作为自变量，用适当的 Copula 函数进行联合，由此构造的联合函数表现各金融产品或各金融市场收益率的联合分布函数。Copula 通过这两个步骤，将关于金融产品或金融市场的风险分解为个体风险和系统风险，个体风险由边际分布描述

26、，而 Copula 函数与各金融产品的边际分布无关，它的性质反应了市场的特点，反映了市场风险。如果我们考虑的不是整个的市场,而是各个板块,于是每个板块就有各自连接函数。不同的板块,相应的连接函数是不同的,它们各自反映了所在板块的特点，这样比较不同板块的特性,就比较了板块的市场特性（张尧庭，2002）。从这里就明显地看出连接函数在股市风险分解中的作用。1(,.,)kC uu1(,.,)kC uu1(,.,)kC uu1(,.,)kC uuEmbrechts（2001）提到 Sklar 定理，根据该定理，可以用 Copula 很好地描述资产间的相关模式。Copula 函数有很多类型，不同类型的 C

27、opula 函数有不同的特征，可以描述不同的相关模式。通过一定的统计计量标准，从给定范围中挑选合适的 Copula，即可较为准确地描述实际相关模式。Copula 正是通过对研究对象的分解和研究方法的分类，将风险相关的研究简单化了，也能更加准确地衡量风险相关性，这在股指期货的实际投资中有极大 3基于 Copula 的金融风险相关性研究Copula 在股指期货套利中的应用 的应用价值。股指期货套利分为正向套利和反向套利，正向套利指买入指数现货、卖出指数期货，反向套利指买入指数期货、卖出指数现货。由于并没有现成的指数现货，因此在实际操作中常常需要构造现货组合，以跟踪标的指数的走势。股指期货套利中最核

28、心的问题是现货和期货相关性如何？构建的现货组合是否能很好地跟踪标的指数？投资组合与标的指数的相关性如何？投资组合的风险性如何？由于 Copula 没有预先假定金融产品收益率满足正态分布、各个资产收益率同分布、线性相关等，它允许各资产可以服从不同的分布函数，而且这些分布函数可以是非正态分布，更加符合实际情况，由此得到的相关性度量必然更加接近真实，也可使得 Copula 在股指期货套利中可以获得更充分的利用。因此，本文将对 Copula 在金融风险相关及风险测度上的应用加以研究，并将考察 Copula 在股指期货套利中的应用价值。1.31.3 文献回顾 文献回顾 1.3.1 国外 Copula 方

29、法的研究现状1.3.1 国外 Copula 方法的研究现状 Copula 函数可以理解为“相依函数”或者“连接函数”，它是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。最早介绍 Copula 的是Sklar(1959)的一篇文章，提出了 Sklar 定理，为 Copula 方法体系的发展打下了基础。虽然在上世纪 50 年代就开始了 Copula 理论的研究，但直到上世纪末才逐渐把 Copula 函数应用在金融领域。Nelson(1999)比较系统地介绍了 Copula 的定义、构建方法、Archimedean Copula 及相关性。Embrechts&Lindskog(2001)把

30、 Copula 理论引入到金融领域上来，把金融风险分析推向了一个新的阶段。直到最近几年，国外才出现了大量关于 Copula 理论应用于金融领域的文章。Bouye&Durrleman(2000)系统介绍了 Copula 在金融中的一些应用。Embrechts&Lindskog(2001)、Genest&Ghoudi(2003)分别用模拟技术、半参数估计、参数估计对 Copula 的统计推断作了详细介绍。Matteis(2001)对 Copula 函数，特别是 Archimedean Copula 函数作了较为全面地总结。Romano(2002)开始用Copula 进行了风险分析，计算投资组合的风

31、险值，同时用多元函数极值通过使 4第一章 绪 论 用 Monte Carlo 方法来刻画市场风险。Forbes&Rigobon(2002)通过固定 Copula模型来描述 Copula 的各种相关模式，并把这一方法广泛地应用在金融市场上的风险管理、投资组合选择及资产定价上。Hu(2006)提出了混合 Copula 函数(Mixed-Copula)的概念，即把不同的 Copula 函数进行线性组合，这样就可以用一个 Copula 函数来描述具有各种相关模式的多个金融市场的相关关系。在实证研究方面，Fantazzini(2003)引入条件 Copula 函数的概念，同时将Kendall 秩相关系数

