预备知识向量内积.pptx

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1、说明1 维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义第1页/共30页内积的运算性质第2页/共30页定义2 令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质第3页/共30页解单位向量夹角第4页/共30页 正交的概念 正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法第5页/共30页证明 正交向量组的性质第6页/共30页例1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.向量空间的正交基第7页/共30页即解之得由上可知 构成三维空间的一个正交基.则有解第8页/共30页 规范正交基例如第9页/共30

2、页第10页/共30页 同理可知第11页/共30页（1）正交化，取 ，求规范正交基的方法第12页/共30页（2）单位化，取第13页/共30页例 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解 先正交化，取施密特正交化过程第14页/共30页再单位化，得规范正交向量组如下第15页/共30页例解第16页/共30页再把它们单位化，取第17页/共30页几何解释第18页/共30页例解第19页/共30页把基础解系正交化，即合所求亦即取第20页/共30页证明定义4定理四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是单位向量且两两正交第21页/共30页第22页/共30页性质 正交变换保持向量的长度不变证明例 判别下列矩阵是否为正交阵定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换第23页/共30页解所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，由于第24页/共30页所以它是正交矩阵由于第25页/共30页例解第26页/共30页1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化五、小结2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第27页/共30页求一单位向量，使它与正交思考题第28页/共30页思考题解答第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页