九年级数学上册配方法教案 (3).doc

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1、2 22.12.1 配方法配方法教学目标(一)教学知识点1会用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程 2理解一元二次方程的解法配方法(二)能力训练要求1会用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法2体会转化的数学思想方法3能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性(三)情感与价值观要求通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力 教学重点利用配方法解一元二次方程来源: 教学难点把一元二次方程通过配方转化为(x+m)2n(n0)的形式 教学方法讲练结合法 教具准备投影片六张：第一张：问题(记作投影片221 A)第二张：议一议(记作投影片 221 B)第三张：

2、议一议(记作投影片 221 C)第四张：想一想(记作投影片221 D)第五张：做一做(记作投影片221 E)第六张：例题(记作投影片221 F) 教学过程创设现实情景，引入新课师前面我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平 方根有哪些性质? 生甲如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。 用式子表示：若 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根生乙平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的(2)零的平方根是零来源:(3)负数没有平方根师很好，那你能求出适合等式 x2=4 的 x 的值吗?生由 x24 可知，x 就是 4 的平

3、方根因此 x 的值为 2 和-2师很好；下面我们来看上两节课研究过的问题(出示投影片221 A) 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m，如果梯子 的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米?师由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离 x(m)满足 x2+12x-150上节课我们 已求出了 x 的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗?这节课我们就来研究一元二次方程的解法讲授新课 师我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下：你能 解哪些一元二次方程?生甲等式 x2=4 就是一元二次方程， 像这样类型的方程我们就能解.生乙方程(x+

4、3)29，我们也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于 9，而 9 的 平方根是 3 和-3，所以(x+3)就等于 3 或-3，因此 x0 或 x-6师乙同学分析得很好，大家听清楚了没有?好，下面大家看大屏幕(出示投影片 221 B) 你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的? (1)x25； (2)3x20； (3)x2-40； (4)2x2-500； (5)(x+2)25； (6)(x-3)26； (7)2x2+500生甲方程(1)的解为 ，-，因为 x 是 5 的平方根55方程(2)的解为 0，因为方程 3x20 可以化为 x20，即 x 是 0 的平方根生乙方程(3)可以通过移项化为

5、方程 (1)的形式，即 x24，所以方程(3)的根为 2，-2方程(4)也可以通过移项化为方程(2)的形式，即 2x250，然后再化为 x225，因此 方程(4)的根为 5，-5生丙解方程(5)和(6)时，只要把(x+2)和(x-3)当作整体看待，其形式就如方程 (1)，这样方程(5)和(6)即可求解方程(5)就是求(x+2)，使它的平方为 5，则 x+2 就等于 或- ，因此，x 就等55于-2+或-2-55方程(6)就是求(x-3)，使它的平方为 6，则(x-3)就等于 或- ，因此，x 等于663+ 或 3-66生丁方程(7)通过移项得 2x2-50 而由平方根的性质可知：负数没有平方根

6、，所以没有一个实数适合这个方程师同学们分析得真棒，大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一 元二次方程的方法叫做直接开平方法其中适合方程(7)的实数 x 不存在，所以原方程无实 数解从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根 可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以 我们在书写时，通常用 x1、x2表示未知数为 x 的一元二次方程的两个根注意：(1)方程 3x20 有两个相等的实数根，即 x1=0，x2=0这与一元一次方程 3x=0 有一个 根 x0 是有区别的(2)刚才我们解的一元二次方程，可

7、用形式 ax2+c=0 来表示当 a、c 异号时，方程 ax2+c0 有两个不相等的实数根；当 a、c 同号时，ax2+c=0 没有实数根好，接下来同学们来看大屏幕(出示投影片221 C)。分组讨论讨论 判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解? (1)x2-4x+42； (2)x2+12x+365生甲方程(1)能用开平方法求解因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2)22这样利用直接开平方法可得 x-2=，即2x1=2+，x2=2-. 22生乙方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)，即原方程化为(x+6)2=5两边分别开平方，得 x+6，5即

8、x1-6+，x2-6-55师很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢?生解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m)2n，然后两边同时开平方， 这样原方程就转化为两个一元一次方程师真棒，实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原 方程“降次” ， “降次”也是一种数学方法下面我们来看能否求出方程 x2+12x-15=0 的精确值，同学们先来想一想：(出示投影片 221 D) 解方程 x2+12x-15=0 的困难在哪里?你能将方程 x2+12x-150 转化成(x+m)2=n 的形式吗?生解方程 x2+12x-150 的困难就是：怎么样能