32、和传统的线性相关系数分别运用于混合 Copula 函数模型中对美国期货市场进行分析。Melchiori(2003)则从实际应用角度研究如何才能更好地选择阿基米德 Copula 函数，Romano(2002)将 Copula 函数用于意大利股票市场间的相关性研究。Patton(2004)则将 Copula 函数用于资产管理研究。上述的文献都是基于在研究样本时间段内资产相关模式或者相关程度是不变的假设。Patton(2001)通过研究日元/美元和英镑/美元汇率间的相关性，发现在欧元体系推出前后这两种汇率之间的相关性程度发生了显著变化。在此基础上，Patton 提出引入时间参数，用时变 Copula

33、 函数来刻画金融资产。Goorbergh&Genest(2005)在 Patton 的基础上设计出新的动态演进方程并用在时变 Copula中对期权定价进行了研究。Gugan&Zhang(2006)开始构造拟合优度的统计检验量来判断样本数据在进行动态 Copula 建模时适用的模型结构，也就是时变相关Copula 模型与变结构的 Copula 模型的统计推断。在 Copula 函数的参数估计技术上，Genest&Ghoudi(2003)提出了半参数估计方法和非参数估计方法。可以看出，到目前为止，国外有关 Copula 理论的相关文献还是主要集中在常规 Copula 函数的建模和分析上。有关动态的

34、 copula 模型，如时变 copula、变结构 copula 模型，在近几年才开始出现和得到应用，文献资料相对较少。但可以发现动态 Copula 建模已成为目前 Copula 方法应用研究的热点。1.3.2 国内 Copula 方法的研究现状 1.3.2 国内 Copula 方法的研究现状 在国内，对 Copula 的研究起步较晚，最早是张尧庭(2002)在理论上，特别是概率论的角度上探讨了 Copula 方法在金融上应用的可行性。对 Copula 的分类研究和实证分析则是最近几年内的事情。韦艳华,张世英(2003;2004;2007)利 5基于 Copula 的金融风险相关性研究Copu

35、la 在股指期货套利中的应用 用 Copula 方法结合中国股票市场对金融市场的相关性做了较为深入的研究，研究涉及到用 Copula 分析金融市场相关模式、多元 Copula-Garch 模型的应用及非对称相关模式等。史道济,姚庆祝(2004)给出了相关结构 Copula、秩相关系数Spearman s与Kendall s和尾部相关系数，以及这三个关联度量与 Copula 之间的关系，各个相关系数的估计方法等。叶五一,缪柏其(2006)、韦艳华,张世英（2006)运用 Archimedean Copula 给出了确定投资组合条件在险价值(CVaR)的方法。而在动态 Copula 建模方面，韦艳

36、华,张世英（2006)开始研究金融市场间的动态相关结构，并实证分析变结构 Copula 模型与时变 Copula 模型在刻画动态相关结构能力上的优劣。另外，Copula 理论也被应用于 VaR 的计算中，柏满迎,孙禄杰(2007)、孔繁利,段素芬(2006)等研究均表明，基于 Copula 理论的投资组合 VaR 计算方法比传统 VaR 更加接近实际，能更加准确地衡量投资组合的风险。总的来说，国内对 Copula，特别是动态 Copula 的实证分析还是比较少见。1.41.4 论文框架、思路及创新 论文框架、思路及创新 1.4.1 思路及框架 1.4.1 思路及框架 本文首先对 Copula

37、理论进行了系统的整理、总结；全面地介绍了目前有关Copula 的概念、分类和性质等；对 Copula 函数用于建模的步骤和方法进行了细致的总结。在 Copula 理论介绍及分析的基础上，本文结合 Copula 的特性及股指期货投资实务中的需要，较为新颖地提出了自身的实证思路和实证设计方案，并得出了较有意义的实证结论。本文框架安排如下：第一章 绪论。主要介绍本文的选题背景和意义，以及目前理论研究中关于相关性和相关模式的研究现状，并进而引出 Copula 理论，探讨 Copula 理论在沪深 300 股指期货推出后的股指期货套利中具有怎样的研究和应用价值；最后是对国内外关于 Copula 理论的研

