新教材-学新教材数学人教A版必修第一册.pdf

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1、 4.3.2 对数的运算 课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件 掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简 教学重点：对数的运算性质、换底公式 教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.教学过程 基础知识 知识点一 对数运算性质 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么，(1)loga(MN)01logaMlogaN；(2)logaMN02logaMlogaN；(3)logaMn03nlogaM(nR)思考 1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式 loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MNQ)logaMlogaNlogaQ，积的对数

2、运算性质可以推广到真数是n 个正数的乘积 知识点二 换底公式(1)对数的换底公式：01logablogcblogca(a0 且 a1；c0 且 c1；b0)(2)三个较为常用的推论 02logablogbclogca1(a0，b0，c0，且均不为 1)；03logab1logba(a0，b0，且均不为 1)；logambn04nmlogab(a0，b0，且均不为 1，m0)基础自测 1若0a，1a，0 x，0y，xy，下列式子中正确的个数是()loglo(oggl)aaaxyxy；logloog(gl)aaaxyxy；logloglogaaaxxyy；logloglogaaaxxyy.A0 B

3、1 C2 D3 解析 由对数运算法则知，均不正确故选 A 266log 2log 3等于()A1 B2 C5 D6 解析 6666log 2log 3log(23)log 61.3(2020天津和平区高一期中测试)计算：235log 5 log 2 log 9_.解析 原式lg5 lg2 lg9lg5 lg2 2lg32lg2 lg3 lg5lg2 lg3lg5.4.求下列各式的值：(1)23log(279)；(2)lg5lg2；(3)ln3ln13；(4)log35log315.解析(1)方法一：log3(2792)log327log392log333log3343log334log3334

4、7；方法二：log3(2792)log3(3334)log3377log337.(2)lg5lg2lg(52)lg101.(3)ln3ln13ln(313)ln10.(4)log35log315log3515log313log3311.题型探究 题型一 对数运算性质的应用 例 1 用 logax，logay，logaz 表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(x y)；(3)loga3xyz2.解析(1)loga(xy2)logaxlogay2logax2logay.(2)loga(x y)logaxlogaylogax12logay.(3)loga3xyz213logaxyz213l

5、ogaxloga(yz2)13(logaxlogay2logaz)归纳提升 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质二要注意取值范围对符号的限制【对点练习】用 logax、logay、logaz 表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)logaxyz.解析(1)loga(x3y5)logax3logay53logax5logay.(2)logaxyzlogaxloga(yz)logax12(logaylogaz)题型二 利用对数运算性质化简、求值 例 2 化简下列各式：(1)log2(2345)；(2)lg32lg21lg1.2；(3)lg142lg73lg7lg

6、18；(4)log284 3log284 3；(5)log2(1 2 3)log2(1 2 3)分析 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键进行对数运算，要注意法则的正用和逆用在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案 解析(1)log2(2345)log223log245 35log2435213.(2)lg32lg21lg1.2lg3lg41lg1.2lg1.2lg1.21.(3)方法一：lg142lg73lg7lg18 lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(322)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20.方法二：lg142lg73lg

7、7lg18 lg14lg(73)2lg7lg18(4)log284 3log284 3 log2(84 3)(84 3)log26448log242.(5)log2(1 2 3)log2(1 2 3)log2(1 2)2(3)2log2(32 23)log22 2log2232 32.lg14773218lg10.归纳提升 利用对数运算性质化简与求值的原则(1)正用或逆用公式，对真数进行处理(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行【对点练习】计算下列各式的值：(1)(2020湖南衡阳高一期末测试)log327lg25lg4；(2)(2020江苏、苏州市高一期中

8、测试)(lg5)2lg2lg50.解析(1)原式32325log 3lg4 32lg11032lg101 32112.(2)原式(lg5)2lg2lg(510)(lg5)2lg2(1lg5)(lg5)2lg2lg2lg5 lg5(lg5lg2)lg2 lg5lg2lg101.题型三 换底公式的应用 例 3(1)计算 log2125log318log519；(2)若 log34log48log8mlog42，求 m 的值 分析(1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值 解析(1)原式lg125lg2lg18

9、lg3lg19lg5 2lg53lg22lg3lg2lg3lg512.(2)由题意，得lg4lg3lg8lg4lgmlg8lgmlg312，lgm12lg3，即 lgmlg312，m 3.归纳提升 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如 logab1logba；logaann，logambnnmlogab；lg2lg51 等，将会达到事半功倍的效果【对点练习】计算下列各式的值

10、：(1)log89log2732；(2)log927；(3)log21125log3132log513.解析(1)log89log2732lg9lg8lg32lg27lg32lg23lg25lg332lg33lg25lg23lg3109.(2)log927log327log39log333log3323log332log3332.(3)log21125log3132log513 log253log325log531 3log25(5log32)(log53)15lg5lg2lg2lg3lg3lg5 15.误区警示 忽视真数大于零致误 例 4 解方程：log2(x1)log4(x4)1.错解原方

11、程变形为 log2(x1)12log2(x4)1，log2(x1)log2x41，log2x1x4log22，x1x42，x22x150，x3 或 x5，故原方程的解为x3 或 x5.错因分析 解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错 正解log2(x1)log4(x4)1，log4x12x41，x10，x40，x12x44，解得 x5 或 x3(舍去)方程 log2(x1)log4(x4)1 的解为 x5.方法点拨 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或

12、缩小就容易产生增根故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误 也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解 学科素养 转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力 例 5 (1)设 3x4y36，求2x1y的值；(2)已知 log23a,3b7，求 log1256.分析(1)欲求2x1y的值，已知 3x36,4y36，由此两式怎样得到 x，y，容易想到对数的定义故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式 3b7 化为对数式解决观察所给数字特征、条件式中为 2、3、7，又 12322,56

13、723，故还可以利用换底公式的推论 loganbmmnlogab，将条件中的对数式 log23a 化为指数式解答 解析(1)由已知分别求出 x 和 y，3x36,4y36，xlog336，ylog436，由换底公式得：xlog3636log3631log363，ylog3636log3641log364，1xlog363，1ylog364，2x1y2log363log364log36(324)log36361.(2)解法一：因为 log23a，所以 2a3.又 3b7，故 7(2a)b2ab，故 5623ab，又 12342a42a2，从而 log1256232log2aab3aba2.解法二

14、：因为 log23a，所以 log321a.又 3b7，所以 log37b.从而 log1256log356log312log37log38log33log34log373log3212log32b31a121aab3a2.归纳提升 1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用 2对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化 3利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算换成同一底数 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)化简、通分、求值