新教材-学新教材数学人教A版必修第一册_1.pdf

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1、 第五章三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角恒等变换【素养目标】1能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式(逻辑推理)2了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题(数学运算)3进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题(逻辑推理、数学运算)【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件培养学生数学中的逻辑推理 必备知识探新知 基础知识 知识点一 半角公式 cos21cos 2(2C)，sin21cos 2(2S)，tan21cos 1cos(2

2、T)思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？(2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？(3)半角公式对 R 都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式推导如下：在二倍角公式 cos212sin22cos21 中，以 代替 2，以2代替，即得：cos12sin222cos221.所以 sin221cos2，cos221cos2，tan221cos1cos.开方可得半角公式(2)不能若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；若给出 的具体范围(即某一区间)时，则先求2所在范围，然后根据2所在范围选用符号(3)公式2C，2S对 R 都成立，但公式2T要求(2k1

3、)(kZ)基础自测 1下列说法中正确的个数是(A)sin21cos2.cos201cos402.tan2sin1cos1cossin.sin4 3cos42sin(43)A1 B2 C3 D4 解析 错误，正确，故选 A 2已知 180360，由 cos2的值等于(C)A1cos2 B1cos2 C1cos2 D1cos2 3已知 cos45，32，2，则 sin2等于(B)A1010 B1010 C3103 D35 解析 32，2，234，sin21cos21010.4sinxcosx 等于(C)Asin2x B 2sinx4 C 2sinx4 Dsinx4 解析 原式 222sinx22c

4、osx 2sinx4.5已知 cos 13，且 270360，试求 sin2和 cos2的值 解析 270360，13520，cos20.sin21cos2113233；cos21cos 2113263.关键能力攻重难 题型探究 题型一 应用半角公式给角求值 例 1 求下列式子的值：sin 75、cos 75、tan 75.分析 75是 150的半角 解析 sin 751cos 15021cos 302 13222 3284 34 6 2246 24.cos 751cos 15021cos 3021322 2 3284 34 6 2246 24.tan 75sin 75cos 756 246

5、246 26 22 3.或 tan 751cos 1501cos 1501321322 32 32 3.或 tan 751cos 150sin 150132122 3.或 tan 75sin 1501cos 150121322 3.归纳提升 求 sin 75、cos 75，利用 sin(4530)，cos(4530)求解不易出错，但比较麻烦而应用半角公式化简容易化简不到位tan 75的求解应注意选择合理的公式当然 sin 75、cos 75，可以先利用诱导公式将角变小，sin 75sin(9015)cos 15，cos 75cos(9015)sin 15，再利用半角公式求解【对点练习】求值 t

6、an81tan12.解析 方法一：tan81tan121cos41cos41cos61cos6 1221221321322 22 22 32 3 2 222 3 212 31 2 3.方法二：tan81tan121cos4sin41cos6sin6 1222213212 212 31 2 3.题型二 应用半角公式求值 例 2 已知 sin45，且523，求 sin2，cos2，tan2.分析 已知条件中的角 与所求角中的2成二倍关系，从而选择半角公式求值 解析 sin45，523，cos 1sin235.54232，sin21cos22 55，cos21cos255，tan2sin2cos22

7、.归纳提升 已知 的某个三角函数值，求2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得 的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可【对点练习】设 2，cos235，求：(1)sin 的值；(2)cos 的值；(3)sin24的值 解析(1)2，220，知角 是第一或第二象限角，从而2必为第一或第三象限角，所以 tan2的值必然为正上述解法中忽视了 sin0，从而2为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的 tan2有正负两个值 另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分 sin2，cos2与 tan2的值的对应情况，依上述解法，sin2，cos2与 tan2的值对

8、应着 22222216(组)情况，但实际情况却只有 4 组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况 正解 由 sin350，知角 是第一或第二象限角(1)当 是第一象限角时，cos45，且2为第一或第三象限角，于是 当2为第一象限角时，sin21cos21010，cos21cos23 1010，tan2sin2cos213；当2为第三象限角时，sin21010，cos23 1010，tan2sin2cos213.(2)当 是第二象限角时，cos45，且2为第一或第三象限角，于是 当2为第一象限角时，sin23 1010，cos21010，tan2sin2cos23