38、究现状进行回顾和总结。第二章 Copula 理论与金融分析。介绍 Copula 方法的理论基础，包括 Copula函数的定义、性质以及 Copula 的分类、常用的 Copula 函数等内容，特别是重点 6第一章 绪 论 介绍了阿基米德族 Copula 函数，并对多种相关性度量指标加以介绍并进行优劣比较，进而讨论了用 Copula 函数描述相关性的优势以及 Copula 函数对秩相关系数的改进，最后介绍了基于 Copula 的尾部相关系数。第三章 本文构造的实证方法与步骤。详细介绍了本文进行该实证研究的思路和意义，论证了构造的实证方法的可行性和合理性，对整个实证过程进行了分步骤的详细说明，并且

39、对实证中涉及到的一些研究方法和检验方法加以介绍。第四章 实证研究Copula 在股指期货套利中的应用。基于第二章所述的Copula 理论和相关性度量指标，按照第三章所构造的实证方法，对沪深 300 指数、权重股以及股指期货套利中用以跟踪标的指数的现货投资组合的收益率数据进行实证分析，拟合了沪深 300 指数与权重股、沪深 300 指数与现货投资组合的二元 Copula 联合分布函数，进行相关模式的分析和秩相关、尾部相关的分析。第五章 总结。对全文加以总结，并对进一步的研究进行展望。1.4.2 创新与不足 1.4.2 创新与不足 本文的主要创新在于：a 对几种重要的 Copula 函数及它们在建

40、模时的应用特点进行了详细的讨论。在此基础上，根据金融市场数据收益率分布的尖峰、肥尾特性，引入了t-Garch 模型来描述边际分布，构建了二元 Copula-t-Garch 模型，用此改进后的模型来分析股指期货套利中两个环节的相关程度和相关模式，结果表明改进后的模型能更好地拟合实际数据，二元 Copula-t-Garch 模型能够较好地考察期货与现货、组合与标的指数的相关程度和相关模式；b 本文最大的创新点在于实证研究中将 Copula 理论应用于股指期货套利的研究，通过指数跟踪方法自行构建用于股指期货套利的现货投资组合，进而用Copula 理论、基于 Copula 的相关性度量方法来度量该现货

41、组合与沪深 300 指数、沪深 300 指数与指数期货的相关程度和相关模式；研究现货组合与沪深 300 指数相关性的目的就是为了在股指期货交易中找出与股指期货标的指数相关性强的现货组合，提高期货交易的有效性。该研究有别于大部分文献仅将 Copula 实证研究局限于考察两个市场间的相关性的现状，如李悦,程希骏(2006)上证指数和恒生指数、曾健,陈俊芳(2005)上证 A 股与 B 股的 Copula 相关分析，使得 Copula 7基于 Copula 的金融风险相关性研究Copula 在股指期货套利中的应用 方法具备了更强的实践意义，对于 Copula 理论在纯理论的研究基础之上，加强实务应用

42、性提供了一种思路。另外，本文也存在一些不足，如本文所构建的数学模型较为复杂，程序实现较为困难，直接导致了本文实证方面的完整性不足，这也限制了 Copula 理论的推广应用；只限于二元分析等。8第二章 Copula 理论与金融分析 第二章 Copula 理论与金融分析 第二章 Copula 理论与金融分析 2.12.1 Copula 理论简介 Copula 理论简介“Copula”一词首次出现在 Sklar 1959 年的一篇统计学文献中，在拉丁语中是“连接”的意思，因此 Copula 函数也就是指连接函数，其基本原理是将各随机变量的一维边际分布函数连接起来，用以表示多维随机变量的联合分布函数。

43、1959 年，Sklar 即提出了 Copula 理论，指出可以将一个联合分布分解为它的 k 个边际分布和一个 Copula 函数，其中 Copula 函数描述变量间的相关结构(Embrechts,2001）。但直至 1999 年，Nelson(1999）才首次较系统地总结了Copula 理论，系统介绍了 Copula 定义、构建方法和相关性等，Embrechs(1999)将 Copula 理论引入金融应用研究，并由此引发了很多学者的研究。本节的介绍也将从 Sklar 定理讲起。2.1.12.1.1 Copula的定义 Copula的定义 1 Sklar定理 Sklar定理是Copula函数的

44、存在性定理，是Copula应用的理论基础。Sklar 定理：设随机向量12(,.,)nXXX的联合分布函数是 F，边际分布函数分别为，则存在一个 Copula 函数 C，使得 12,.,nF FF12112212(,.,)=C(),(),.,(),-,.,nnnF x xxF xF xF xx xxn +（2.1）成立。如果都是连续分布函数，则 C 是唯一的；12,.,nF FF反之，如果 C 是一个 Copula 函数，F 都是一维分布函数，则由式（2.1）定义的函数是一个边际分布为的 n 维联合分布函数。12(,.,)nF x xx12,.,nF FF随机向量的联合分布函数是刻画随机向量概