9、把 x2+12x-15=0 的左边变成一个完全 平方形式，右边变成一个非负数师噢，那想一想完全平方式的特征是什么?生完全平方公式是:a22ab+b2(ab)2师好，下面大家来做一做(出示投影片221 E) 填上适当的数，使下列等式成立 (1)x2+12x+ (x+6)2； (2)x2-4x+ =(x- )2； (3)x2+8x+ (x+ )2生甲(1)的左边应填上：36(2)的左边应填上 4，右边填；2(3)的左边应填上 16，右边填：4生乙老师，我看出来了，这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方； 而右边填的是：一次项系数的一半是吗?师大家说呢?生齐声是师好，我们理解了完全平方式的

10、特征后，把方程；x2+12x-150 转化为(x+m)2n 的形式师生共析x2+12x-150，可以先把常数项移到方程的右边，得x2+12x15两边都加上 62(一次项系数 12 的一半的平方)，得x2+12x+62=15+62，即(x+6)251师接下来能否求出方程 x2+12x-150 的精确值，即梯子底端滑动的距离呢?生齐声能，给方程两边开平方，得x+6，51即 x+6或 x+6-5151所以 x1-6+,2-6-5151师噢，所以梯子底端滑动了(-6+)m 或(-6-)m5151生老师，梯子底端滑动的距离是正数，不能是负数，所以 x1是原问题的解，而 x2不 是师大家说，对吗?生齐声对

11、师很好，x1，x2是方程 x2+12x-150 的根，但 x2不是原问题的解，所以应舍去我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程 x2+12x-150 的根，这种解一元 二次方程的方法称为配方法(Solving by completing the square)下面同学们来看一例题：(出示投影片221 F)例题解方程 x2+8x-90师大家能独立解这个方程吗?生齐声能解：可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x9两边都加上 16，得x2+8x+169+16，即(x+4)2=25开平方，得x+45，即 x+4=5 或 x+4-5所以 x11，x2-9师很好，由此我们可以知道：由配方法解一元

12、二次方程的基本思路是将方程转化为 (x+m)2n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 n0 时，两边开 平方便可求出它的根注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当 n0 时，方程有解；当 n0)；ax2(2)x2-a0(a0)；(3)(x-a)2b2；(4)(ax+c)2d(d0，a0)过程通过对本题的探究，让学生了解字母系数的一元二次方程的解法与数字系数的 一元二次方程的解法一样，因为负数没有平方根，因此只有在判明了方程的两边均是非负 数时，才能开平方本题的(1)、(2)方程经过变形后，可得 x2a，因为给了条件 a0 或 d0，所以可以对 a 进行开平方；方程(

13、3)中，两边都是完全平方式，可以同时开平方；方 程(4)是给了条件 d0，所以也可以直接开平方结果解：(1)化简为 x2=a因为 a0，所以两边同时开平方，得 x，a即 x1=，x2-aa(2)化简为 x2=a因为 a0，所以两边同时开平方，得 x，a即 x1=，x2-aa(3)两边同时开平方，得x-a=，a即 x-ab 或 x-a-b解关于 x 的方程，得x1=a+b，x2=a-b(4)因为 d0，所以两边同时开平方，得 ax+cd即 ax+c=或 ax+c=，dd又因为 a0，来源:x1= ，x2=adc adc 注意：若题目(4)中不给条件 d0，则要分情况讨论如下：来源:若 d0 时，

14、则有 ax+c，d得 x1，x2adc adc 若 d0，则有 ax+c0，所以 x1x2-.ac若 d0，则因为一个数的平方不可能 为负，所以本题无解 板书设计 2.21 配方法(一) 一、(1)x24， x2 (2)(x+3)29， x+33， x+33 或 x+3-3， x1=0，x2-6 这种方法叫直接开平方法 (x+m)2n(n0) 二、解：x2+12x-150， x2+12x15， x2+12x+6215+62，即(x+6)251，x+6，51即 x+6或 x+6-，5151x1-6+，x2-6- (舍)5151梯子底端滑动的距离是(-6+)米这种解一元二次方程的方法称为配方法51例 1：解方程 x2+8x-90 三、课堂练习 四、课时小结 五、课后作业