9、；当2为第三象限时，sin23 1010，cos21010，tan2sin2cos23.方法点拨(1)应用公式 sin21cos2，cos21cos2以及 tan21cos1cos时，一定要注意根号前的符号是由2的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误 另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致 学科素养 三角恒等变换的综合应用 三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某

10、一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点 例 5 已知 f(x)(11tanx)sin2x2sin(x4)sin(x4)(1)若 tan2，求 f()的值；(2)若 x12，2，求 f(x)的取值范围 分析(1)将函数 f(x)转化为只含有 sin2x 与 cos2x 的式子，由 tan2，求出 sin2 与cos2 的值，代入 f(x)求 f()(2)将 f(x)化为 Asin(x)B 的形式，利用正弦函数的图象与性质求解 解析(1)f(x)(sin2xsinxcosx)2sin(x4)cos(x4)1cos2x212sin2xsin(2x2)1212(sin2xcos2x)co

11、s2x 12(sin2xcos2x)12.由 tan2，得 sin22sincossin2cos22tantan2145.cos2cos2sin2sin2cos21tan21tan235.所以，f()12(sin2cos2)1235.(2)由(1)得 f(x)12(sin2xcos2x)1222sin(2x4)12.由 x12，2，得5122x454.所以22sin(2x4)1,0f(x)212.所以 f(x)的取值范围是0，212 归纳提升 利用三角恒等变换的解题技巧(1)将 f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将 sin2，cos2 化为正切 tan，为第(1)问铺平

12、道路(2)把形如 yasinxbcosx 化为 y a2b2sin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性 课堂检测固双基 1若 cos45，是第三象限角，则1tan21tan2(A)A12 B12 C2 D2 解析 是第三象限角，cos45，sin35.1tan21tan21sin2cos21sin2cos2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin21sincos1354512.故选A 2若4，2，且sin23 78，则 sin(D)A35 B45 C74 D34 解析 本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关

13、系式 4，2，22，sin0，cos20，cos2 1sin2218，又 sin21cos22，sin2916，sin34，故选 D 3设352，则化简1cos2的结果是(C)Asin2 Bcos2 Ccos2 Dsin2 解析 352，32254，cos20，原式1cos2|cos2|cos2.4设 a12cos632sin6，b2sin13cos13，c1cos502，则有(C)Acba Babc Cacb Dbcca.故选 C 5已知 tan(4)2，则sin2cos21cos2的值为(A)A16 B16 C52 D56 解析 tantan(4)4 tan411tan413，原式cos2

14、sincos2cos2tan12131216，故选 A 素养作业提技能 A 组素养自测 一、选择题 1(2019陕西省西安市段考)1cos 2602的值等于(A)Asin 40 Bcos 40 Ccos 130 Dcos 50 解析 1cos 260212cos213012 cos2130|cos 130|cos 130sin 40，故选 A 2若 sin()coscos()sin0，则 sin(2)sin(2)(C)A1 B1 C0 D1 解析 因为 sin()coscos()sinsin()sin0，所以 sin(2)sin(2)2sincos20.3若 sin35，523，则 tan2c

15、os2(B)A31010 B31010 C33 1010 D33 1010 解析 因为523，所以 cos 1sin245.因为54232，所以 sin20，cos20，所以 sin21cos23 1010，cos21cos21010，所以 tan2sin2cos23.所以 tan2cos231010.4若 tan1tan4，则 sin2(D)A15 B14 C13 D12 解析 由sincoscossin4，得 1sincos4，所以2sin24，sin212.5设 34，cos2m，那么 cos4等于(B)Am12 Bm12 C1m2 D1m2 解析 由于 cos22cos241，可得 c

16、os241cos22.又 34，所以344.所以 cos40.所以 cos4m12.6.2sin2sin22cos2cos2等于(B)Atan Btan2 C1 D12 解析 原式2sincos2sin2cos2sin22sin2cos2sin2cos2tan2.二、填空题 7已知 sin35，372，则 tan2_3_.解析 根据角 的范围，求出 cos 后代入公式计算，即由 sin35，372，得cos45，从而 tan2sin1cos351453.8已知 cos212，且2，则 tan_33_.解析 2，tan1cos21cos233.9若 sin20，cos0，则 cos1sin1si