45、率性质的最好工具之一，它包含了两方面的信息:一个是变量的边际分布信息，另一个是变量间相关结构的信息。设随机向量1(,.,)dXXX的联合分布函数为，由联合分布函数容易得到变量的边际分布函数，在联合分布中除去边际分布的信息后，就剩下相关结构的信息了。Copula 通过连接随机变量的边际分布来构造变量的联合分布函数，可以较大程度地保持随机变量数据的信息量，保证研究的准确性和真实性。1(,.,)dF xx不仅如此，Sklar 定理还给出了如何利用联合分布函数求 Copula 函数的方 9基于 Copula 的金融风险相关性研究Copula 在股指期货套利中的应用 法，即通过式(2.1)利用联合分布函

46、数和边际分布的反函数来求 Copula 函数：11111(,.,)(),.,()nC uuF FuFu=nn （2.2）证明如下：令 111(),.,()nnnuF xuF x=则 11111(),.,()nnnxFuxFu=将以上两式带入式（2.1），即可得到式（2.2）。Sklar 定理向我们揭示：可以用边际分布函数和 Copula 函数来结合构造更多的联合分布函数，而不是仅仅局限于以前文献研究中的多元正态分布和多元 t分布。2 Copula 函数定义 Nelsen(1995)给 Copula 函数作了一个一般定义：n 维 Cpoula 函数是指具有以下性质的函数 C：a、；0,1nCb、

47、C 对它的每一个变量都是递增的；c、C 的边际分布满足：kC()(1,.,1,1,.,1)kkkkC uCuu=，其中，。0,1u1,kn 2.1.22.1.2 Copula函数的性质 Copula函数的性质 n 维 Copula 函数 C 具有如下基本性质：a、对于变量 u 和 v，C(u,v)都是递增的；即若保持一个边际分布不变，联合分布将随着另一个边际分布的增大而增大；b、C(0,v)=C(u,0)=0,C(l,v)=v,C(u,l)=u;即只要有一个边际分布的发生概率为 0，相应的联合分布的发生概率就为 0；若有一个边际分布的发生概率为 1，则联合分布由另一个边际分布给出；c、对于所有

48、的变量1212,0,1u u v v，如果12uu，12vv，那么 10第二章 Copula 理论与金融分析 22211211(,)(,)(,)(,)0C u vC u vC u vC u v+；即若边际分布 u，v 的值同时增大，则相应的联合分布的值也增大；d、若变量u，v独立，则；C(u,v)=uve、设连续随机变量1dXX,.,的 Copula 函数为1dXX，如果C,.,11(),.,()ddXX都是严格单增函数，则 1111(),.,()1(,.,)(,.,)dddXXdXXdCuuCuu=,.,即连接函数对于随机变量的严格单调增变换是不变的；证明如下：（张尧庭，2002）设(,)的

49、联合分布是，各自的边际分布为12(,)F x x()G x，()H y，于是由连接函数的性质知道：12(,)C u u(,)(,)(),(PxyF x yC G x H y)=若 s(x),t(y)分别是 x,y 的严格单调递增函数，因此它们的反函数自然存在而且唯一，只考虑所涉及函数均是连续的情形，那么我们可以看出：11(),()(),()P ss ttPsstt=由于 11()()()()sFP sxPssG sx=11()()()()tFP tyPtyH ty=于是有 111111()()(),()(),()(),()(),()(),()stP sx tyPsxtyF sx tyC G s

50、x tyC Fx Fy=时，随机变量u、v正相关，0时随机变量u、v趋向于独立，0=+其中2为投资组合的风险；2i为资产 i 的风险；为资产 i 在组合中的权iw 17基于 Copula 的金融风险相关性研究Copula 在股指期货套利中的应用 重，ij为资产 i 和 j 的线性相关系数。其中，22niiiw仅与单个资产的风险有关，称为非系统风险或个别风险；2nnijijijijjww 是由投资组合中的各项资产间的相关性所带来的风险，称为系统风险。可以看出，ij的大小是影响组合风险的重要因素，因此可以选择相关性较小的资产来规避风险。在多元正态分布假设下，任意组合资产的收益都服从正态分布，线性相