17、nsin1cos1cos_ 2sin(4)_.解析 由题可知 为第二象限角，且422.原式cos1cos21cos2sin1cos1cos costan(42)sintan2 2sin2(42)2sin22 1cos(2)(1cos)2sin(4)三、解答题 10求证：2sinxcosxsinxcosx1sinxcosx11cosxsinx.证明 左边 2sinxcosx2sinx2cosx22sin2x22sinx2cosx22sin2x2 2sinxcosx4sin2x2cos2x2sin2x2 sinx2sin2x2cosx2sinx22cos2x22sinx2cosx21cosxsin

18、x右边 原等式成立 11已知 为钝角，为锐角，且 sin45，sin1213，求 cos2与 tan2的值 解析 因为 为钝角，为锐角，sin45，sin1213，所以 cos35，cos513.所以 cos()coscossinsin(35)5134512133365.因为2，且 02，所以 0，即 022，所以 cos21cos21336527 6565.方法一：由 022，得 sin21cos224 6565，所以 tan2sin2cos247.方法二：由 0，cos()3365，得 sin()1cos25665.所以 tan2sin1cos56651336547.B 组素养提升 一、选

19、择题 1若 AB23，则 cos2Acos2B 的取值范围是(C)A0，12 B12，1 C12，32 D0,1 解析 cos2Acos2B1cos2A21cos2B2 112(cos2Acos2B)1cos2A2B2cos2A2B2 1cos(AB)cos(AB)1cos23cos(AB)112cos(AB)cos(AB)1,1，cos2Acos2B12，32 2(2019甘肃武威第十八中学单元检测)若2，则 1sin121cos(D)A2sin2cos2 Bcos22sin2 Ccos2 Dcos2 解析 2，42cos20.1sinsin22cos222sin2cos2(sin2cos2

20、)2，12(1cos)sin22，1sin121cos sin2cos22sin22(sin2cos2)sin2cos2.3(多选题)下列各式中，值为12的是(AC)Atan22.51tan222.5 Btan15cos215 C33cos21233sin212 Dtan301tan230 解析 A 符合，原式122tan22.51tan222.512tan4512；B 不符合，原式sin15cos1512sin3014；C 符合，原式33cos612；D 不符合，原式122tan301tan23012tan6032，故选 AC 4(多选题)下列各式与 tan 相等的是(CD)A1cos21c

21、os2 Bsin1cos C1cos221cos(0，)D1cos2sin2 解析 A 不符合，1cos21cos22sin22cos2 tan2|tan|；B 不符合，sin1cos2sin2cos22cos22tan2；C 符合，因为(0，)，所以原式1cos221cossincostan；D符合，1cos2sin22sin22sincostan.二、填空题 5已知 tan213，则 cos_45_.解析 tan21cos1cos，tan221cos1cos.1cos1cos19，解得 cos45.6设 02，且 sin2x12x，则 tan 等于_ x21_.解析 02，sin2x12x

22、，cos21x12xx12x.tan2sin2cos2x1x1，tan2tan21tan222x1x11x1x1x1x1(x1)x21.7(sin2cos2)22sin2(42)的值等于_2_.解析 原式1sin21cos22 1sin1sin2.三、解答题 8已知 cos(x4)35且1712x74，求sin2x2sin2x1tanx的值 解析 原式2sinxcosxsinx1sinxcosx2sinxcosxcosxsinxcosxsinx，cosxsinx 2sin(x4)，由1712x74，即53x42，知 sin(x4)0，由 cos(x4)22(cosxsinx)35，得 cosx

23、sinx3 25，且 sin(x4)45，对 cosxsinx3 25两边平方得 12sinxcosx1825.2sinxcosx725.原式725 2453 252875.9已知在ABC 中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0，求角 A，B，C 的大小 解析 由 sinA(sinBcosB)sinC0，得 sinAsinBsinAcosBsin(AB)0，sinAsinBsinAcosBsinAcosBcosAsinB0，sinB(sinAcosA)0，B(0，)，sinB0，sinAcosA，A(0，)，A4，从而 BC34.由 sinBcos2C0，得 sinBcos(322B)0，sinBsin2B0，sinB2sinBcosB0，cosB12，B3，C512.于是 A4，B3，C512.